Depois de estudarmos separadamente circuitos RC e RL e conquistar uma base sólida sobre esses circuitos,
podemos explorar os circuitos RLC,
que combinam resistores, capacitores e indutores. Esses circuitos são fundamentais em muitas aplicações de
engenharia elétrica e eletrônica, pois podem ressoar a uma frequência específica, o que é útil em filtros,
osciladores e sintonizadores de rádio, TV, links de rádioenlaces em telefonia, radiodifusão, etc ...
Inicialmente vamos relembrar que a reatância capacitiva é representada, na forma complexa,
como - j XC e a reatância indutiva como + j XL.
Portanto, se esses componentes encontram-se em série, a reatância equivalente será
a soma algébrica das duas reatâncias.
Neste caso, facilmente percebemos que se XL > XC, vamos obter
um circuito com predominância indutiva. Caso contrário, ou seja,
XC > XL, então teremos um circuito com predominância capacitiva.
Levando isso em consideração, a impedância equivalente de um circuito RLC
série pode ser escrita como:
eq. 55-01
Figura 55-01
Na Figura 55-01 vemos um circuito RLC série. Os valores dos componentes
fornecidos permite determinar se o circuito tem predominância indutiva
ou capacitiva. Repare que a corrente I é a mesma em todos os componentes, pois é um circuito série.
Também devemos prestar atenção ao fato que a tensão sobre o resistor será a única
que estará em fase com a corrente I. Como a tensão sobre o capacitor estará
90° atrasada em relação à corrente e
a tensão sobre o indutor estará 90° adiantada em relação à mesma corrente, concluímos
que as tensões sobre o capacitor e sobre o indutor estarão defasadas 180° entre si.
Escrevendo o valor da impedância equivalente na forma retangular conforme a
eq. 55-01 temos:
Zeq = 9,95 + j (30 - 15) = 9,95 + j15 Ω
E na forma polar:
Zeq = 18 ∠ +56,31° Ω
Agora que conhecemos o valor da impedância equivalente, podemos calcular o valor da
corrente elétrica que circula pelo circuito. Assim:
I = V / Zeq = 90 ∠ 0° / 18 ∠ +56,31° A
Efetuando o cálculo encontramos:
I = 5 ∠ -56,31° A
Preste atenção para o fato que o ângulo - 56,31° significa que a corrente
está atrasada em relação à tensão V. Como sabemos, corrente atrasada significa
que o circuito tem predominância indutiva.
De posse do valor da corrente podemos calcular os valores de VR ,
VL e VC.
VR = R I = 9,95 5 ∠ -56,31° = 49,75 ∠ -56,31° V
Perceba que como resistores não causam defasagens, VR está
absolutamente em fase com I. Já o mesmo não ocorre com a reatância indutiva
e capacitiva.
VL = XL I = 30 ∠ +90 5 ∠ -56,31° V
Repare que transformamos j 30 em 30 ∠ 90°. Efetuando-se o cálculo, encontramos:
VL = 150 ∠ +33,69° V
Para o cálculo da tensão sobre o capacitor temos:
VC = XC I = 15 ∠ -90 5 ∠ -56,31° V
Repare que transformamos -j 15 em 15 ∠ -90°. Efetuando o cálculo, encontramos:
VC = 75 ∠ -146,31° V
Como sabemos
que a corrente está 56,31° atrasada em relação a tensão, então podemos calcular
o fator de potência, ou:
FP = cos 56,31° = 0,55 indutivo ou atrasado
Encontramos um fator de potência atrasado pois o circuito possui predominância indutiva.
Daí concluímos que se tivéssemos um circuito com predominância capacitiva o
fator de potência seria adiantado.
Dá para perceber em um circuito RLC série que se a reatância indutiva for
exatamente igual a reatância capacitiva elas se anulam, e a impedância equivalente
será simplesmente o valor do resistor e com isso obtemos um fator de potência
unitário. Quando isso
acontece é dito que o circuito está em ressonância. Estudaremos a respeito
no capítulo 58. Caso tenha interesse
nesse assunto clique aqui!.
Momento de Reflexão!
"Perguntinha:" Pelo que está dito acima, facilmente percebemos que podemos
corrigir o fator de potência instalando um capacitor em série com um circuito RL. Porém,
sabemos que para corrigir o fator de potência as indústrias instalam capacitores em paralelo
em suas instalações elétricas. Então, por qual motivo as indústrias não usam este método
(capacitor em série) para corrigir o fator de potência?
Veja na Figura 55-02 a representação das impedâncias envolvidas no problema. No lado esquerdo
(da figura), apontando para cima (cor verde) temos a reatância indutiva. Apontando para baixo (cor roxa) temos a reatância capacitiva. Estas duas grandezas estão no eixo imaginário. E no
plano real temos o resistor R.
No lado direito (da figura), no eixo vertical (imaginário) temos o resultado de
XL - XC, apontando para cima pois XL > XC.
Caso contrário, apontaria para baixo. Observe que para encontrarmos a impedância equivalente devemos somar fasorialmente
as grandezas R e (XL - XC). O módulo será dado por:
eq. 56-02
Repare que apenas empregamos o teorema de Pitágoras. E para calcular o ângulo φ
basta encontrarmos o arco-tangente do quociente entre a parte imaginária e real, ou seja:
eq. 56-03
Assim, com esses dados podemos facilmente escrever a impedância equivalente na
forma polar:
Vamos formar um circuito paralelo com os mesmos componentes utilizados no item anterior.
A corrente sobre o resistor não sofrerá defasagem. A corrente no indutor estará atrasada
de 90° em relação à tensão e a corrente no capacitor estará adiantada de 90°
em relação à mesma tensão. Então, a corrente que será fornecida pela fonte de tensão
será a soma fasorial das três correntes que circulam pelos componentes. Veja o circuito
mostrado na Figura 55-04
Figura 55-04
Por uma questão de didática vamos, inicialmente, calcular a impedância equivalente
que os três componentes em paralelo apresentam para a fonte de tensão.
Como sabemos, podemos usar os mesmos princípios estudados para corrente
contínua para o cálculo da impedância equivalente.
Assumiremos as reatâncias como
resistores e efetuaremos o cálculo como se fossem três resistores em paralelo. Mas
não se deve esquecer que as reatâncias são números complexos. Então, para maior clareza,
inicialmente vamos calcular o paralelo das reatâncias.
Xeq = XL XC / (XL + XC)
Vamos substituir as variáveis por seus valores numéricos e efetuar o cálculo.
Xeq = j20 (-j10) / (j20 - j10) = - j20 Ω
Agora, calculando o paralelo entre R e Xeq vamos obter
Zeq.
Zeq = R Xeq / (R + Xeq)
Vamos substituir as variáveis por seus valores numéricos e efetuar o cálculo.
Zeq = 10 (- j20) / (10 - j20)
Colocando no formato polar, numerador e denominador, fica muito fácil efetuar
o cálculo. Portanto, para a impedância equivalente encontramos:
Zeq = 8,94 ∠ -26,57° = 8 - j4 Ω
Para os valores dos componentes fornecidos neste problema, constatamos que a
impedância equivalente possui predominância capacitiva. Podemos também chegar
a esta conclusão analisando o ângulo φ, que é negativo.
Já que sabemos o ângulo da impedância, podemos calcular o fator de potência, ou:
Para calcularmos o valor de I devemos somar fasorialmente as correntes
IR , IL e IC.
Figura 55-05
Veja na Figura 55-05 à esquerda, como IR está em fase com V. IL está atrasada de 90° e IC adiantada de 90°
em relação à V. Como IL e IC estão defasados de
180° entre si, basta subtraí-los e pegar o módulo do resultado. Assim, temos
como resultado |IL - IC| = |11 - 22| = 11 A . Desta forma obtemos
dois vetores que formam um ângulo de 90° entre si.
E como
IC > IL o vetor resultante aponta para cima como mostra
a figura, à direita. Neste caso, para calcularmos o módulo de I podemos usar
o teorema de Pitágoras. Então escrevemos que:
|I| = √(|IR|2 + |IL - IC|2)
Substituindo pelos valores numéricos e efetuando o cálculo, encontramos:
|I| = √(222 + 112) = 24,60 A
Para encontrarmos o ângulo devemos calcular o arcotangente do quociente
|IL - IC| / IR.
φ = tg-1 (11 / 22) = 26,57°
E assim podemos escrever o valor final da corrente, ou
I = 24,60 ∠+26,57° A
Portanto, o resultado final é exatamente o mesmo quando aplicamos a lei de Ohm
para encontrar I. Só que, no caso AC, devemos levar em consideração o ângulo φ.
