Hasta ahora hemos estudiado que para corriente continua, la potencia no era nada más
que el producto entre el voltaje aplicado al componente multiplicado por
corriente eléctrica que circulaba a través de él. Ahora, en el estudio de corriente alterna ,
estudiaremos varios tipos de potencia .
Comencemos con el llamado potencia instantáneo .
Vimos en el capítulo anterior que podemos definir un voltaje eléctrico o una corriente eléctrica mediante
una función seno o coseno. Estas funciones varían con el tiempo, con valores máximos y mínimos.
Entonces, definamos una función para el voltaje instantáneo y otra para la corriente instantánea.
v(t) = Vmax cos (ω t + θv )
i(t) = Imax cos (ω t + θi )
Como sabemos, la potencia es dada por el producto entre voltaje y corriente, por lo tanto:
p(t) = v(t) i(t) = Vmax Imax cos (ω t + θv ) cos (ω t + θi )
Observe que tenemos el producto de dos funciones sinusoidales. Usando las propiedades trigonométricas podemos desarrollar este producto con:
cos A cos B = = 1/2 [cos (A - B) + cos (A + B)]
Aplicando esta propiedad encontraremos una función con dos partes. La primera parte será
1/2 Vmax Imax cos (θv - θi ).
Esta porción representa un valor fijo de potencia, independiente del tiempo y su valor depende de la diferencia de fase entre voltaje y corriente. En otras palabras, es el componente DC de la potencia.
La segunda porción representa un valor variable en el tiempo,
debido a la función coseno que aparece como 1/2 Vmax Imax
cos (2 ω t + θv + θi ).
Esta función coseno tiene una frecuencia dos veces mayor que la tensión o corriente.
En la Figura 52-01 mostramos el gráfico de la función de potencia.
Figura 52-01
Cabe señalar que cuando P(t) es positivo, el circuito absorbe la potencia. Y
cuando P(t) es negativo, la fuente absorbe la energía (en este caso, debemos tener elementos de almacenamiento de energía en el circuito, como condensadores e inductores).
En la literatura técnica, el valor máximo de una función también se conoce
como
valor PICO. Si queremos expresar la diferencia entre el valor máximo y el
mínimo,
es costumbre usar el término valor de PICO a PICO. Para funciones
seno y coseno,
tenemos la siguiente relación: Vpp = 2 Vp. Por ejemplo,
se v = 5 sen(ωt) voltios,
entonces Vmax = Vp = 5 voltios y Vpp = 10 voltios. La unidad de medida
de la potencia instantánea es vatio.
Para hablar sobre potencia media nos centraremos en la primera entrega de
potencia instantánea , que viene dada por:
P = v i = 1/2 Vmax Imax cos (θv - θi )
Aquí definimos el ángulo θ como el ángulo entre voltaje y corriente, es decir:
θ = θv - θi
La Potencia Media o la Potencia Real, como también se le conoce, es la potencia
suministrado a la carga y disipado por ella. Tenga en cuenta que esta potencia no depende del voltaje
estar detrás o delante de la corriente. Solo importa el valor absoluto del ángulo θ,
porque recuerda eso cos (- θ) = cos θ.
eq. 52-01
Intencionalmente, en la ecuación anterior, escribimos Vmax /√ 2 y
Imax /√ 2 para anticipar lo que consideraremos en el siguiente item,
el llamado valor efectivo.
Hasta ahora hemos estado trabajando con valores máximos y mínimos de las funciones que representan
voltaje o corriente eléctrica. Sin embargo, estos valores solo suceden en un cierto
tiempo t. Estamos interesados en un valor que pueda representar estos valores en cualquier momento, como si fuera un valor en corriente continua. Es en este punto que definimos el
valor efectivo de un voltaje o corriente eléctrica.
Valor efectivo, o como también se le conoce, valor RMS (root mean square), se definió como ese valor sinusoidal (o coseno) equivalente que cuando se aplica
sobre una carga resistiva se disiparía la misma potencia si la carga
fue alimentado con un cierto valor continuo.
Esta equivalencia de valores viene dada por:
eq. 52-02
Por lo tanto, podemos redefinir potencia media, o también conocido como
potencia efectivo, o potencia real , o potencia útil , con los valores
voltaje y corriente efectiva, es decir:
Analizaremos el caso de suministrar potencia media a los componentes pasivos que hemos estudiado hasta ahora.
5.1 Potencia Absorbida por una Resistencia Ideal
Sabemos que una resistencia no causa un retraso entre el voltaje y la corriente a la que está sometida.
Luego θ = 0° y cos 0° = 1, resultando que la potencia es simplemente el
producto entre el voltaje en la resistencia y la corriente que circula a través de él.
Ejemplo - Aplicamos un voltaje sobre una resistencia
igual a v = 20 sen(ωt + 20°) y tenemos una corriente i = 4 sen(ωt + 20°).
¿Cuál es el valor de resistencia y cuál es la potencia real disipada por él?
Solución - Por ley de Ohm tenemos que
R = Vmax/Imax o R = 20 / 4 = 5 ohms. ¡Muy fácil!
Ahora calculemos la potencia que la resistencia disipa. Darse cuenta de que la tensión
y la corriente fueron dados por una función sinusoidal, entonces el valor que multiplica la función
seno es el valor máximo (o valor pico) que el voltaje (o corriente)
alcanza. Por lo tanto, usando la ecuación de potencia media (o real) para resistencias, encontramos:
Sabemos que en un inductor ideal (o puro) la corriente se retrasa 90° en relación con el voltaje aplicado.
Para un condensador ideal (o puro), la corriente avanza 90° en relación con el voltaje que se le aplica. Tenga en cuenta que para cualquier elemento reactivo ideal que consideremos habrá una
diferencia de fase de 90° entre el voltaje y la corriente.
Ahora, si tenemos el ángulo θ = 90° entonces como cos 90 ° = 0 , y por eq. 52-03 esto significa que la potencia media o real en un elemento reactivo es NULA.
Por lo tanto, en cualquier red que tenga solo inductores y condensadores, la potencia media siempre será NULA.
En la práctica, como no trabajamos con componentes ideales (o puros), cualquier circuito siempre contendrá algún elemento resistivo asociado con uno o más elementos reactivos.
Esto sugiere que siempre habrá una diferencia de fase entre el voltaje aplicado y la corriente eléctrica que circula por el circuito.
Esta diferencia de fase se conoce como FACTOR DE POTENCIA y se define como:
Factor de Potencia = FP = cos θ
Como anticipamos en el item 3, solo estamos interesados en el valor absoluto del ángulo θ.
Entonces surge una pregunta: ¿cómo sabemos si el factor de potencia es causado por
un circuito inductivo o capacitivo? Es simple: basémonos en las características de los elementos.
Por lo tanto, si el circuito es predominantemente inductivo, decimos que el factor de potencia es INDUCTIVO o RETARDADO (porque el inductor retrasa la corriente eléctrica en relación con el voltaje).
Si el circuito es predominantemente capacitivo, decimos que el factor de potencia es CAPACITIVO o AVANZADO (debido al hecho de que el condensador avanzar la corriente eléctrica en relación con el voltaje).
Otra forma de expresar el factor de potencia es en función de la potencia real y los valores efectivos de voltaje y corriente. Vea a continuación cómo podemos escribir:
eq. 52-04
Razonamiento con Lógica
Sabemos que la función coseno es adimensional. Dado que en el numerador de la ecuación anterior tenemos
el potencia real, esto sugiere que el término en el denominador también debe ser una potencia. Y realmente,
llamamos a este término POTENCIA APARENTE y generalmente se representa con la letra
S.
Entonces podemos escribirlo como:
eq. 52-05
Observe que para el cálculo de potencia aparente, el ángulo de retraso no importa
entre voltaje y corriente. Para evitar confusiones con potencia real, la unidad de medida de
potencia aparente es el voltio-amperio, o simplemente, VA.
De esta manera podemos concluir que el potencia aparente solo será igual a
potencia real cuando el circuito tiene una impedancia total puramente resistiva, porque en este caso
tenemos que FP = 1. Entonces, si hay elementos reactivos en el circuito tenemos 0 < factor de potencia < 1 y la potencia aparente, en este caso, siempre será mayor que la potencia activa o real.
Podemos representar la potencia como una cantidad compleja. En este caso, el módulo
de la potencia compleja representa la potencia aparente y la parte real
representa potencia activa o real. De la parte imaginaria emerge una nueva grandeza que llamamos POTENCIA REACTIVA y su unidad es voltio amperio reactivo, o simplemente
VAr, y generalmente se simboliza con la letra Q.
Expresaremos la potencia compleja como el producto entre el voltaje efectivo y el complejo conjugado de la corriente eléctrica efectiva, o:
eq. 52-06
Si tenemos el valor de potencia compleja y, además, sabemos el valor de
ángulo de retraso entre voltaje y corriente, por lo tanto podemos calcular fácilmente
el valor de potencia real usando la ecuación a continuación.
eq. 52-07
Lo mismo se aplica a potencia reactiva, solo reemplazando la función coseno
por la función seno como podemos ver en la ecuación a continuación.
eq. 52-08
Como la potencia compleja, la potencia real y la potencia reactiva
son parte de un triángulo rectángulo (como veremos en el siguiente item), entonces podemos usar el
Teorema de Pitágoras y así encontramos una relación entre las tres cantidades.
Mirando de cerca la última ecuación en el ítem anterior, está claro que podemos representar
la potencia compleja por un triángulo rectángulo donde cada lado se interpretará como una
potencia. La potencia real estará representado por el lado adyacente,
la potencia reactiva estará representada por el lado opuesto y, finalmente,
la potencia aparente estará representado por la hipotenusa del triángulo rectángulo.
En la Figura 52-02 podemos ver la representación de las tres potencias en un triángulo.
Figura 52-02
Debemos enfatizar que en la Figura 52-02 usamos el hecho de que la potencia reactiva
es positiva, es decir, inductiva. Es por eso que representamos la potencia reactiva por encima del
eje horizontal. En la literatura técnica, hay algunos autores (por ejemplo, Joseph A. Edminister)
que prefieren usar el hecho de que el inductor retrasa la corriente eléctrica en relación con el voltaje.
En este caso, invierten la dirección del triángulo, representando la potencia reactiva inductiva hacia abajo.
Tenga en cuenta el hecho de que el ángulo ser negativo. Por lo tanto, la potencia reactiva capacitiva
está orientada hacia arriba, debido el ángulo es positivo . Sin embargo, debe tenerse en cuenta que,
en cualquier caso, se obtendrán los mismos resultados de potencia y ángulo.
Por lo tanto, el estudiante puede elegir cómo dibujar el triángulo de potencia: si desde el punto de vista del ángulo
(negativo para reactancia inductiva y positivo para reactancia capacitiva) o si desde el punto de vista
de la potencia (positivo para reactancia inductiva y negativo para reactancia capacitiva).
Ahora que tenemos una buena base de las diferentes potencias involucradas en los circuitos eléctricos
podemos estudiar con más detalle qué es este factor de potencia
y por qué deberíamos arreglarlo.
Como ya hemos visto, el factor de potencia no es más que el coseno del
ángulo (θ) que es la diferencia de fase entre voltaje y corriente eléctrica. Pero ...
¿Por qué es esto importante?
El hecho importante a tener en cuenta es que los grandes consumidores, como las industrias, utilizan muchos
motores eléctricos potentes y, como sabemos, los motores eléctricos son típicamente circuitos inductivos. En otras palabras:
causan una gran diferencia de fase entre el voltaje y la corriente eléctrica. Como la empresa que es
el proveedor de electricidad solo puede cobrar potencia real, así que si tenemos
en un circuito con un alto consumo de potencia reactiva, la empresa está perdiendo dinero.
Para que esto no suceda, por ley, hay reglas que regulan qué menor
factor de potencia que las industrias pueden operar. En Brasil, este factor de potencia no puede ser
menor que 0,92. La compañía de suministro de electricidad monitorea cada 15 minutos
el factor de potencia de cada consumidor que es su cliente. Si el factor de potencia del consumidor
está por debajo del valor 0,92, como penalización, sufrirá un aumento de las tarifas.
Por esta razón, las industrias tienen un sistema computarizado que monitorea constantemente
el factor de potencia y, si encuentra que está fuera (FP < 0,92) de regulación, la computadora
corrige el factor de potencia automáticamente.
La pregunta que debemos hacernos es:
¿CÓMO CORREGIR EL FP?
La respuesta es simple: simplemente agregue "algo" para hacer que el
se reduce el retraso de la corriente eléctrica en relación con el voltaje. El unico componente
que estudiamos y que permite que esto suceda es el ... CONDENSADOR. Pero ...
¿agregar de que manera? Los grandes consumidores utilizan bancos de condensadores que están conectados en paralelo con la carga. Por lo tanto, si el factor de potencia es bajo, los condensadores están conectados en paralelo con la carga para aumentar el FP. Así, el factor de potencia siempre será con un valor entre 0,92 y 1, e inmune a las sanciones.
El problema 52-8 ilustra esta técnica de corrección del factor de potencia. Para acceder a ella
Haga click aquí!
En el capítulo 7 estudiamos este teorema cuando solo teníamos resistencias en un circuito alimentado por CC.
Ahora vamos a estudiarlo cuando, en un circuito alimentado por CA, exista la presencia de elementos
reactivos. Para tanto, usaremos como referencia el circuito que se muestra en la Figura 52-03.
Figura 52-03
El circuito tiene una impedancia compleja (Zi) valor fijo, en serie con un
fuente de voltaje (V), y este sistema suministra una carga compleja (ZL).
Con respecto a la potencia de corriente alterna, podemos establecer tres casos que pueden ocurrir. Los analizaremos por separado.
Caso 1
Veamos el caso cuando la carga se compone de una sola resistencia. En este caso, tenemos que
XL = 0.Por lo tanto, la transferencia de potencia máxima a
la carga resistiva ocurre cuando se cumple la siguiente condición:
RL = |Zi| = √(Ri2 + Xi2)
eq. 52-10
Por lo tanto, habrá una transferencia máxima de potencia a la carga cuando sea igual
al valor absoluto de la impedancia compleja, Zi.
Si el elemento reactivo de la impedancia en serie es nulo, es decir, Xi = 0,
luego volvemos al caso que estudiamos en el capítulo 5, a saber, RL = Ri.
Caso 2
En el segundo caso, consideraremos la carga con elemento resistivo fijo y
variable reactiva.
Entonces, tenemos que cumplir dos condiciones para la máxima transferencia de potencia
para la carga. Vea abajo:
RL = Ri y
XL = - Xi
eq. 52-11
Esto significa que debemos tener una relación entre ZL y Zi,
tal que uno es el complejo conjugado del otro. En otras palabras: si la carga es un circuito
inductivo, entonces Zi debe ser un circuito capacitivo.
E vice-versa.
Caso 3
En el tercer caso, consideraremos la carga con elemento resistivo variable y
reactivo fijo.
Por lo tanto, para una transferencia de potencia máxima a la carga, debemos cumplir la siguiente condición:
RL = √[Ri2 + ( Xi + XL)2]
= |Zi + jXL|
eq. 52-12
Darse cuenta, una vez más, que si XL = - Xi, entonces volvemos sobre
caso 1, donde RL = Ri, condición para el máximo
transferencia de potencia.
Si está interesado en la prueba matemática de estos tres casos, puede obtener
Haga click aquí!
Un vatímetro es un dispositivo o equipo que tiene el propósito de medir
potencia activa o real. Básicamente consiste en dos bobinas, una para medir la corriente eléctrica que fluye a través de la carga y la otra para medir el voltaje en la carga. El primero es una bobina de muy baja resistencia óhmica que se conecta en serie con la carga. Idealmente, la caída de voltaje es NULA. Conocido como bobina de corriente (BC).
La segunda bobina tiene una resistencia óhmica muy alta y está conectada en paralelo con la carga. Idealmente, la corriente que fluye a través de ella es NULA. Conocido como bobina de tensión (BT) . En Figura 52-04 vemos el esquema básico de un vatímetro .
Figura 52-04
Se acordó que si la corriente ingresa al terminal marcado como positivo en la bobina de corriente y el voltaje es positivo en el terminal marcado como positivo en la bobina de voltaje, entonces la lectura del medidor de vatios será positiva, es decir, la carga es consumo de energía. Por lo tanto, la parte
real del producto entre el módulo de voltaje y el módulo de corriente medido por las bobinas de corriente será la potencia media (o activa, o real), con la unidad de medida de vatios o
kilovatios . Entonces la ecuación que usaremos para calcular la potencia será:
eq. 52-13
Ejemplo
Usemos como ejemplo el problema 54-6 , cuya solución
Vea Aquí!
Consideremos el circuito delimitado por los puntos a-b como una carga, como se muestra en la
Figura 52-05.
Al revisar la solución, sabemos que Vab = 50∠0° y que I = 9,09∠-88,42°. Por lo tanto, estos datos son los valores que leerían el voltímetro y el amperímetro (que representan el vatímetro), que se muestran en la figura a continuación. Por lo tanto, a partir de estos valores, encontramos que el ángulo entre el voltaje en los puntos a-b y la corriente es
θ = 88,42°.
No olvides eso cos (-88,42°) = cos 88,42°.
Figura 52-05
Podemos calcular la potencia consumida por la carga utilizando la ecuación 52-13 ,
donde tenemos que θ = θv - θi , es decir:
P = |V| |I| cos (θ) = 50 x 9,09 x cos (88,42°)
Realizando el cálculo, encontramos:
P = 12,53 vatios
Como la carga tiene una sola resistencia, esa potencia se disipa en la resistencia de
20 ohmios, ya que los inductores no consumen potencia real.
