Problema + Difícil 54-1    Fonte:  Problema 11.16 - pagina 232 -    EDMINISTER, Joseph A. -   Livro: Circuitos Elétricos - 2ª Edição - Ed. McGraw Hill - 1971.

Três impedâncias, Z₁ = 10 ∠+30°, Z₂ = 20 ∠0° e Z₃ = 5 - j5, devem ser ligadas, sucessivamente, aos terminais A-B do circuito mostrado na figura abaixo. Determine a potência dissipada em cada uma delas.

Solução do Problema + Difícil 54-1   

Para a solução deste problema o melhor método é usarmos o teorema de Thévenin. Assim, devemos determinar a impedância de Thévenin que o circuito apresenta para a fonte de tensão. E para determinarmos a tensão de Thévenin basta calcularmos a tensão a circuito aberto entre os pontos A-B.

Inicialmente vamos determinar a impedância de Thévenin e para isto colocamos a fonte de tensão em curto-circuito.

Veja na figura ao lado como ficou o circuito ao colocarmos a fonte de tensão em curto-circuito.

Note que a parte do circuito realçada pelo retângulo em verde, forma uma configuração delta. Desta forma podemos transformá-la para uma configuração estrela ou Y.

Para realizarmos esta transformação vamos utilizar as equações estudadas no capítulo 5. Podemos recordá-las Aqui!

Após os cálculos, na configuração estrela, encontramos dois braços com valores iguais a 2,5 + j 2,5 Ω e outro igual a 1,25 - j 1,25 Ω.

Acima, na figura da esquerda, podemos ver como ficou o circuito após a transformação delta-estrela. Na figura da direita, apresentamos o mesmo circuito, porém efetuamos a soma dos componentes que se encontravam em série e rearranjamos a topologia. Mas o circuito, eletricamente, é o mesmo. Este circuito permitirá calcular Z_th. Para tanto, devemos calcular o paralelo dos dois ramos superiores e somar com a impedância 2,5 + j2,5 que está em série com o ponto A.

Agora basta somar a impedância 2,5 + j2,5 e encontramos Z_th. Desta forma:

Para encontrarmos o valor da tensão de Thévenin precisamos calcular a tensão que aparece entre os terminais A-B à circuito aberto. Para isso, definimos as correntes I, I₁ e I₂ que circulam pelo circuito conforme é mostrado na figura ao lado.

Para se determinar I, deve-se encontrar a impedância equivalente que o circuito oferece à fonte de tensão. Então devemos calcular o paralelo das impedâncias formadas pelos resistores em série com os indutores, que denominaremos de Z', e posteriormente, somamos o resistor de 5 ohms que encontra-se em série com Z'. Assim:

De posse do valor de Z_eq facilmente encontramos o valor de I, pois aplicando a lei de Ohm, temos:

Necessitamos calcular os valores de I₁ e I₂. Para tal, podemos calcular o valor da tensão entre os pontos x - z. Para isso basta aplicar a lei de Ohm, ou seja, V_xz = I. Z'. Dividindo essa tensão pela impedância do ramo correspondente a cada corrente, temos:

Para I₂, aplicamos o mesmo princípio.

Agora que conhecemos os valores de I₁ e I₂, podemos calcular V_a e V_b.

E como sabemos, V_ab = V_a - V_b. Portanto:

Conseguimos estabelecer o circuito de Thèvenin e agora passamos a segunda etapa do problema.

Na figura ao lado podemos apreciar o modelo que usaremos para calcular os itens solicitados no enunciado do problema. Z_L representa a carga que será colocada entre os terminais A-B. Tenha em mente que este circuito simula perfeitamente o circuito original.

Item a   ⇒   Z_L = 10 ∠+30° = 8,66 + j5

Necessitamos calcular a corrente elétrica que circula pelo circuito. Antes vamos calcular a impedância equivalente que o circuito oferece à fonte de tensão.

Aplicando a lei de Ohm encontramos I. Assim:

Como queremos calcular a potência média que a carga dissipa, devemos levar em consideração somente a parte real da impedância Z_L, ou seja, o valor de R_L = 8,66 Ω. Logo:

Item b   ⇒   Z_L = 20 ∠0°   

Como o ângulo da carga é zero, então Z_L é um resistor de valor igual a 20 ohms. Seguindo os mesmos passos do item anterior, obtemos:

Aplicando a lei de Ohm encontramos I. Assim:

Neste caso, R_L = 20 Ω. Logo:

Item c   ⇒   Z_L = 5√2 ∠-45° = 5 - j5

Como nos itens anteriores, temos:

Aplicando a lei de Ohm encontramos I. Assim:

Como queremos calcular a potência média que a carga dissipa, devemos levar em consideração somente a parte real da impedância Z_L, ou seja, o valor de R_L = 5 Ω. Logo: