Como vimos en el capítulo anterior, la presencia de elementos reactivos en un circuito
nos permite seleccionar o rechazar frecuencias que nos interesan. Circuitos
que tienen estas características se denominan FILTROS. Básicamente, hay
cuatro tipos de filtros que se estudiarán en este capítulo.
Filtro de Paso Bajo - (Low Pass)
Filtro Paso Alto - (High Pass)
Filtro de Paso de Banda - (Band Pass)
Filtro Rechaza de Banda - (Band Reject)
Además, los filtros se pueden clasificar en dos categorías:
Filtros Pasivos - aquellos que usan elementos pasivos R, L y C
en varias combinaciones de series y circuitos paralelos.
Filtros Activos - son aquellos que, además de los elementos pasivos, agregan elementos activos,
tales como transistores y / o amplificadores operacionales.
Aquí nos limitaremos al estudio de filtros pasivos de primer orden , que son filtros
caracterizado por una pendiente de la atenuación de señal o línea de refuerzo, del orden
de 6 dB / octava o 20 dB / decada (valores equivalentes).
Los filtros paso bajo son aquellos que solo permiten el paso de señales de baja frecuencia, atenuando o eliminando frecuencias superiores a la frecuencia de corte del filtro.
Podemos desarrollar varios tipos de filtros paso bajo . Comenzaremos mirando el
filtro formado con una resistencia y un condensador.
Sea el circuito que se muestra en la Figura 59-01 (abajo), formado por una resistencia en serie con un condensador. Estamos interesados en analizar la voltaje Vo que se desarrolla en el condensador cuando variamos la frecuencia de operación de la fuente de voltaje V. El valor del voltaje de fuente es 10 voltios.
Figura 59-01
Note que la resistencia en serie con el condensador forma una impedancia cuyo valor absoluto viene dado por
|Z| = √ (R2 + Xc2) e Xc = 1 / (ω C).
Con eso en mente y aplicando un divisor de voltaje al circuito que se muestra en la figura anterior,
podemos escribir la ecuación que permite calcular el voltaje de salida, Vo, para cualquier frecuencia.
eq. 59-01
La diferencia de fase entre el voltaje de salida y el de la fuente de voltaje, representada por la letra griega θ
en la ecuación anterior, se expresa mediante la ecuación eq. 59-02.
En esta ecuación, θ siempre es negativo (excepto f = 0 Hz), y el voltaje de salida,
Vo, está siempre atrazada en relación con la voltage entrada, V. Razón por la cual esto circuito se
conoce como circuito de retardo.
eq. 59-02
También podemos expresar la relación entre el voltaje de salida y el de la fuente de voltaje de entrada, en dB,
usando la ecuación que se muestra a continuación:
eq. 59-03
Comencemos asumiendo que la frecuencia de la fuente de voltaje es 10 Hz . Entonces, la impedancia |Z| y Xc presentam los valores de
|Z| = 9 947,67 Ω y Xc = 9 947,19 Ω.
Aplicando los valores calculados anteriormente en la ecuación, encontramos para Vo el valor de:
Vo = V (Xc / |Z|) = 10 (9 947,19 / 9 947,67) ≈ 10 V
Nos gustaría llamar la atención sobre el hecho de que el valor de Xc = 9 947,19 Ω
es prácticamente 100 veces el valor de resistencia de 100 ohmios para la frecuencia de
10 Hz.
Por lo tanto, casi no hay caída de voltaje en la resistencia. Así, todo el voltaje de la fuente aparece en el condensador.
Calcularemos esta relación en dB , es decir:
GdB = 20 log (Vo / V) = 20 log (10 / 10) = 0 dB
Y la diferencia de fase entre los voltajes que se produce para la frecuencia de 10 Hz es:
θ = - tg-1 (R / |Xc|) = - 0,58°
Darse cuenta de que a altas frecuencias, XC es muy pequeño en comparación con R y la razón
R / XC es muy grande, entonces θ tiende a - 90°. A bajas frecuencias, la relación
es pequeña y θ tiende a 0°.
La idea básica aquí es aumentar la frecuencia de la fuente de voltaje y analizar cómo se comporta el voltaje en el
condensador. Para facilitar nuestros estudios, preparamos la tabla 59-01 con los valores calculados para
Vo (usando los pasos anteriores) dependiendo de la frecuencia de la fuente. Vea a continuación cómo resultó:
Tabla 59-01
Frecuencia (Hz)
Reactancia (Ω)
Voltaje de Salida (V)
Valor en dB
Fase en Grados
10
9 947,19
10,0
0
- 0,58
50
1 989,44
9,99
- 0,01
- 2,88
100
994,72
9,95
- 0,04
- 5,74
500
198,94
8,93
- 0,98
- 26,69
1 000
99,47
7,07
- 3,00
- 45,15
2 000
49,74
4,45
- 7,03
- 63,56
5 000
19,89
1,95
- 14,20
- 78,75
10 000
9,95
0,99
- 20
- 84,32
20 000
4,97
0,50
- 26
- 87,15
50 000
1,99
0,20
- 34
- 88,86
100 000
0,99
0,10
- 40
- 89,43
Observe que para la frecuencia 1 000 Hz hubo una caída de 3 dB en la
voltaje de salida Vo en relación con V. Cuando eso sucede, esta
frecuencia se considera la frecuencia de corte del filtro. Analíticamente, podemos
encuéntralo haciendo:
Xc = R
Al manipular esta igualdad algebraicamente, podemos encontrar la ecuación que nos permite calcular la
frecuencia de corte del filtro en función de los valores de C y R. Vea la
eq. 59-04.
eq. 59-04
Según la tabla anterior, podemos trazar el gráfico de la ganancia (en dB) frente a
frecuencia (en Hz). Vea la Figura 59-02.
Figura 59-02
En la tabla anterior también podemos trazar el gráfico de la fase versus la frecuencia (en Hz). Vea en la Figura 59-03 (abajo) cómo se ve.
Figura 59-03
También podemos encontrar una ecuación que relacione el voltaje de salida y el voltaje de entrada en función de la frecuencia considerada y la frecuencia de corte del filtro. Para esto, consideraremos el siguiente desarrollo:
eq. 59-05
A partir de esta ecuación podemos expresar el módulo y la fase de la ganancia del circuito paso bajo en
función de la frecuencia. Por lo tanto, en términos de módulo y fase, es posible escribir:
eq. 59-06
Note que cuando f = fc, por la eq. 59-06 obtenemos Vo / V = 0,707 .Usando la eq. 59-03 ,
después del cálculo verificamos que esto corresponde a un valor de 3 dB por debajo del nivel de referencia. En base a esto, decimos que
la frecuencia de corte del filtro ocurre cuando el voltaje de salida es 3 dB por debajo del voltaje de entrada, o
Vo / V = 0,707.
En cuanto a la fase, por eq. 59-06, notamos que cuando f = fc tenemos θ = - 45°. Note que por la
eq. 59-02 el ángulo θ será siempre negativo
(excepto para f = 0 Hz) y, por lo tanto, este filtro también se conoce como circuito de retardo.
Anexo Práctico
Este circuito es ampliamente utilizado en receptores FM , en la etapa de audio. Su
propósito es eliminar el pre-énfasis que ocurre en los equipos de transmisión FM. Este pre-énfasis, mejor conocido como pre-énfasis
en 75 µs, tiene como objetivo lograr
una ganancia adicional de 6 dB / octava a partir de la frecuencia de
2 122 Hz y sube hasta la frecuencia de 15 KHz, frecuencia limite de la banda FM.
Por lo tanto, en el receptor, debemos eliminar este pre-énfasis para lograr, en el rango de 20 Hz a 15 000 Hz,
un voltaje "casi" constante en la salida del amplificador de audio. En la literatura técnica, esta respuesta
del amplificador se conoce como "flat" . Para esto, se inserta un filtro de paso bajo
con frecuencia de corte a 2 122 Hz antes del preamplificador de audio. Prácticamente 100% de los receptores
de FM en el mercado usan este tipo de filtro de paso bajo. En los receptores de AM, este tipo de filtro también se
utiliza en la salida de la etapa llamada detector de audio, para eliminar la frecuencia de radio y amplificar solo
la señal de audio. Por lo tanto, hay innumerables equipos electroelectrónicos que utilizan filtros de paso bajo.
En el ítem anterior vimos un filtro de paso bajo usando una resistencia y un condensador. Ahora
Veamos un circuito que utiliza una resistencia y un inductor en serie para formar un circuito de paso bajo.
Vea en la Figura 59-04 el circuito que analizaremos, donde el valor de la resistencia es 100 ohmios y el valor del
inductor es 16 mH. Observe que en relación con
el circuito anterior tenía una inversión en la posición de los componentes.
Figura 59-04
En este circuito estamos interesados en analizar el voltaje de salida Vo que se desarrolla sobre el resistencia.
Recordemos que la reactancia inductiva viene dada por
XL = ω L. Por lo tanto, a medida que aumentamos la frecuencia de la fuente de voltaje, la reactancia inductiva
crecerá en la misma proporción.
Para encontrar el valor de Vo usaremos un divisor de voltaje, como
lo hicimos en el ítem anterior. Tenemos que |Z| = √(R2 + XL2).
Entonces, la ecuación que nos permite calcular el voltaje de salida Vo, viene dada por
la eq. 59-07.
eq. 59-07
La diferencia de fase entre el voltaje de salida y el de la fuente de voltaje, representada por la letra griega θ
en la ecuación anterior, se expresa mediante la ecuación eq. 59-08.
eq. 59-08
Haciendo el cálculo para f = 10 Hz,
encontramos XL = 1 Ω y
|Z| = √ (12 + 1002) ≈ 100 Ω.
Usando el eq.59-07 con los valores calculados anteriormente, encontramos para
Vo el valor de:
Vo = V (R / |Z|) = 10 (100 / 100) = 10 V
Note que para esta frecuencia de 10 Hz, la reactancia del inductor es tan pequeña que
el circuito se comporta como si el inductor no existiera. Para calcular la fase, solo use el
eq, 59-08 y tenemos:
θ = arctan (XL / R) = 0,58°
Seguir los mismos pasos realizados para el filtro anterior y volver a calcular
los valores de |Z| y Vo, para frecuencias superiores
a 10 Hz, hemos preparado la tabla 59-02 como se muestra a
continuación.
Tabla 59-02
Frecuencia (Hz)
Reactancia (Ω)
Voltaje de Salida (V)
Valor en dB
Fase en Grados
10
1,00
10
0
0,58
50
5,03
9,98
- 0,01
2,88
100
10,05
9,95
- 0,04
5,74
500
50,26
8,93
- 0,98
26,69
1 000
100,53
7,07
- 3,00
45,15
2 000
201,06
4,45
- 7,03
63,56
5 000
502,65
1,95
- 14,20
78,75
10 000
1 005,31
0,99
- 20
84,32
20 000
2 010,62
0,50
- 26
87,15
50 000
5 026,55
0,20
- 34
88,86
100000
10 053,09
0,10
- 40
89,43
Tenga en cuenta que al comparar las dos tablas, la del circuito R-C y la del circuito R-L,
la única diferencia que tenemos es en la fase de la señal de salida. Mientras que el
circuito RC presenta un retraso en el voltaje de salida en relación con la señal de entrada, el
circuito RLavanza el voltaje de salida en relación con la señal de entrada.
Como en el caso del filtro de paso bajo R-C, a la frecuencia de 1 000 Hz, también hubo una caída de
3 dB en el voltaje de salida Vo, en relación con V . Esta es la
frecuencia de corte del filtro. Analíticamente, podemos encontrarlo haciendo:
XL = R
Al manipular esta igualdad algebraicamente, podemos encontrar la ecuación que nos permite calcular la frecuencia de corte del filtro en función de los valores de L y R. Vea eq. 59-09.
eq. 59-09
Según la Tabla 59-02, podemos trazar el gráfico de la ganancia (en dB) frente a
frecuencia (en Hz). Vea la Figura 59-05. Tenga en cuenta que es el mismo gráfico que el filtro de paso bajo R-C, presentado en la Figura 59-02.
En muchas aplicaciones prácticas no nos interesa que después de la frecuencia de corte la señal
en la salida se atenúa, o incluso, se elimina. Nuestro objetivo es que solo un pequeño rango de
las frecuencias se atenúan. Luego tenemos una segunda frecuencia donde, a partir de eso
frecuencia, la señal en la salida tiene una amplitud aproximadamente constante.
En la Figura 59-07 podemos ver un circuito que cumple con este requisito. Vamos
analizarlo.
En primer lugar, debemos observar que la señal de salida es por encima de la impedancia
formado por resistencia R2 y el condensador C, o sea, R2
y el condensador C son como una carga. Por lo tanto, la impedancia
es dado por ZL = R2 - j XC.
Figura 59-07
En este circuito es fácil ver que para la frecuencia de 0 Hz el condensador representa
un circuito abierto. Por lo tanto, concluimos que Vo = V. Cuando aumentamos la frecuencia
para valores muy altos (digamos 100 kHz), el condensador se comporta como un cortocircuito. Entonces, podemos encontrar el voltaje de salida Vo con un simple divisor de voltaje, o:
Vo = V R2 / (R1 + R2)
Entonces, ya conocemos los valores extremos de Vo. Para frecuencias intermedias
el valor de Vo viene dado por:
Vo = V (R2 - j XC ) / (R1 + R2 - j XC )
A partir de esta ecuación podemos determinar la ganancia del circuito, es decir, la relación entre Vo y V. Luego:
Av = Vo / V = (R2 - j XC ) / (R1 + R2 - j XC )
Recordando que XC = 1 / (2 π f C) y desarrollando la relación anterior, llegamos a:
eq. 59-10
En la ecuación anterior, los términos que aparecen son:
Av - Ganancia de voltaje del filtro.
Vo - voltaje de salida del filtro.
V - voltaje de entrada del filtro.
fc - primera frecuencia de corte del filtro.
f1 - segunda frecuencia de corte del filtro.
f - frecuencia que quieres analizar.
Las frecuencias fc y f1 se puede determinar usando
eq. 59-11 y eq. 59-12, respectivamente.
eq. 59-11
eq. 59-12
En la figura a continuación podemos ver el gráfico de la respuesta de frecuencia del circuito. Tenga en cuenta que, como las ecuaciones anteriores, fc depende de los valores de C, R1 y R2, mientras que f1 depende de los valores de C y R2.
De esta manera, entendemos que siempre fc < f1, como se puede ver en el gráfico mostrado en la Figura 59-08.
Figura 59-08
Recordando que 6 dB / octava es equivalente a 20 dB / decada.
Los filtros paso alto son aquellos que solo permiten el paso de señales de alta frecuencia,
atenuar o eliminar frecuencias por debajo de la frecuencia de corte del filtro.
Podemos elaborar varios tipos de filtros paso alto. Comenzaremos mirando el
filtro formado con un condensador y una resistencia.
Sea el circuito que se muestra en la Figura 59-10 formado por un condensador en serie con una resistencia.
Estamos interesados en analizar la tensión Vo que se desarrolla en la resistencia cuando
variamos la frecuencia de operación de la fuente de voltaje V, cuyo valor establecemos a 10 voltios.
Figura 59-10
Note que el condensador en serie con la resistencia forma una impedancia cuyo valor absoluto viene dado
por |Z| = √ (R2 + Xc2). Cómo queremos calcular el voltaje en
la resistencia, podemos aplicar un divisor de voltaje y encontrar la eq. 59-13.
eq. 59-13
La diferencia de fase entre el voltaje de salida y el de la fuente de voltaje, representada por la letra griega θ
en la ecuación anterior, se expresa mediante la ecuación eq. 59-14.
eq. 59-14
Comencemos suponiendo que la frecuencia de la fuente de voltaje es 10 Hz. Entonces
la impedancia |Z| muestra el valor de |Z| = 9 948,17 Ω.
Aplicando la eq. 59-13 y recordando que R = 100 Ω
encontramos para Vo el valor de:
Vo = V (R / |Z|) = 10 (100 / 9 948,17) ≈ 0,1 V
Siguiendo el mismo proceso de cálculo para las otras frecuencias, presentamos
el Tabla 59-03.
Deje que el circuito que se muestra en la figura a continuación esté formado por un inductor en serie con una resistencia. Estamos interesados en analizar la tensión Vo que se desarrolla
en el inductor cuando variamos la frecuencia de funcionamiento de la fuente de voltaje
V, de 10 voltios.
Figura 59-13
Note que el inductor en serie con la resistencia forma una impedancia cuyo valor absoluto viene dado por
|Z| = √ (R2 + XL2). Como queremos calcular el voltaje en
el inductor, podemos aplicar un divisor de voltaje y encontrar la eq. 59-15.
eq. 59-15
Para encontrar la frecuencia de corte de este tipo de filtro, debemos equiparar el valor de la reactancia inductiva al valor de R. De esta forma, encontraremos la misma ecuación que la del filtro paso bajo R L, dada por la eq 59-09, repetida a continuación.
eq. 59-09
De la misma manera que lo hicimos en el ítem anterior, supongamos que la frecuencia de la fuente de voltaje es 10 Hz. Entonces, la impedancia |Z| presenta el valor de
|Z| ≈ 100 Ω.
Aplicando la ecuación anterior y recordando que
XL = 2 π f L ≈ 1 Ω encontramos para Vo el valor de:
Vo = V (XL / |Z|) = 10 (1 / 100) = 0,1 V
Siguiendo el mismo proceso de cálculo para las otras frecuencias, presentamos la Tabla 59-04.
Este tipo de filtro se puede usar cuando se desea limitar la atenuación de baja frecuencia.
En la figura a continuación vemos una configuración de un circuito que realiza esta función.
Figura 59-16
En este circuito cuando tenemos f = 0 Hz , el condensador se comporta como un circuito abierto y,
por lo tanto, el voltaje Vo depende solo de los valores de R1 y R2.
Entonces la ganancia de voltaje se puede expresar como:
Av = Vo / V = R2 / (R1 + R2)
Para frecuencias altas, el condensador se comporta como un cortocircuito y Vo = V. Por lo tanto,
la ganancia del circuito para las frecuencias intermedias variará entre
R2 / (R1 + R2) y 1, como podemos ver en la figura a continuación:
En muchas situaciones reales de trabajo de algunos equipos eléctricos y electrónicos, es deseable que exista una limitación en su
ancho de banda. Un ejemplo típico es el caso de la telefonía, donde la respuesta del sistema a la voz humana
está limitado entre las frecuencias de 300 Hz a 3 kHz. Basado en varias experiencias, este
fue el ancho de banda adoptado, ya que resultó ser suficiente para la inteligibilidad de la voz humana incluso
después de haber sido "transportados" durante kilómetros por cables eléctricos. Y para ello existe la
filtro de paso de banda.
En general, para ello se coloca un filtro de paso bajo en serie con un filtro de paso alto. Así,
el filtro de paso bajo establece la frecuencia de corte superior mientras que el filtro de paso alto establece
la frecuencia de corte inferior.
Figura 59-18
En la Figura 59-18, podemos ver un tipo de filtro de paso de banda RC como se describe anteriormente. Tenga en cuenta que el condensador C1 junto con la resistencia
R1 forman un filtro de paso alto, mientras que el condensador C2 junto con la resistencia R 2 forman un filtro de paso bajo. Las frecuencias de corte de los dos filtros se muestran en eq. 59-16 y eq. 59-17, más abajo.
eq. 59-16
eq. 59-17
Este filtro, como se muestra en la Figura 59-18, para funcionar correctamente debe tener las frecuencias
de corte bastante espaciadas entre sí. En la Figura 59-18, se puede ver que el filtro de paso bajo está en
paralelo con la resistencia R1 que forma parte del filtro de paso bajo alto. Por lo tanto, la
impedancia formada por R2 y C2 debe ser lo suficientemente grande en relación
con R 1 para que el filtro funcione satisfactoriamente.
Una de las soluciones para resolver la limitación de este filtro es el uso de amplificadores operacionales. Así, en la Figura 59-19 podemos ver el esquema de un filtro de paso de banda.
usando un Opamp. Ésta es sólo una de las posibles formas de solucionar el problema. Tenga en cuenta que eq. 59-16 y eq. 59-17 siguen siendo válidos para encontrar el
frecuencias de corte del filtro. Y es posible acercar mucho las frecuencias de corte, ya que el Opamp actúa como aislante entre los filtros.
Figura 59-19
Debido a que el filtro tipo RC presenta problemas con frecuencias de corte muy cercanas, una alternativa es utilizar un filtro resonante basado en un circuito RLC en serie o
paralelo como se vio en el capítulo anterior (resonancia).
El circuito de este tipo de filtro se muestra en la Figura 59-20. Una característica de este filtro es
que el voltaje de salida no es igual al voltaje de entrada en la banda de paso.
Figura 59-20
Sin embargo, es posible determinar en qué rango de frecuencia Vo será mayor o igual a
0,707 Vi. Sabemos que en resonancia la reactancia inductiva anula la reactancia capacitiva, porque
son iguales en módulo. Entonces, en esta frecuencia tenemos:
eq. 59-18
Por otro lado, sabemos que la frecuencia de resonancia, fS, del filtro viene dada por:
eq. 59-19
Además, el factor de mérito, QS, y el ancho de banda, ΔfS, vienen dados por:
El circuito de este tipo de filtro se muestra en la Figura 59-21. En este tipo de filtro, el voltaje de salida
tampoco es igual al voltaje de entrada en la banda de paso.
Figura 59-21
Tenga en cuenta que el circuito del filtro está dentro del rectángulo punteado rojo. A la impedancia de este filtro la
llamaremos ZTp, que es el resultado del paralelo
( Rp + j XL ) // XC. Esta impedancia alcanza su máximo en la frecuencia de resonancia.
Luego, podemos calcular el voltaje de salida máximo del filtro aplicando un divisor de voltaje. Con esto obtenemos la
eq. 59-22 a continuación.
eq. 59-22
Por otro lado, podemos calcular la frecuencia de operación del filtro usando eq. 59-23 a continuación.
eq. 59-23
En el capítulo Resonancia se encuentra un estudio detallado de este tipo de circuito. Para acceder
haga clic aquí!
Así como en muchas situaciones queremos un filtro que solo esté activo en un cierto rango de
frecuencias (en el caso del filtro de paso de banda). Sin embargo, hay situaciones en las que el objetivo es no permitir
cierto rango de frecuencia alcanza la salida del circuito. Este objetivo se consigue con el circuito
llamada banda de rechazo, también conocida por nombres como muesca, banda de atenuación,
rechazo de banda, etc... Para construir un filtro de rechazo de banda utilizamos los mismos filtros
utilizado en el filtro de paso de banda. La diferencia es que en el filtro de rechazo de banda usamos el filtro de paso
baja para establecer la frecuencia de corte inferior, mientras que el filtro de paso alto determina la
Frecuencia de corte mayor.
Otra posibilidad de construir un filtro de rechazo de banda se muestra en la Figura 59-22. En este ejemplo,
se utilizó un circuito en serie L C. La frecuencia de rechazo del filtro se puede calcular usando eq. 59-23.
Figura 59-22
Debemos entender que, en este caso, cuando el circuito opera a la frecuencia de resonancia estipulada por los valores de L y C,
la reactancia del circuito en serie LC tiende a cero, lo que hace que el voltaje de salida del filtro sea cero.
Ese es el propósito de este tipo de filtro.
