No capítulo referente a circuitos RC e RL em corrente contínua, vimos
que para a resolução do problema tínhamos que recorrer a equações diferenciais.
Para corrente alternada, vamos simplificar usando o conceito de fasor. Assim, usaremos
fontes na forma complexa e as impedâncias também. Isso faz com que, em impedâncias, a parte real
seja um resistor e a parte imaginária uma reatância. Dessa forma, tudo se passa como
se fossem associações de resistores e por isso podemos usar todos os teoremas
aprendidos anteriormente para corrente contínua. Então, lei de Ohm, teorema da superposição,
método nodal, teorema de Thèvenin e Norton, etc ... todos são válidos.
Aqui nosso foco será apenas em circuitos que contenham resistores e
capacitores. Iniciaremos com um circuito bem simples, como pode ser visto na Figura 53-01
onde temos uma fonte senoidal alimentando um circuito série formado por um resistor e
um capacitor.
Figura 53-01
Vamos assumir que estamos trabalhando em uma frequência como a utilizada no Brasil,
ou seja, f = 60 Hz. Assim podemos calcular o valor da frequência
angular ω.
Sabemos que ω = 2 π f = 377 rad/s.
Podemos agora calcular a reatância que o capacitor de 265 µF
oferece à circulação de uma corrente alternada de 60 Hz. Vamos
relembrar a equação que permite calcular a reatância de um capacitor.
XC = 1 / (ω C)
Fazendo a substituição numérica dos valores dos componentes, encontramos:
XC = 10 Ω
De posse desse valor podemos escrever a impedância do circuito
na forma retangular e na forma polar, ou:
Z = 10 - j 10 Ω ⇒ Z = 10 √2 ∠- 45° Ω
Aplicando a lei de Ohm, podemos facilmente determinar a corrente elétrica
que circula pelo circuito. Assim:
I = V / Z = 220 ∠ 0° / 10 √ 2 ∠ - 45° A
Efetuando o cálculo encontramos:
I = 15,56 ∠ + 45° A
Preste atenção para o fato que o ângulo + 45° significa que a corrente
está adiantada em relação à tensão. Fato já esperado. Quando isso acontece (corrente adiantada), dizemos que temos um
circuito capacitivo.
De posse do valor da corrente podemos calcular os valores de VR e
VC.
VR = R I = 10 15,56 ∠ +45° = 155,6 ∠ + 45° V
Como sabemos resistores não causam defasagens, VR está
absolutamente em fase com I. Já o mesmo não ocorre com a reatância capacitiva,
pois sabemos que capacitor defasa a corrente. Assim:
VC = XC I = 10 ∠- 90 x 15,56 ∠+45° V
Efetuando o cálculo, encontramos:
VC = 155,6 ∠- 45° volts
Na Figura 53-02 mostramos com fasores todas as grandezas calculadas. Perceba a corrente I adiantada 45° em relação à tensão aplicada,V. O mesmo ocorre com a tensão sobre o resistor, VR, pois resistor não defasa a corrente elétrica.
Por outro lado, temos a tensão sobre o capacitor, VC, atrasada de 45° em relação à fonte de tensão V e atrasada 45° + 45° = 90° em relação à corrente elétrica I. Repare como todas as grandezas calculadas analiticamente, se "encaixam" perfeitamente na análise gráfica.
Figura 53-02
Para finalizar vamos calcular o fator de potência do circuito. Como sabemos
que a corrente está 45° adiantada em relação à tensão, então o fator de
potência é:
FP = cos 45° = 0,71 capacitivo ou adiantado
Gostaríamos de chamar sua atenção para o seguinte fato: aumentando o valor da capacitância
do capacitor, sua reatância capacitiva diminui. Isto faz com que o ângulo de defasagem entre
corrente e tensão também diminua, tendendo o fator de potência para a unidade. Em outras palavras: em
corrente alternada, quanto maior o valor do capacitor, menos influência ele tem
no circuito. Como a reatância capacitiva depende de duas variáveis, C e ω,
isto quer dizer que se mantivermos a capacitância com um valor fixo, porém aumentarmos
consideravelmente o valor de ω, o resultado será o mesmo do exposto acima. Esta
característica será explorada quando estudarmos filtros.
E se fizermos o oposto, isto é, diminuirmos a capacitância ou a
frequência angular, obtemos o resultado inverso. Em outras palavras: o capacitor
terá grande influência no circuito e o fator de potência tende a zero. O exposto acima vale para um
circuito RC SÉRIE.
Vamos formar um circuito paralelo com os mesmos componentes utilizados no ítem anterior.
A corrente sobre o resistor não sofrerá defasagem. A corrente no capacitor estará adiantada
de 90° em relação à tensão. Então, a corrente que será fornecida pela fonte de tensão
será a soma fasorial das duas anteriores.
Figura 53-03
Veja na Figura 53-03 como ficou o circuito com os componentes em paralelo.
Já sabemos que ω = 2 π f = 377 rad/s, pois estamos assumindo
f = 60 Hz e também já conhecemos a reatância do capacitor de 265 µF, ou seja,
XC = 10 Ω.
O que devemos calcular agora é a impedância equivalente do resistor em
paralelo com o capacitor. Como foi dito anteriormente, podemos usar os mesmos princípios estudados para corrente
contínua para o cálculo da impedância equivalente. Assim, assumiremos a reatância como um
resistor e efetuaremos o cálculo como se fossem dois resistores em paralelo. Só
não esqueça que a reatância não é um número real. Então, podemos escrever:
Zeq = R jXC / (R + jXC )
Zeq = 10 (-j10) / (10 - j10)
Na equação abaixo, repare que transformamos - j10 em 10 ∠ -90° e também
10 - j10 em 10 √2 ∠ -45°. Logo:
Zeq = 100 ∠ -90° / 10 √2 ∠ -45°
Colocando no formato polar, numerador e denominador, fica muito fácil efetuar
o cálculo. Portanto, para a impedância equivalente encontramos:
Zeq = 5 √2 ∠ -45° = 5 - j5 Ω
Repare que ao colocar os componentes em paralelo, a corrente continua adiantada de 45°
em relação à tensão. Olhando para a impedância equivalente na forma retangular, verificamos que
representa uma impedância com dois componentes em série: um resistor de 5 ohms e
um capacitor com uma reatância de 5 ohms. Resumindo: um resistor de
5 ohms em série com um capacitor de 530 µF, comportar-se-ão eletricamente
como o circuito apresentado originalmente.
Já sabemos que o fator de potência é 0,71 adiantado. Então, para finalizar
vamos calcular as correntes no circuito.
IR = V / R = 220 ∠ 0° / 10 = 22 ∠ 0° A
IC = V / XC = 220 ∠ 0° / 10 ∠ -90° = 22 ∠ +90° A
I = V / Zeq = 220 ∠ 0° / 5√2 ∠-45° = 31,11 ∠+45° A
Uma outra maneira de calcularmos I é calcularmos a soma fasorial de
IR e IC.
Figura 53-04
Veja na Figura 53-04 que IR e IC estão defasados
de 90° entre si ou, como é comum dizer, estão em quadratura. Para calcularmos o
módulo de I nada mais óbvio que usarmos o teorema de Pitágoras. Então
escrevemos que |I| = √(|IR|2 + |IC|2).
Isso significa que |I| = √(222 + 222) = 31,11 ampére. Que é o resultado que encontramos anteriormente.
Para encontrarmos o ângulo, repare que os dois lados tem a mesma medida (22), logo formam um
quadrado e I é a diagonal do quadrado. Porém, sabemos que a diagonal de um quadrado
forma um ângulo de 45° com a base. Portanto, o resultado final é exatamente o mesmo quando aplicamos a lei de Ohm
para encontrar I, ou seja
Na prática os capacitores possuem uma determinada perda. Essa perda pode ser representada por um resistor em paralelo ou série. Assim, em uma determinada frequência
ωo, possuem uma
representação série e paralela equivalentes. Na passagem de uma representação para a outra, o valor
dos componentes é alterado, principalmente do resistor. Esta propriedade é utilizada para modificar o
nível de impedância da carga. Então, considerando uma frequênca ωo o circuito pode ser representado
conforme mostra a Figura 53-05.
Figura 53-05
Temos que o fator de qualidade Q é o mesmo nas duas representações, e o módulo da impedância e
da admitância é dado por
O fator de qualidade Q sendo o mesmo nas duas representações é definido pela eq. 53-01.
eq. 53-01
Usando as equações acima e fazendo |Y (j ωo)| = 1 / |Z (j ωo)|, após algumas manipulações algébricas obtemos as seguintes relações:
eq. 53-02
eq. 53-03
eq. 53-04
eq. 53-05
Nota Importante
Quando o fator de qualidade Q é elevado, ou seja, Q > 10, o valor do capacitor quase não se altera na transformação e
podemos aproximar seu valor por CS ≈ Cp e vice-versa. Porém, fique atento para o fato que o mesmo
não acontece no caso de resistores, pois seus valores variam bastante.
