En el capítulo que hace referencia a los circuitos RC y RL en corriente continua, vimos que para resolver el problema tuvimos que usar ecuaciones diferenciales.
Para corriente alterna, simplificaremos con el uso del concepto fasorial. Por lo tanto, utilizaremos fuentes en la forma compleja y también las impedancias. Esto hace, en impedancias, la parte real
ser una resistencia y la parte imaginaria una reactancia. De esta manera, todo va como
si fueran asociaciones de resistencia y entonces podemos usar todos los teoremas
previamente aprendido para corriente continua. Así, ley de Ohm, teorema da superposición,
método nodal, teorema de Thèvenin y Norton, etc ... todos son válidos.
Aquí nuestro enfoque solo estará en los circuitos que contienen resistencias
y condensadores . Comenzaremos con un circuito muy simple, como se ve en la Figura 53-01
donde tenemos una fuente sinusoidal que suministra un circuito en serie formado por una resistencia y un condensador.
Figura 53-01
Supongamos que estamos trabajando en una frecuencia como la que se usa en Brasil,
o sea, f = 60 Hz. Entonces podemos calcular el valor de frecuencia
angular ω.
Sabemos que ω = 2 π f = 377 rad/s.
Ahora podemos calcular la reactancia que el condensador de 265 µF
ofrece la circulación de una corriente alterna de 60 Hz. Recordemos la
ecuación que permite calcular la reactancia de un condensador.
XC = 1 / (ω C)
Reemplazando numéricamente los valores de los componentes, encontramos:
XC = 10 Ω
Con este valor, podemos escribir la impedancia del circuito en forma rectangular y polar, o:
Z = 10 - j 10 Ω ⇒ Z = 10 √2 ∠- 45° Ω
Al aplicar la Ley de Ohm, podemos determinar fácilmente la corriente eléctrica que fluye a través del circuito. Así:
I = V / Z = 220 ∠ 0° / 10 √ 2 ∠ - 45° A
Realizando el cálculo encontramos:
I = 15,56 ∠ + 45° A
Preste atención al hecho de que el ángulo + 45° significa que la corriente
está por delante de la tensión. Hecho ya esperado. Cuando esto sucede (corriente avanzada), decimos que tenemos un circuito capacitivo.
De posse do valor da corrente podemos calcular os valores de VR y
VC.
VR = R I = 10 15,56 ∠ +45° = 155,6 ∠ + 45° V
Como sabemos, la resistencia no causa retrasos, VR está absolutamente en fase con I . No es el mismo caso con reactancia capacitiva, porque sabemos que el condensador avanza la corriente en relación a voltaje. Así:
VC = XC I = 10 ∠- 90 x 15,56 ∠+45° V
Realizando el cálculo encontramos:
VC = 155,6 ∠- 45° V
En la Figura 53-02 mostramos con fasores todos las cantidades calculadas. Note que la corriente
I está avanzada 45° en relación con el voltaje aplicado, V. Lo mismo ocurre con el voltaje a través de la resistencia, VR, porque la resistencia no retrasa la corriente eléctrica.
Por otro lado, tenemos el voltaje a través del condensador, VC, 45° retrasado en relación con la fuente de voltaje V y retrasado 45° + 45° = 90° en relación con la corriente eléctrica I. Observe cómo todas las cantidades calculadas analíticamente "encajan" perfectamente en el análisis gráfico.
Figura 53-02
Finalmente, calculemos el factor de potencia del circuito. Como sabemos
la corriente está 45° por delante del voltaje, por lo que el factor de potencia es:
FP = cos 45° = 0,71 capacitivo ou adelantado
Nos gustaría llamar su atención sobre el siguiente hecho: al aumentar el valor de capacitancia del condensador,
su reactancia capacitiva disminuye. Esto hace que el ángulo de retraso entre la corriente y el voltaje
también disminuya, tendiendo el factor de potencia a unidad. En otras palabras: en
corriente alterna, cuanto mayor es el valor del condensador, menos influencia tiene
en el circuito. Como la reactancia capacitiva depende de dos variables, C y ω,
esto significa que si mantenemos la capacitancia en un valor fijo, pero aumentamos
considerablemente el valor de ω, el resultado será el mismo que el anterior. Este
característico se explorará cuando estudiemos filtros.
Y si hacemos lo contrario, es decir, disminuya la capacitancia o la
frecuencia angular, obtenemos el resultado opuesto. En otras palabras: el condensador
tendrá una gran influencia en el circuito y el factor de potencia tiende a cero. Los expuestos anterior
se aplica a un SERIE circuito RC.
Formaremos un circuito paralelo con los mismos componentes utilizados en el ítem anterior.
La corriente sobre la resistencia no se retrasará. La corriente en el condensador será avanzada
90° en relación con el voltaje. Entonces, la corriente que será suministrada por la fuente de voltaje
será la suma fasorial de los dos anteriores.
Figura 53-03
Ver Figura 53-03 para el circuito con los componentes en paralelo.
Ya sabemos que ω = 2 π f = 377 rad/s, porque estamos asumiendo
f = 60 Hz .
También ya sabemos la reactancia del condensador de 265 µF, o sea,
XC = 10 Ω.
Lo que debemos calcular ahora es la impedancia equivalente de la resistencia en
paralela al condensador. Como se mencionó anteriormente, podemos usar los mismos principios estudiados
para la corriente continua para calcular la impedancia equivalente. Por lo tanto, asumiremos la reactancia como un
resistencia y realizaremos el cálculo como si fueran dos resistencias en paralelo. Solo
no olvides que la reactancia no es un número real. Entonces, podemos escribir:
Zeq = R jXC / (R + jXC )
Zeq = 10 (-j10) / (10 - j10)
En la ecuación a continuación, observe que transformamos - j10 en 10 ∠ -90° y también
10 - j10 en 10 √2 ∠ -45°. Luego:
Zeq = 100 ∠ -90° / 10 √2 ∠ -45°
Poniendo en el formato polar, numerador y denominador, es muy fácil hacer
el calculo. Por lo tanto, para la impedancia equivalente encontramos:
Zeq = 5 √2 ∠ -45° = 5 - j5 Ω
Tenga en cuenta que al colocar los componentes en paralelo, la corriente continúa por delante de
45° en relación a la tensión. Mirando la impedancia equivalente en la forma rectangular, encontramos que representa una impedancia con dos componentes en series: una resistencia 5 ohmios y
un condensador con una reactancia de 5 ohmios. En resumen: una resistencia de
5 ohmios en serie con un condensador de 530 µF, se comportará eléctricamente
como el circuito presentado originalmente.
Ya sabemos que el factor de potencia es 0,71 por adelantado . Entonces, para terminar
calculemos las corrientes en el circuito.
IR = V / R = 220 ∠ 0° / 10 = 22 ∠ 0° A
IC = V / XC = 220 ∠ 0° / 10 ∠ -90° = 22 ∠ +90° A
I = V / Zeq = 220 ∠ 0° / 5√2 ∠-45° = 31,11 ∠+45° A
Otra forma de calcular I es calcular la suma fasorial de
IR y IC.
Figura 53-04
Vea en la Figura 53-04 que IR y IC
están 90° fuera de fase entre sí o, como es común decir, son cuadrados . Para calcular el módulo de I nada es más obvio que usar el teorema de Pitágoras . Entonces
podemos escribir eso |I| = √(|IR|2 + |IC|2).
Esto significa que |I| = √(222 + 222) = 31,11 A. Ese es el resultado que encontramos anteriormente.
Para encontrar el ángulo, observe que ambos lados tienen la misma medida (22), por lo que forman un
cuadrado y I es la diagonal del cuadrado. Sin embargo, sabemos que la diagonal de un cuadrado
forma un ángulo de 45° con la base. Por lo tanto, el resultado final es exactamente el mismo cuando aplicamos Ley de Ohm para encontrar I, es decir:
4. Transformación de Condensadores/Resistenciasen Serie Paralela
En la práctica, los condensadores tienen una cierta pérdida. Esta pérdida puede representarse mediante una resistencia en paralelo o en serie. Por lo tanto, a una frecuencia dada
ωo, ten una
representación series y paralela equivalentes. Al pasar de una representación a otra, el valor
de alguno de los componentes se cambia, principalmente la resistencia. Esta propiedad se utiliza para modificar el
nivel de impedancia de carga. Luego, considerando una frecuencia ωo, el circuito se puede representar como se muestra en la Figura 53-05.
Figura 53-05
Tenemos que el factor de calidad Q es el mismo en ambas representaciones, y el módulo de impedancia y
de admitancia está dada por
El hecho de que el factor de calidad Q sea el mismo en ambas representaciones se define mediante eq. 53-01.
eq. 53-01
Usando las ecuaciones anteriores y haciendo |Y (j ωo)| = 1 / |Z (j ωo)|, luego de algunas manipulaciones algebraicas obtenemos las siguientes relaciones:
eq. 53-02
eq. 53-03
eq. 53-04
eq. 53-05
Nota Importante
Cuando el factor de calidad Q es alto, es decir, Q > 10, el valor del condensador casi no cambia
durante la transformación y podemos aproximar su valor en
CS ≈ Cp y viceversa. Sin embargo, tenga en cuenta que no ocurre lo mismo en
el caso de las resistencias, ya que sus valores varían mucho.
