Problema 55-16    Fuente:   Problema 21 - Lista de Problemas RLC - Disciplina Circuitos Eléctricos de la Escuela de Ingeniería - UFRGS - 2011 - Prof. Dr. Valner Brusamarello.

En el circuito que se muestra en la Figura 55-16.1, se sabe que |I₁| = |I₂|. Además, V_ac está 45° detrás de la fuente de corriente I.  Determine los valores de R y X.

Solución del Problema 55-16

Decir que V_ac está 45° detrás de I es lo mismo que decir I está 45° adelantada en relación con V_ac. De esa manera, asumimos V_ac como el voltaje de referencia, es decir V_ac∠0°. Note, en el circuito de arriba, que se llamaba las corrientes que circulan a través del condensador y la resistencia, de I_C y I_R, respectivamente. Luego, sabemos que I_C está 90° adelantada en relación con V_ac, encuanto V_R no sufre retraso. Por otro lado, del circuito, I₁ = I_C + I_R. También es posible calcular la impedancia equivalente entre los puntos a-c , ya que se conocen los valores de los componentes que están en paralelo. Así:

Basado en el valor de Z_ac, podemos determinar la diferencia de fase entre I₁ y V_ac, o sea :

Por lo tanto I₁ está 18,43° adelantada en relación con V_ac, por que Z_ac es un circuito capacitivo. Por el enunciado del problema, sabemos que |I₁| = |I₂|. Entonces, podemos escribir que:

A través de la ruta a-c-b puedes escribir:

Igualar estas ecuaciones y eliminar |I₁|, obtenemos:

Usando las propiedades de números complejos y haciendo el módulo del segundo miembro de igualdad anterior, encontramos:

Así, se encontra una relación entre R y X_L, que se usará más tarde.

El gráfico mostrado en la Figura 55-16.2, muestra el voltaje V_ac como referencia. Note que I_R tiene el mismo módulo y fase de V_ac, por que R= 1Ω. Pero, I_C está adelantada de 90° en relación con V_ac. Haciendo la suma fasorial de I_R y I_C, obtenemos I₁ adelantada de 18,43° en relación con V_ac, ya previamente calculado. A partir del enunciado del problema, sabemos que I está por delante de 45° en relación con V_ac. De esta manera es fácil calcular el ángulo entre I y I₁, o sea, 45° - 18,43° = 26,57°, como se muestra en el gráfico. Por otro lado, sabemos que |I₁| = |I₂|. Y del circuito, I = I₁ + I₂. Luego, concluimos que I₂ tener que hacer un ángulo de 26,57° con I. Por lo tanto, podemos calcular la diferencia de fase entre I₁ e I₂ que es igual a 2 (26,57°) = 53,14°.

Podemos usar la última conclusión para encontrar el valor de X_L. Sabemos que la impedancia Z_acb = Z_ac + j X_L = 0,9 + j(X_L - 0,3) y, además, esta impedancia es responsable por la diferencia de fase de θ_I = 53,14° entre I₁ y I₂. Entonces:

Como tan (53,14°) = 4/3:

Realizando el cálculo:

Usando la relación eq. 55-16.1 encontrado anteriormente, se encuentra el valor de R, o: