Problema 55-15    Fuente:   Problema 26 - Lista de Problemas RLC - Disciplina Circuitos Eléctricos de la Escuela de Ingeniería - UFRGS - 2011 - Prof. Dr. Valner Brusamarello.

En el circuito que se muestra en la Figura 55-15.1, se sabe que V₁ = 60 V. Determine la lectura del voltímetro V₂, así como el valor de V_ab.

Solución del Problema 55-15   

Llamando a la impedancia de la rama donde circula I₁, de Z₁, y la impedancia de la rama donde circula I₂, de Z₂, podemos escribir:

Asumiendo la voltaje V_ab como el voltaje de referencia, es decir V_ab∠0° y en base a esa información, podemos escribir:

Del mismo modo para |I₂|:

Podemos encontrar una relación entre |I₁| y |I₂| si nos dividimos |I₁| por |I₂|, o sea:

Con esta información, podemos encontrar los valores de |I₁| y |I₂| usando un pequeño truco. Observe, en el gráfico a continuación, que el valor del ángulo entre |V_R1| y |V_C|, es 15°. Entonces, puedes encontrar los valores de estos voltajes dependiendo de una corriente, por ejemplo |I₂|. Cómo V_R1 = R₁  |I₁| = 4,33  |I₁| y |I₁| = 2 √2 |I₂|, entonces podemos escribir:

Del mismo modo para |V_C|:

Por el enunciado del problema, sabemos que |V₁| = 60 voltios. Ahora, mirando el gráfico mostrado en la Figura 55-15.2, notamos que |V_C|, |V_R1| y |V₁| formar un triangulo. Además, se conocen uno de los ángulos y su lado opuesto. Por lo tanto, puede usar la ley de cosenos y determinar el valor de |I₂|, porque las ecuaciones que relacionan |V_C| y |V_R1| con |I₂| ya se han deducido. Luego:

Después de un arreglo algebraico y realizando el cálculo, obtenemos:

El valor de |I₁| se encuentra fácilmente usando la relación eq. 55-15.1 encontrado arriba, o:

Cabe señalar que se puede determinar la fase de I₁ y I₂, recordando que V_ab se utilizó como referencia. Luego:

Estos valores están de acuerdo con la construcción del gráfico anterior. Ahora es posible calcular los valores de V_C y V_R3.

Realizando la suma fasorial de V_C y V_R3, obtenemos el valor de V_ab. Así:

Este resultado está en línea con la propuesta de V_ab ser un voltaje de referencia. Para encontrar el valor de V₂, debemos evaluar la gráfica que se muestra en la figura de arriba. Tenga en cuenta que el punto 5 es exactamente el punto medio de V_ab. Y el punto 4 es el punto medio de la voltaje entre el punto 5 y el punto a. Por lo tanto, se concluye que la voltaje V_4-5 es la cuarta parte de la voltaje V_ab. O sea:

Por otro lado, podemos encontrar el valor de |V_L|, o sea:

Como |V_R1| = |V_R2| y ambas voltajes tienen el mismo ángulo en relación con V_ab, nos damos cuenta de que el punto 5 es el punto medio de V_L. Entonces, podemos escribir la voltaje entre los puntos 2 - 5 como:

Concluimos que |V_2-5| = |V_4-5| además, estas voltajes están en un ángulo de 60°, como se muestra en el gráfico. Considerando esto y con un conocimiento básico de geometría, es obvio que tenemos un triángulo equilátero formado por las voltajes |V_2-5|, |V_4-5| y |V₂|. Por lo tanto, no hay necesidad de cálculos para concluir que: