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En este capítulo estudiaremos los circuitos resonantes, también conocido como sintonizado. Para que resonancia ocurra en un circuito, es esencial que contenga condensador (es) e inductor (es), una condición que es necesaria para el intercambio entre un elemento reactivo y el otro. Como regla general, tenemos una combinación de resistencias, condensadores e inductores en el circuito. La resistencia disipa la energía intercambiada entre los elementos reactivos. Dependiendo de los valores de estos componentes podemos calcular con qué frecuencia ocurre la resonancia. Hay dos tipos de circuitos resonantes:  series y paralelas. Los discutiremos por separado.

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Habrá resonancia en un circuito en serie formado por R, L y C si la corriente en el circuito está en fase con el voltaje total en el circuito. La frecuencia con la que se produce la resonancia depende de los valores de L y C, como veremos más adelante. En la Figura 58-01 vemos un típico circuito RLC . Tomémoslo como referencia para nuestro estudio. Cabe señalar que el valor de R, además de su propio valor, puede incluir los valores de la resistencia interna de la fuente y la resistencia del devanado del inductor.

Ya hemos visto la ecuación que determina la impedancia equivalente de un circuito RLC en serie. Lo reproduciremos aquí nuevamente.

De esta manera, podemos calcular la corriente del circuito en cualquier momento, a una frecuencia determinada, usando la eq. 58-02.

Entonces, si el voltaje y la corriente están en fase, entonces el circuito está en resonancia. En otras palabras: decimos que un circuito RLC está en resonancia si su impedancia es puramente resistiva. Y, para que eso suceda, es necesario que el término imaginario de la impedancia sea igual a cero o, que debemos satisfacer X_L - X_C = 0. Entonces, concluimos que en resonancia se debe satisfacer la igualdad como eq. 58-03.

A partir de esta relación, podemos calcular fácilmente la frecuencia de resonancia del circuito, esto, reemplaza las reactancias de la igualdad anterior con sus respectivas ecuaciones. Así:

Desarrollando esta relación y, para un circuito serie RLC , llamaremos a la frecuencia de resonancia por f_S, para poder diferenciarlo de la frecuencia de resonancia de un circuito paralelo , representado por f_P. Así, tenemos:

Observe que la frecuencia de resonancia, en un circuito serie RLC, es independiente del valor de la resistencia. Además, podemos definir dos frecuencias laterales a la frecuencia de resonancia. Vamos a llamarlos f₁ y f₂. La frecuencia f₁ es conocido como frecuencia de corte INFERIOR y la frecuencia f₂ se llama frecuencia de corte SUPERIOR. También vale la pena la relación f₁ < f₂. Así, f₁ está a la izquierda de f_S y la otra frecuencia, f₂, está a la derecha de f_S.

En la Figura 58-02 podemos apreciar la respuesta de frecuencia de un circuito resonante. Tenga en cuenta que la corriente eléctrica máxima en el circuito se produce a la frecuencia de resonancia, f_S. Las frecuencias de corte f₁ y f₂ están ubicados en la curva donde la señal es 3 dB menor que su intensidad máxima. En general, la respuesta de frecuencia en resonancia no es tan simétrica como aparece en la figura. Mantuvimos la simetría por razones didácticas.

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  2.1   Ancho de banda

Definimos ancho de banda como la diferencia entre las frecuencias laterales f₁ y f₂. Está representado por Δf. Así:

El ancho de banda también se puede expresar por eq. 58-06 (abajo) basado en la definición anterior. Simplemente reemplace los valores de f₁ y f₂ por las ecuaciones eq. 57-16 y eq. 57-17. Haciendo un arreglo algebraico, encontramos:

Por otro lado, existe una relación entre las frecuencias laterales y la frecuencia de resonancia, que se expresa como la media geométrica entre las frecuencias laterales. Podemos expresarlo como:

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  2.2   Potencia de Resonancia

Como ya se dijo, la impedancia equivalente de un circuito serie RLC, en resonancia, es igual al valor de resistencia R. Esto implica un mínimo de impedancia en la resonancia. En consecuencia, en esta condición, tenemos el máximo de la corriente eléctrica que circula por el circuito y esta corriente viene dada por:

Por lo tanto, podemos escribir la potencia que la resistencia disipa en la resonancia como:

Por otro lado, en las frecuencias de corte laterales, la intensidad de la corriente eléctrica es raíz de dos veces menos que la intensidad máxima. Luego, al calcular la potencia en estas frecuencias, nos damos cuenta de que serán la mitad de la potencia en la frecuencia de resonancia. Es por eso que estas frecuencias también se conocen como frecuencias de media potencia . Entonces podemos escribir:

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  2.3   Factor de Calidad

El factor de calidad, también conocido como factor de mérito, Q, de un circuito resonante, se define como la relación entre la potencia reactiva y la potencia media se disipó en la resistencia a la frecuencia de resonancia. Así:

Cuanto menor se disipa la potencia para el mismo valor de potencia reactiva, mayor es el factor Q, lo que indica una mayor concentración de energía en la región de resonancia. Reemplazando en la ecuación anterior las potencias media y reactiva (consideremos la reactancia inductiva) con sus valores y simplificando, encontramos la siguiente expresión para el cálculo de Q:

Utilizamos el índice S para Q , con el fin de diferenciar Q de un circuito paralelo, que estudiaremos más adelante. Tenga en cuenta que en la ecuación anterior, X_L depende de la frecuencia con la que funciona el circuito. Podemos calcular el Q del circuito solo en función de los valores de R, L y C, siempre que, en la ecuación anterior, reemplacemos el valor de la frecuencia en la reactancia inductiva, con la ecuación eq. 57-03. Después de algunas simplificaciones algebraicas, obtenemos la siguiente expresión.

Por otro lado, podemos calcular los voltajes en el inductor y el condensador. Para el inductor, usando un divisor de voltaje y recordando que en resonancia, Z_eq = R, podemos escribir la expresión V_L = V  ( X_L / R ). Usando el mismo principio para el condensador, podemos escribir las dos ecuaciones de la siguiente manera:

Cabe señalar que en un circuito serie RLC , a la frecuencia de resonancia, existe la posibilidad de que el condensador y el inductor desarrollen altos voltajes, muy por encima del voltaje suministrado por la fuente de alimentación del circuito. Supongamos que nuestro circuito de ejemplo está en resonancia y tenemos V = 20∠0° y Q_S = 100. Por lo tanto, sustituyendo los valores y haciendo el cálculo tendremos V_L = V_C = 100 x  20 = 2 000 V. Esto sugiere que debemos ser extremadamente cuidadosos al trabajar, en la práctica, con los circuitos de serie RLC en resonancia.

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  2.4   Selectividad

La selectividad significa cuánto debe ser el circuito selectivo para que las frecuencias deseadas estén dentro del ancho de banda.Cuanto menos sea el ancho de banda, mayor la selectividad. Esta característica está estrechamente relacionada con el factor de calidad del circuito. Por lo tanto, cuanto mayor sea el Q, mayor será la selectividad. Recuerde que para un circuito en serie RLC, cuanto más pequeño sea el valor de la resistencia, mayor será el Q (para valores constantes de L y C ). Del mismo modo, para valores de resistencia constante, mayor la relación L / C, tendremos un ancho de banda menor y mayor selectividad.

Basado en lo anterior, para Q_s ≥ 10, podemos encontrar el ancho de banda usando la siguiente ecuación:

Y como consecuencia, podemos escribir que:

Por cualquier valor de Q_S, podemos determinar las frecuencias de corte f₁ y f₂, simplemente teniendo conocimiento de los parámetros R, L y C. A continuación, vemos las dos expresiones que debemos usar.

Y así, todas estas ecuaciones le permiten calcular los parámetros del circuito.

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Dividiremos nuestro estudio en dos temas: circuito resonante paralelo Ideal y circuito Paralelo resonante Real. El primero sigue las mismas características estudiadas en el circuito en serie. Para el segundo caso, hay algunas consideraciones adicionales que se estudiarán en el item 3.2.

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Las condiciones para que un circuito resonante paralelo esté en resonancia son las mismas que se requieren para un circuito resonante en serie, es decir, obedece eq. 58-03 repetido a continuación:

Debemos resaltar algunas diferencias entre el comportamiento de los dos circuitos cuando se encuentra en RESONANCE. En el circuito serie resonante, hubo una cancelación de las reactancias del capacitor y del inductor y, por lo tanto, la impedancia resultante, de estos dos componentes, fue NULL. Así, la impedancia equivalente de todo el circuito era un valor resistivo puro representado por la resistencia R.

En la Figura 58-03 vemos un circuito resonante paralelo ideal. En el circuito resonante paralelo, la asociación paralela del inductor con el condensador, a la frecuencia de resonancia, genera una impedancia INFINITA.

Por lo tanto, podemos decir que para un circuito serie o paralelo está en resonancia la impedancia equivalente del mismo debe ser igual a un valor pura resistencia. Y para el cálculo de la frecuencia de resonancia, para cualquier circuito, vale la eq. 58-04, que reproducimos a continuación.

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En el caso de un circuito resonante paralelo real, debemos tener en cuenta que el inductor tiene una resistencia eléctrica. Esta resistencia se debe a la resistencia que presenta el hilo utilizado en su fabricación. En el caso del circuito resonante en serie, consideramos que esta resistencia se incluyó en el valor de R. Por lo tanto, un circuito típico para estudiar el circuito resonante paralelo real se presenta en la Figura 58-04.

En el caso del circuito resonante paralelo, la resistencia R_S no se puede combinar en serie o en paralelo con la resistencia de la fuente o cualquier otra resistencia del circuito. Aunque la resistencia R_S tiene un valor muy pequeño en relación con las otras resistencias del circuito, puede tener una influencia importante en la resonancia del circuito.

Encontraremos un circuito paralelo que es equivalente a la rama R - L en serie, como se muestra en la figura anterior. Para esta rama, podemos escribir la siguiente ecuación:

A partir de esta impedancia podemos calcular la admitancia de esa rama. Así:

Para resolver esta ecuación, simplemente multiplique por el complejo conjugado del denominador. Desarrollando y renombrando, llegamos a:

La relación entre estas dos nuevas variables y las conocidas en el circuito viene dada por:

Por lo tanto, pudimos encontrar una equivalencia de un circuito R-L en serie con un circuito R-L paralelo. Si tenemos en cuenta que la fuente tiene una resistencia interna R_i, podemos asociarla con R_p, obteniendo un nuevo valor que vamos a definir como R. Así:

De esta manera, podemos rediseñar el circuito como se muestra en la Figura 58-05.

En este punto, vale la pena recordar que en el circuito resonante en serie, la frecuencia de resonancia era aquella en la que la impedancia era mínima, la corriente era máxima, la impedancia de entrada era puramente resistiva y el circuito tenía un factor de potencia unitario. En el caso del circuito resonante paralelo, como la resistencia R_p en el circuito equivalente depende de la frecuencia, el valor para el cual el valor máximo de V_C obtenido no es necesariamente el mismo para el cual el factor de potencia es unitario. Entonces tenemos dos situaciones a considerar. Los estudiaremos por separado.

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Considerando el circuito Figura 58-05, podemos escribir la admitancia total del circuito como:

Para que el circuito tenga un factor de potencia unitario, el componente reactivo debe ser nulo. Entonces

Reemplazando el valor de X_Lp, encontrado previamente, tenemos:

Recordando que:

donde, ω_P es la frecuencia de resonancia del circuito resonante paralelo. Desarrollando la eq. 57-13, encontraremos que la frecuencia de resonancia del circuito resonante paralelo es igual a la frecuencia de resonancia del circuito resonante en serie multiplicado por un factor K, un factor dado por:

Note que siempre K < 1. Así, podemos expresar la frecuencia de resonancia del circuito resonante paralelo como:

donde, f_S es dado por eq. 58-04, de nuevo se muestra a continuación:

Cabe señalar que la frecuencia de resonancia f_P depende de la resistencia R_S. Dado que el factor K es menor que la unidad, naturalmente f_P es menor que f_S. También podemos concluir que tan pronto R_S se le acerca CERO, f_P se acerca rápidamente de f_S.

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Como R_P depende de la frecuencia, cuando f = f_P la impedancia de entrada del circuito resonante está muy cerca de su máximo, pero no la ha alcanzado. Para este caso, impedancia máxima, nombraremos la frecuencia como f_m. Su valor es ligeramente mayor que f_P. La ecuación que determina el valor de f_m se muestra abajo.

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El factor Mérito o Calidad en un circuito resonante en paralelo también viene dado por la relación entre la potencia reactiva y la potencia real. Así:

En esta ecuación, V es el voltaje en las ramas en paralelo y R es el valor del paralelo de R_S con R_P. Reorganizando la ecuación anterior, Q_P es dado por:

Para el caso particular de la resistencia R_P ser mucho más pequeño que la resistencia presentada por la fuente, la ecuación anterior se aplica al circuito resonante en serie, dado por eq. 58-13, reproducido a continuación de nuevo con modificaciones menores. En general, el ancho de banda está relacionado con la frecuencia de resonancia, f_r, y el factor de mérito, Q_P, del circuito, dado por:

Al igual que con el circuito resonante en serie, las frecuencias de corte f₁ y f₂ en el circuito resonante paralelo también puede determinarse por los valores de los componentes del circuito. Las ecuaciones que permiten el cálculo de f₁ y f₂ se muestran abajo.

De la misma manera que se hizo para el circuito resonante en serie, utilizando la definición de ancho de banda y reemplazando f₁ y f₂por las ecuaciones eq. 57-26 y eq. 57-27, después de un trabajo algebraico llegamos a:

En esta ecuación vemos cómo el ancho de banda está estrechamente relacionado con el valor de R . Cuanto mayor sea el valor de R, menor será el ancho de banda y viceversa. En el gráfico que se muestra en la Figura 58-06 esta influencia es clara. Sin embargo, tenga en cuenta que el valor de R no interfiere con la frecuencia de resonancia.

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Considerando la equivalencia entre un circuito serie y paralelo podemos considerar que existe la siguiente igualdad:

Usando las ecuaciones eq. 58-09 y eq. 58-24 llegamos a la siguiente relación:

Entonces, haciendo un poco de trabajo algebraico en estas ecuaciones, determinamos el valor de la impedancia dinámica, Z_d, que presenta un circuito en paralelo real, es decir:

De esta ecuación concluimos que cuanto menor sea el valor de la resistencia eléctrica del alambre que se utiliza en la fabricación del inductor, mayor será la impedancia dinámica del circuito en paralelo. Para inductores con alto Q, R_S es pequeño, causando Z_d muy grande, lo que es deseable para obtener una alta selectividad, especialmente en circuitos utilizados en telecomunicaciones