Inicialmente recordaremos que la reactancia capacitiva está representada, en forma compleja,
como - j XC y la reatancia inductiva como + j XL.
Por lo tanto, si estos componentes están en serie, la reactancia equivalente será
la suma algebraica de las dos reactancias.
En este caso, fácilmente percibimos que si XL > XC, obtendremos un circuito predominantemente inductivo.
De lo contrario, o sea,
XC > XL, entonces tendremos un circuito con predominio capacitivo.
Teniendo esto en cuenta, la impedancia equivalente de un circuito RLC series se pueden escribir como:
eq. 55-01
Figura 55-01
En la Figura 55-01 vemos un circuito serie RLC. Los valores de los componentes
proporcionado permite determinar si el circuito tiene predominio inductivo
o capacitivo. Tenga en cuenta que la corriente I es lo mismo para todos los componentes.
También debemos prestar atención al hecho de que el voltaje a través de la resistencia será el único
que estará en fase con la corriente I. Como el voltaje a través del condensador es
90° retrasado en relación con la corriente y
el voltaje en el inductor estará 90° adelante en relación con la misma corriente, concluimos que los voltajes en el capacitor y en el inductor estarán rezagados 180° entre ellos.
Escribir el valor de impedancia equivalente en forma rectangular de acuerdo con el
eq. 55-01 tenemos:
Zeq = 9,95 + j (30 - 15) = 9,95 + j15 Ω
E na forma polar:
Zeq = 18 ∠ +56,31° Ω
Ahora que conocemos el valor de impedancia equivalente, podemos calcular el valor de
corriente eléctrica que fluye a través del circuito. Así:
I = V / Zeq = 90 ∠ 0° / 18 ∠ +56,31° A
Realizando el cálculo encontramos:
I = 5 ∠ -56,31° A
Preste atención al hecho de que el ángulo - 56,31° significa que la corriente está detrás del voltaje V. Como sabemos, la corriente retrasada significa que el circuito tiene un predominio inductiva.
Con el valor de la corriente podemos calcular los valores de VR ,
VL y VL.
VR = R I = 9,95 5 ∠ -56,31° = 49,75 ∠ -56,31° V
Observe que, como las resistencias no causan retrasos, VR es
absolutamente en fase con I. No ocurre lo mismo con la reactancia inductiva
y capacitiva.
VL = XL I = 30 ∠ +90 5 ∠ -56,31° V
Note que transformamos j 30 en 30 ∠ 90°. Realizando el cálculo, encontramos:
VL = 150 ∠ +33,69° V
Para calcular el voltaje en el condensador tenemos:
VC = XC I = 15 ∠ -90 5 ∠ -56,31° V
Note que transformamos -j 15 en 15 ∠ -90°. Realizando el cálculo, encontramos:
VC = 75 ∠ -146,31° V
Como sabemos que la corriente está 56,31° detrás del voltaje, entonces podemos calcular el factor de potencia, o:
FP = cos 56,31° = 0,55 indutivo o retardado
Encontramos un factor de potencia retardado porque el circuito tiene un predominio inductivo.
Por lo tanto, concluimos que si tuviéramos un circuito con predominio capacitivo, el
el factor de potencia estaría por adelantado.
Puede ver en un circuito serie RLC que si la reactancia inductiva es
exactamente igual a la reactancia capacitiva, se cancelan entre sí, y la
impedancia equivalente simplemente será el valor de la
resistencia y con eso obtenemos un factor de potencia unitario.
Cuando eso
sucede que se dice que el circuito está en resonancia. Estudiaremos sobre eso
en el capítulo 58. Si está interesado
sobre ese tema Haga click aquí!.
Momento de reflexión!
"Pregunta" Por lo que se dijo anteriormente, nos damos cuenta fácilmente de que podemos corregir el factor
de potencia instalando un condensador en serie con un circuito RL . Sin embargo, sabemos que para corregir el
factor de potencia, las industrias instalan condensadores en paralelo en sus instalaciones eléctricas.
Entonces,
¿Por qué las industrias no usan este método (condensador en serie) para corregir el factor de potencia?
Vea en la Figura 55-02 representación de las impedancias involucradas en
el problema. En el lado izquierdo (en la figura), apuntando hacia arriba
(color verde) tenemos la reactancia inductiva. Apuntando hacia abajo
(color púrpura) tenemos la reactancia capacitiva. Estas dos cantidades
están en el eje imaginario. Y en plano real tenemos la resistencia R.
En el lado derecho (de la figura), en el eje vertical (imaginario) tenemos el resultado de
XL - XC, apuntando hacia arriba porque XL > XC.
De lo contrario, apuntaría hacia abajo.
Note que para encontrar la impedancia equivalente debemos agregar fasorialmente las cantidades R y (XL - XC). El módulo está dado por eq. 56-02:
eq. 55-02
Observe que solo utilizamos el teorema de Pitágoras. Y para calcular el ángulo φ
solo necesitamos encontrar el arco tangente del cociente entre la parte imaginaria y la real, o sea:
eq. 55-03
Entonces, con estos datos podemos escribir fácilmente la impedancia equivalente en el
forma polar:
La Figura 55-03 muestra la representación de las voltajes involucradas
en el problema.
Tomamos como referencia el voltaje V
(horizontalmente, φ = 0°).
Note que la corriente I se retrasa 56,31° en relación con el V y
VR en fase con I. Por otro lado, vemos VL
adelantada 90° y VC retrazada 90° en relación con I.
De esta forma, VL y VC estan fuera de fase 180°
entre sí, como mencionamos anteriormente.
Formaremos un circuito paralelo con los mismos componentes utilizados en el ítem anterior.
La corriente sobre la resistencia no se retrasará. La corriente en el inductor se retrasará
90° en relación con la tensión y la corriente en el capacitor será avanzada 90° en relación con el mismo voltaje. Entonces, la corriente que será suministrada por la fuente de voltaje
será la suma fasorial de las tres corrientes que circulan por los componentes. Ver el circuito
mostrado en la Figura 55-04.
Figura 55-04
En aras de la didáctica, calcularemos inicialmente la impedancia equivalente
de los tres componentes en paralelo. Como sabemos, podemos usar los mismos principios estudiados para la CC
para calcular la impedancia equivalente. Asumiremos las reactancias como resistencias y realizaremos el cálculo como si fueran tres resistencias en paralelo.
Pero no hay que olvidar que las reactancias son números complejos. Entonces, para mayor claridad, inicialmente calcularemos el paralelo de las reactancias.
Xeq = XL XC / (XL + XC)
Reemplazaremos las variables con sus valores numéricos y realizando el cálculo.
Xeq = j20 (-j10) / (j20 - j10) = - j20 Ω
Ahora, calculando el paralelo entre R y Xeq vamos obtener
Zeq.
Zeq = R Xeq / (R + Xeq)
Reemplazaremos las variables con sus valores numéricos y realizando el cálculo.
Zeq = 10 (- j20) / (10 - j20)
Poniendo en el formato polar, numerador y denominador, es muy fácil hacer
el calculo. Por lo tanto, para la impedancia equivalente encontramos:
Zeq = 8,94 ∠ -26,57° = 8 - j4 Ω
Para los valores de los componentes proporcionados en este problema, encontramos que
la impedancia equivalente tiene un predominio capacitivo. También podemos obtener
esta conclusión analizando el ángulo φ, que es negativo.
Como conocemos el ángulo de la impedancia, podemos calcular el factor de potencia, o:
Para calcularmos o valor de I devemos somar fasorialmente as correntes
IR , IL y IC.
Figura 55-05
Vea en la Figura 55-05 a la izquierda, como IR está en
fase con V. IL está retardada de 90° y
IC adelantada de 90°
en relación con V. Como IL y IC están
180° fuera de fase entre sí, solo restarlos y tomar el módulo de resultados.
Entonces, tenemos como resultado
|IL - IC| = |11 - 22| = 11 A .
De esta forma obtenemos dos vectores que forman un ángulo de 90° entre sí.
Y como IC > IL el vector resultante apunta hacia arriba
como se muestra en la figura de la derecha.
En este caso, para calcular el módulo de I podemos usar el
teorema de Pitágoras. Luego escribimos:
|I| = √(|IR|2 + |IL - IC|2)
Sustituyendo los valores numéricos y realizando el cálculo, encontramos:
|I| = √(222 + 112) = 24,60 A
Para encontrar el ángulo debemos calcular el arcotangente del cociente
IL / IR.
φ = tg-1 (11 / 22) = 26,57°
Y así podemos escribir el valor final de la corriente, o
I = 24,60 ∠+26,57° A
Entonces, el resultado final es exactamente el mismo cuando aplicamos Ley de Ohm
para encontrar I.
