Problema 55-12
Fuente: Problema desarrollado por el autor del sitio.
En el circuito de la Figura 55-12.1, calcule el valor de Z para satisfacer las condiciones impuestas por los datos del problema.
Datos: V = 10 cos (100 t + 15°) y i = 0,1 sen (100 t + 47,6°).
Figura 55-12.1
Solución del Problema 55-12
Como el valor de V se proporcionó como una función coseno y la corriente como una función seno , las funciones deben ser compatibles. Transformando el voltaje V, escribiéndolo como una función seno, obtenemos:
V = 10 sen (100 t - 75°) voltios
De la ecuación anterior, se puede ver que el valor de ω (término que acompaña a la variable
t) vale:
ω = 100 rad/s
Por lo tanto, podemos calcular los valores de las reactancias inductivas y capacitivas, es decir:
jXL1 = jω L1 = j 100 x 0,01 = j Ω
jXL2 = jω L2 = j 100 x 0,22 = j22 Ω
-jXC = -j / ω C = -j / (100 x 0,05 ) = -j0,2 Ω
Definiendo dos impedancias entre los puntos a-b: ZS como la impedancia de la rama superior y ZI como la impedancia de rama inferior. Luego:
ZS = jXL1 + j XC = j1 - j0,2 = j0,8 = 0,8 ∠+90° Ω
ZI = R + j XL2 = 100 + j 22 = 102,4 ∠12,4° Ω
La impedancia del circuito paralelo será:
ZP = ZS ZI / ZS +
ZI = 81,92∠102,4° / 102,57∠12,84°
Luego, realizando el cálculo:
ZP = 0,8 ∠89,56° ≈ j 0,8 Ω
Para encontrar la solución al problema, debe calcular la impedancia total que el circuito ofrece a la fuente de voltaje. Para esto, el voltaje debe ser calculado Vab
y después la corriente i2. Luego:
Vab = ZIi = 102,4∠12,4° x 0,1∠47,6°
Realizando el cálculo:
Vab = 10,24∠60° voltios
Con el valor de Vab, se calcula fácilmente el valor de
i2:
i2 = Vab / ZS
= 10,24∠60°/ 0,8∠90° = 12,8∠-30° A
Sabiendo que I =i + i2:
I = 0,1∠47,6° + 12∠-30° = 12,022∠-29,54° A
Calculando el valor de la impedancia total, ZT:
ZT = V / I = 10∠-75° / 12,022∠-29,54°
Realizando el cálculo:
ZT = 0,83∠-45,46° = 0,582 - j 0,592 Ω
Por otro lado, se sabe que la impedancia total ZT es igual a la suma de las impedancias del circuito, es decir:
