A partir deste momento estamos começando o estudo dos circuitos elétricos e
seu comportamento em relação à corrente alternada. Começaremos introduzindo o
conceito de fasores e mostrar quão útil é esta ferramenta para os cálculos
que envolvem variáveis dependentes da frequência.
Estamos, fundamentalmente, interessados na resposta em regime permanente, ou seja,
quando os circuitos são excitados por funções senoidais ou cossenoidais. Assim,
as condições iniciais e os transitórios serão ignorados. Vale ressaltar que por usarmos
funções trigonométricas, é fundamental o aluno dominar este conteúdo matemático. Caso
contrário, será difícil entender todas as transformações necessárias à solução
dos problemas. Além disso, conhecimento sobre números complexos também é
importante.
Uma das primeiras coisas que devemos salientar é que as funções seno e cosseno
estão defasadas entre si de 90°. A função cosseno está adiantada de 90°
em relação à função seno.
Figura 51-01
Repare na Figura 51-01 os gráficos das funções sen(x) e cos(x). Aqui, percebemos
claramente o que foi dito acima.
Por outro lado, sempre representaremos as fontes de tensão ou de corrente, por funções
senoidais ou cossenoidais. Uma característica dessas funções é que são periódicas e seu período
é igual a 2π radianos.
É perfeitamente possível expressarmos uma função seno como uma função cosseno
e vice-versa.
Seja uma fonte de tensão descrita pela seguinte função:
v = Vmax sen (ω t + φ)
Um dos parâmetros que está presente na função é Vmax. O valor de
Vmax indica qual o valor máximo que v atinge (veja na figura acima).
Quando multiplicamos
esse valor por sen (ωt), temos o valor de v para qualquer instante t. Por isso,
o valor de v (escrito em letra minúscula) é conhecido por valor instantâneo.
Vmax, em muitas literaturas técnicas, é conhecido como valor de pico,
podendo ser representado por Vp.
Não devemos esquecer que a função seno varia de -1 a +1. Logo, a variação total de v,
situa-se entre - Vmax e + Vmax. Este valor é
conhecido, normalmente, como valor de pico-a-pico. A mesma coisa acontece se representarmos v
como uma função cosseno, já que a mesma também varia de -1 a +1.
Outro parâmetro que aparece na equação é ω, que é conhecido como frequência angular
e tem relação com a frequência da função pela seguinte equação:
ω = 2 π f
Mais um parâmetro: φ, que representa o deslocamento angular em relação
ao eixo y. Este parâmetro é também conhecido como fase.
A variável da função é representada pela letra t (tempo). Assim, podemos calcular o valor de v
em qualquer instante t que desejarmos.
Vamos relembrar a relação entre frequência f e o período T, conforme
podemos ver nas equações abaixo.
T = 1/ f ou f = 1/ T
O período T é medido em segundos e a frequência f é medida em
hertz.
As relações de fase que existem em funções trigonométricas podem ser representadas
por fasores girantes. O que vem a ser isso? Podemos desenhar um raio fasor em um círculo
e estipularmos um valor inicial para o ângulo φ.
Figura 51-02
Na Figura 51-02 vemos um exemplo de um fasor V defasado de um ângulo φ
em relação ao fasor U. Adotamos a convenção trigonométrica onde os fasores sempre
giram no sentido anti-horário.
Logo, percebemos que o fasor V está adiantado em relação ao fasor U
de um ângulo φ.
Por convenção dizemos que o fasor U está com fase 0° e, a partir desse ponto, todos os outros fasores
serão relacionados à ele. Desta forma, o fasor V está adiantado de φ graus em relação ao fasor U.
Supondo φ = 60° e Vmax = Umax = 4 então podemos representar os
dois fasores pelas seguintes funções:
U = 4 sen (ω t + 0°)
V = 4 sen (ω t + 60°)
Vamos ver como se pode representar essas funções em um gráfico em termos de ampitude x fase.
Veja a Figura 51-03.
Figura 51-03
Um erro muito comum que os alunos cometem é representar o ângulo φ (adiantado)
para o lado direito do ponto de referência e não para o lado esquerdo. Mas se pensarmos que
estar adiantado significa vir "antes", então fica claro que a senóide que está adiantada
deve passar "antes" pelo ponto de referência. Isto justifica a figura acima.
Como foi dito anteriormente, é muito fácil transformar senos em cossenos e vice-versa.
Vamos ver como pode ser feita estas transformações.
Para tanto, vamos mostrar um diagrama que facilita muito essas transformações. Lembre-se que giramos
no sentido anti-horário. Mais uma vez fica claro que a função cosseno está adiantada 90° em
relação à função seno.
Figura 51-04
Veja como podemos representar o fasor A mostrado na Figura 51-04. Note que este
fasor está atrasado 30° em relação ao eixo de + cos. A amplitude do fasor sabemos que tem valor
igual a UM. Logo, podemos escrever que:
A = cos (ω t - 30°)
Note que como o fasor A está atrasado, especificamos isso colocando o sinal negativo
na frente do ângulo.
Vamos ver como transformar este fasor para a função seno. Repare que em relação ao eixo
+ seno o fasor A está adiantado 60°, portanto devemos usar o sinal positivo na frente
do ângulo. Assim:
A = sen (ω t + 60°)
As duas outras formas que podemos escrever o fasor A é usando as formas negativa das
funções seno e cosseno. Preste atenção ao fato que em relação à - cos o fasor A
está adiantado 150° ou, o que é a mesma coisa, atrasado 210°. Portanto,
em relação à - cos, podemos escrever de duas formas diferentes, ou seja:
A = - cos (ω t + 150°)
A = - cos (ω t - 210°)
Em relação à função - sen, devemos ficar atentos ao fato que o fasor A
está adiantado 240° ou, o que é a mesma coisa, atrasado 120°. Portanto,
em relação à - sen, podemos escrever de duas formas diferentes, ou seja:
A = - sen (ω t + 240°)
A = - sen (ω t - 120°)
Veja como é fácil fazer as transformações utilizando o diagrama acima. Agora, vamos escrever
o fasor B usando o mesmo princípio. Tente entender o que foi feito.
B = sen (ω t + 210°) ou B = sen (ω t - 150°)
B = cos (ω t + 120°) ou B = cos (ω t - 240°)
B = - sen (ω t + 30°) ou B = - sen (ω t - 330°)
B = - cos (ω t + 300°) ou B = - cos (ω t - 60°)
Atenção
"Para que possamos comparar fases entre duas ondas senoidais, ambas devem estar escritas
como função seno ou função cosseno. Por isso é importante sabermos transformar
uma função em outra. Além disso, ambas devem possuir a mesma frequência,
bem como amplitudes positivas."
Vamos supor duas formas de onda com fases conforme as equações abaixo:
v = 5 sen(ωt + 50°)
i = 3 cos(ωt - 120°)
Repare que temos duas equações com funções diferentes. Logo, vamos transformar a função
cosseno para a função seno. Assim, ficamos com:
i = 3 sen(ωt - 120°+ 90°) ou i = 3 sen(ωt - 30°)
Figura 51-05
Agora podemos calcular de quantos graus as duas formas de onda estão defasadas entre si,
pois estão expressas na mesma função trigonométrica. Note que a equação que representa i está atrasada
30° em relação ao eixo y. E a equação que representa v está adiantada
50° em relação ao eixo y. Assim, v encontra-se 80° adiantada em relação à i, como podemos
facilmente constatar na Figura 51-05.
Podemos representar uma corrente ou tensão senoidal em uma dada frequência
por dois parâmetros: uma amplitude e um ângulo de fase. A representação
complexa de uma corrente ou tensão elétrica também é caracterizada por estes mesmos
dois parâmetros. Assim, a conexão existente entre sinais senoidais e números complexos
é providenciada pela chamada relação de Euler, conforme mostrado abaixo.
e j(ω t ± φ) = cos (ω t + φ ) ± j sin (ω t + φ )
Então, para desenvolvermos o conceito de FASOR, devemos adotar o fato de que podemos escrever as
funções seno e cosseno na seguinte forma:
cos φ = Re {e j φ } e sen φ = Im {e j φ }
Sendo que na equação acima, Re representa a parte real e Im representa a parte imaginária.
Portanto podemos escolher como representar as funções senoidais, se na forma de um cosseno ou seno. Neste site vamos dar preferência a forma cosseno. Assim, uma função dependente do tempo pode ser escrita como abaixo:
v = Vmax cos (ω t + φ)
Isso significa escrever:
v = Vmax Re {e j(ω t + φ)} = Vmax Re
{e j ω t e j φ}
Podemos desenvolver mais esta equação. Assim:
v = Re {(Vmax e j φ)
e j ω t} = Re {V e j ω t}
Assim, o Fasor representando uma função senoidal pode ser escrita como:
V = Vmax e j φ = Vmax cos (φ) + j Vmax sen (φ)
Na equação acima, a forma escrita com a função exponencial é chamada de forma POLAR, enquanto que a
forma escrita com as funções seno e cosseno é chamada de forma RETANGULAR.
Então podemos dizer que uma tensão ou corrente elétrica está definida de forma exata se a amplitude e a fase
estão especificadas. Se em um circuito tivermos conhecimento da frequência, tudo que precisamos
é conhecer as grandezas mencionadas acima. Desta forma, podemos simplificar a notação usando a
representação polar na forma complexa, reduzindo-se a:
V = Vmax ∠ φ volts
Esta notação complexa simplificada é que chamamos de FASOR e será a forma adotada neste site.
Observação Importante -
"Observe que quando usamos a notação de fasor, perdemos a informação referente à frequência. Por isso,
no início deste item, foi dito que o fasor é válido para uma dada frequência."
Na solução de circuitos elétricos teremos que somar fasores quase a todo instante.
Assim, vamos aprender como somar fasores. Suponhamos que temos duas tensões elétricas
descritas pelas seguintes equações:
v1 = 3 sen(ωt + 0°) volts
A outra tensão é:
v2 = 4 sen(ωt + 90°) volts
Queremos, então, calcular a soma vsoma = v1 + v2.
Repare que as duas tensões estão defasadas de 90° entre si. Neste caso em particular, podemos
aplicar o teorema de Pitágoras para encontrarmos o módulo da amplitude resultante desta soma.
|vsoma| = √ (32 + 42) = 5 volts
Agora falta calcular o ângulo entre vsoma e o eixo x. Como estamos
frente a um triângulo retângulo, basta calcular o arcotangente do quociente entre o
cateto oposto e o cateto adjacente, ou:
φ = tg-1 ( 4/ 3 ) = 53,13°
Já que temos a amplitude e a fase calculadas, podemos escrever a tensão resultante
na forma trigonométrica e na polar, ou seja:
vsoma = 5 sen(ωt + 53,13°) volts
vsoma = 5 ∠53,13° volts
Figura 51-06
Veja na Figura 51-06 o diagrama fasorial (à esquerda) mostrando o resultado da soma das duas tensões elétricas,
bem como (à direita) a representação trigonométrica das tensões e sua soma.
Naturalmente que hoje quase todas as calculadoras modernas possuem as funções de transformação
das funções cartesianas para polar e vice-versa. A intenção foi mostrar, passo a passo, como
podemos calcular os parâmetros necessários à solução dos problemas usando uma matemática básica.
A solução do exemplo acima foi fácil pois o ângulo entre os dois fasores era de 90°. Assim, foi possível usar o teorema de Pitágoras. Quando o ângulo não é 90°, 180° ou 270° temos que usar a chamada lei dos cossenos. Devemos prestar muita atenção nesta lei pois ela foi desenvolvida para encontrarmos o terceiro lado de um triângulo qualquer, desde que se conheça dois lados quaisquer e o ângulo entre eles.
Figura 51-07
Veja a representação de um triângulo qualquer na Figura 51-07. Foi fornecido os lados a,
b e o ângulo φ formado por eles. Devemos determinar o terceiro lado simbolizado pela letra x.
Usando a lei dos cossenos, vamos obter o comprimento do terceiro lado que "fecha" o triângulo. A equação da
lei dos cossenos é mostrada abaixo, na eq. 51-01.
Porém, caso os lados a e b do triângulo representassem dois fasores ou dois vetores,
encontrar o terceiro lado significa calcular a
subtração dos fasores ou vetores. Portanto, se utilizarmos essa equação com os dados do triângulo mostrado
na figura acima, estaremos calculando a subtração e não a soma dos fasores ou vetores.
eq. 51-01
Então para calcularmos a soma de fasores ou vetores, devemos fazer uma pequena alteração na equação, como mostrada abaixo, na eq. 51-02. Perceba a troca do sinal subtração pelo sinal adição na última parcela. Com isso resolvemos o problema. Assim, podemos usar o ângulo φ como sendo o ângulo entre os dois fasores. Outra forma seria manter o sinal menos e usar o ângulo com o seu suplemento, ou 180° - φ. O resultado será o mesmo. Neste site usaremos, por simplicidade, a equação mostrada abaixo (eq. 51-02).
eq. 51-02
Além disso, se conhecermos as dimensões dos três lados do triângulo podemos calcular o ângulo entre quaisquer dois lados. Basta trabalharmos algebricamente a eq. 51-01 e, tomando como referência o triângulo mostrado na figura acima, obtemos:
eq. 51-03
Atenção
"Preste muita atenção ao fato que x representa o lado que é oposto ao ângulo ao qual se quer calcular.
E os lados a e b são os lados adjacentes ao ângulo. Isso é muito importante."
Exemplo 51.3.2
Vamos supor que tenhamos dois fasores representados por A = 10∠60° V e B = 12∠0° V
a) Calcule o fasor V1 = B - A.
b) Calcule o fasor V2 = A + B.
Solução
Item a
Figura 51-08
Veja na Figura 51-08 a representação dos dois fasores e também a
representação do fasor resultante, dado por V1 = B - A.
Note como o fasor resultante da subtração dos dois fasores "fecha" o triângulo.
Como é indicado na figura e conforme enunciado do problema, o ângulo entre os
fasores é de 60°.
Como queremos a subtração dos fasores vamos aplicar a eq. 51-01. Olhando para a equação percebemos que o
x da equação é V1. Assim, substituindo-se pelos valores numéricos, temos:
V12 = 102 + 122 - 2 x 10 x 12 cos(60°)
Efetuando-se o cálculo, obtém-se:
|V1| = 11,136 volts
Este valor encontrado é o módulo de V1. Deve-se calcular o ângulo que V1 faz com o eixo horizontal.
Para isso, utiliza-se a eq. 51-03. Devemos prestar a máxima atenção em quem será x na equação. x sempre será o lado oposto
ao ângulo que se quer determinar. Assim, neste caso, o fasor A será o x, pois ele é o lado oposto ao ângulo φ1
que se quer determinar. Então, fazendo as substituições numéricas:
cos φ1 = (122 + 11,1362 - 102) / 2 x 12 x 11,136 = 0,629
Para se determinar o ângulo φ1, aplicamos a função arccos ao valor encontrado. Logo:
φ1 = arccos(0,629) = ± 51°
Porém, repare que a seta do fasor V1 aponta para baixo. Então o valor correto do ângulo φ1 é
negativo pois está abaixo do eixo horizontal. Logo, fasorialmente, podemos escrever V1 como:
V1 = 11,136∠-51° volts
Observe que se fosse pedido para calcular A - B, o módulo de V1 não se alteraria,
somente o ângulo estaria defasado de 180°. Logo, A - B = 11,136 ∠129°. Ou seja, apenas mudaria
o sentido da seta que estaria apontando para cima.
Item b
Figura 51-09
Veja na Figura 51-09 a representação dos dois fasores e também a representação do fasor resultante V2 = A + B.
Perceba que, graficamente, usamos a regra do paralelogramo para calcular o fasor resultante V2.
Para encontrarmos o valor do módulo de V2, vamos utilizar a eq. 51-02 , pois estamos realizando uma soma de fasores.
Nesta equação, x é representado por V2. Logo, fazendo a substituição numérica temos:
V22 = 122 + 102 + 2 x 12 x 10 x cos 60°
Efetuando-se o cálculo encontramos o valor do módulo de V2, ou:
|V2| = 19,08 volts
Resta-nos calcular o ângulo φ. Usando a eq. 51-03 e sabendo que o lado oposto ao ângulo φ é
representado pelo fasor A, então:
cos φ = (122 + 19,082 - 102) / (2 x 12 x 19,08 ) = 0,891
Para determinarmos o ângulo φ, aplicamos a função arccos ao valor encontrado. Logo:
φ = arccos(0,891) = ± 27°
Pelo gráfico mostrado na Figura 51-09 percebemos que o vetor V2 está acima do eixo horizontal, ou seja,
estamos trabalhando no primeiro quadrante. Logo,
descartamos o ângulo com sinal negativo. Dessa forma, podemos escrever o fasor resultante da forma fasorial, ou:
Outra lei de extrema importância relacionada à triângulos é a lei do seno. Na figura abaixo, vemos um triângulo com seus três
lados e seus três ângulos. Esta lei permite que, dado três variáveis quaisquer, calcule-se as outras três.
Figura 51-10
Na Figura 51-10 vemos um triângulo dito acutângulo (qualquer ângulo interno é menor que 90°). Em verdade, esta lei
vale para qualquer tipo de triângulo, seja acutângulo, obtusângulo, ou retângulo. Além disso, não devemos esquecer que para qualquer
tipo de triângulo, a soma de todos os ângulos internos deve ser igual a 180°. Assim:
φ + β + θ = 180°
Mostramos a equação (eq. 51-04) que define a lei do seno na figura abaixo. Perceba que existe uma relação entre
o tamanho do lado do triângulo e o ângulo OPOSTO ao respectivo lado (representados pelas mesmas cores na figura acima).
Quanto maior o lado do triângulo, maior será o valor do ângulo OPOSTO ao lado, e vice-versa.
eq. 51-04
Exemplo 51.3.3
Vamos voltar ao exemplo 51.3.2 e calcular os ângulos calculados no item a e b, porém agora utilizando a lei do seno.
Item a
Observando a Figura 51-08 do item a do exemplo 51.3.2, vemos que o lado oposto ao
ângulo φ1 é o fasor A. E o lado oposto ao ângulo de 60° é o fasor resultante V1.
Logo, conhecemos dois lados e um ângulo. Isso permite o uso da lei do seno. Assim, podemos escrever:
V1 / sen 60° = A / sen φ1
Fazendo a substituição pelos valores numéricos, temos:
11,136 / 0,866 = 10 / sen φ1
Efetuando-se o cálculo, temos:
sen φ1 = 0,777 ⇒ φ1 = 51° ou φ1 = 129°
Observando a Figura 51-09 vemos que o fasor V1 está posicionado no quarto quadrante.
Logo φ1 = -51°, que é o mesmo valor encontrado anteriormente, pois devemos descartar o valor 129° que pertence ao segundo quadrante.
Item b
Figura 51-10a
Observando a Figura 51-10a vemos que o lado oposto ao ângulo φ
continua sendo o fasor A. Transpondo o fasor A para o extremo do fasor B, vemos que o ângulo oposto
ao fasor V2 tem o valor de 120°.
Lembrando que de acordo com o item b, o módulo de V2 é igual a 19,08.
Logo, conhecemos dois lados e um ângulo. Isso permite o uso da lei do seno. Assim, podemos escrever:
V2/ sen 120° = A / sen φ
Providenciando a substituição das variáveis pelos respectivos valores numéricos, temos:
19,08 / 0,866 = 10 / sen φ
Efetuando-se o cálculo, obtemos:
sen φ = 0,454 ⇒ φ = 27° ou φ = 153°
Como estamos trabalhando no primeiro quadrante a escolha recai sobre φ = 27°. Mais uma vez houve concordância com o valor encontrado anteriormente. Portanto fica a critério de cada aluno encontrar o ângulo entre fasores pelo método que julgar mais oportuno.
Nos itens anteriores foi apresentada uma ideia de como podemos representar fasores
através de funções trigonométricas. Mas estas funções trazem um fator complicador, pois há a
necessidade de frequentemente termos que transformar uma função em outra.
Uma maneira mais inteligente é representarmos fasores através de números complexos,
já que operações com estes são bem mais simples.
Números complexos podem ser representados na forma retangular e na forma polar.
Vamos analisar cada um deles.
Como sabemos um número complexo é representado na forma retangular obedecendo
a equação:
z = x ± j y
Aqui representamos o imaginário pela letra j, diferentemente do usado em
matemática, na qual é representado pela letra i. Porém, como em eletricidade
representamos a corrente instantânea pela letra i, na literatura técnica se
optou pela letra j para evitar confusão de interpretação.
Figura 51-11
Na Figura 51-11 vemos a representação do número complexo Z em um plano cartesiano.
Na vertical (ordenada) fica a parte imaginária, enquanto na horizontal (abscissa) fica a parte
real.
Pelo gráfico vemos que a parte real está representada pelo número 8,
enquanto que a parte imaginária pelo número 6.
Já é possível perceber que é muito fácil passar da forma retangular para a forma polar.
Vejamos como fica.
Vamos aproveitar o gráfico anterior e passarmos o número complexo na
forma retangular para a forma polar. Para tanto, vamos utilizar a eq. 51-05 mostrada abaixo:
eq. 51-05
Então para calcularmos o módulo do número complexo
basta usar o teorema de Pitágoras, ou seja:
|Z| = √ (62 + 82) = 10
Calculado o módulo, falta-nos calcular o ângulo. Para isto, calculamos
o arcotangente do quociente entre a parte imaginária e a parte real de Z.
Logo:
φ = tg-1 ( 6/ 8 ) = 36,87°
Então o número complexo Z fica perfeitamente definido escrito na forma polar
como descrito abaixo:
Z = 10 ∠ 36,87°
Evidentemente que podemos passar da forma polar para a forma cartesina, obedecendo as eq. 51-06
e eq. 51-07 mostradas abaixo.
eq. 51-06
eq. 51-07
Para finalizar este exemplo, usando as equações acima vamos encontrar a forma cartesiana do número Z.
x = 10 cos 36,87° = 8
y = 10 sen 36,87° = 6
Portanto, após os cálculos, retornamos à forma cartesiana conforme podemos ver abaixo:
No item 3.2 aprendemos a somar ou subtrair fasores usando a lei do cosseno. Porém, uma forma mais prática e rápida,
é usar a notação complexa. Se os fasores estiverem na notação polar, podemos transformá-los em notação retangular
e somá-los usando o mesmo princípio da soma de vetores. Para ilustrarmos este método vamos analisar o exemplo 51.4.3.
Exemplo 51.4.3
Sejam os fasores de tensão (em volts) dados por:
A = 25∠30°, B = 20∠75° e
C = 30∠175°
Encontre os fasores resultantes vsoma = A + B + C
e vsubt = C - A.
Solução
Como os três fasores estão na forma polar, podemos passá-los para a forma retangular. Assim:
A = 21,65 + j12,5 volts
B = 5,18 + j19,32 volts
C = -29,89 + j2,61 volts
Agora basta somar algebricamente parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária. Dessa forma, obtemos:
vsoma = A + B + C = -3,06 + j34,43 volts
E podemos transformar para a forma polar, ou:
vsoma = A + B + C = 34,57∠95,08° volts
Para calcularmos vsubt = C - A usamos o mesmo método. Então, encontramos:
vsubt = C - A = -51,54 - j9,89 volts
Transformando para a forma polar, obtemos:
vsubt = C - A = 52,48∠-169,14° volts
Perceba a facilidade de encontrarmos soma e subtração de fasores com este método.
Vamos estabelecer as relações algébricas que governam as relações fasoriais de tensão
e corrente nos dispositivos passivos que temos estudado até este momento. Perceba que ao fazer
as transformações das funções trigonométricas para a forma fasorial, estamos na verdade
fazendo uma transformação no domínio do tempo para o domínio da frequência. Vamos estudar
como a variação da frequência muda o comportamento desses dispositivos.
5.1 Comportamento do RESISTOR
Sabemos que um resistor obedece a lei de Ohm, e esta lei nos diz que existe
uma relação direta entre a corrente elétrica que atravessa o resistor e a tensão
elétrica que o mesmo desenvolve entre seus terminais. Assim:
v(t) = R i(t) volts
E se pelo resistor circula uma corrente dada pela função:
i(t) = Imax sen(ωt + 0°) A
Então o resistor não modificará nenhum parâmetro da corrente elétrica,
resultando em uma tensão com os mesmos parâmetros da corrente elétrica e com
uma amplitude que será o produto do valor do resistor pelo valor da corrente
elétrica, ou seja:
vmax(t) = R Imax sen(ωt + 0°) volts
Na forma polar (ou fasorial) podemos escrever:
vmax ∠0° = R Imax ∠0° volts
Em outras palavras: a relação tensão-corrente na forma fasorial
para um resistor obedece a mesma relação entre a tensão e a corrente no domínio do tempo.
Isto significa que um resistor não muda a fase entre corrente e tensão.
Para começarmos a estudar o comportamento do capacitor frente a uma onda senoidal
devemos antes introduzir o conceito de reatância. Reatância capacitiva é a
dificuldade ou resistência que o capacitor oferece à passagem de uma corrente elétrica alternada.
Em outras palavras, quando a corrente elétrica possui frequência diferente de zero
o capacitor age como uma resistência dependente da frequência. A relação que
define essa "dependência", chamada reatância capacitiva e representada por Xc, é dada por:
Xc = 1 / (ω C) = 1 / (2πf C) Ω
eq. 51-08
Onde as variáveis são:
Xc - reatância capacitiva cuja unidade de medida é ohm
ω- frequência angular cuja unidade de medida é radianos/ segundo
f - frequência da onda cuja unidade de medida é hertz
C - Capacitância cuja unidade de medida é farad
É fácil perceber pela equação que quanto maior a frequência da onda, menor é a
reatância do capacitor. E vice-versa.
Agora podemos entender por que em corrente contínua o capacitor apresenta uma impedância
infinita, pois sabemos que neste caso, f = 0.
Agora vamos analisar matematicamente como essa reatância comporta-se quando submetida a uma tensão
com uma frequência diferente de zero.
A equação que relaciona, no domínio do tempo, a corrente com a tensão aplicada em um capacitor é dada por:
eq. 51-09
Vamos supor que o capacitor seja submetido a uma tensão descrita conforme abaixo:
v(t) = Vmax sen(ωt + 0°) volts
Vamos calcular a corrente elétrica que circulará pelo capacitor. Para tal, devemos
calcular a derivada da tensão aplicada ao capacitor conforme exige a eq. 51-09 (acima).
Com isso, chegamos a:
i(t) = ω C Vmax cos(ωt + 0°)
Repare que estamos frente a uma função cosseno. Para compararmos a fase
entre i(t) e v(t) devemos ter as duas expressões com a mesma função trigonométrica. Assim,
vamos transformar i(t) para a função seno. Então, obtemos:
i(t) = ω C Vmax sen(ωt + 90°)
Perceba que agora podemos afirmar que a corrente elétrica no capacitor está 90°
adiantada em relação à tensão aplicada sobre o mesmo. Além disso, note que ω C
nada mais é do que o inverso da reatância capacitiva. Então, temos que:
Imax = ω C Vmax = Vmax / Xc
Veja que a equação acima é exatamente a lei de Ohm para corrente alternada.
Desta forma, conseguimos uma equação que define a corrente elétrica que circula pelo capacitor, ou:
i(t) = Imax sen(ωt + 90°)
Podemos escrever as duas equações na forma polar, ou:
v = Vmax ∠ 0° voltsei
= Imax ∠ 90° A
Esta propriedade do capacitor pode ser resumida da seguinte forma:
O indutor, como o capacitor, possui uma reatância indutiva e seu valor também
depende da frequência. A relação que define a reatância indutiva, representada por XL, é dada por:
XL = ω L = 2πf L Ω
eq. 51-10
Onde as variáveis são:
XL - reatância indutiva cuja unidade de medida é ohms
ω - frequência angular cuja unidade de medida é radianos/ segundo
f - frequência da onda cuja unidade de medida é hertz
L - indutância cuja unidade de medida é henry
Pela equação percebemos que quanto maior a frequência da onda maior é a reatância indutiva.
E vice-versa. Agora ficou fácil entender por que o indutor comporta-se como um
curto-circuito para corrente contínua. Claro, para corrente contínua temos f = 0,
logo XL = 0 .
Agora vamos analisar matematicamente como essa reatância comporta-se quando submetida a uma
corrente elétrica com uma frequência diferente de zero.
A equação que relaciona a tensão com a corrente que circula pelo indutor é dada por:
eq. 51-11
Vamos supor que o indutor seja submetido a uma corrente descrita conforme abaixo:
i(t) = Imax sen(ωt + 0°) A
Agora podemos calcular a tensão elétrica que surgirá nos terminais do indutor.
Para tal, devemos calcular a derivada da corrente elétrica aplicada ao indutor conforme a eq. 51-09 (acima).
Com isso, chegamos a:
v(t) = ω L Imax cos(ωt + 0°) volts
Repare que aqui também estamos frente a uma função cosseno. Para compararmos a fase
entre i(t) e v(t) devemos ter as duas expressões com a mesma função trigonométrica. Assim,
vamos transformar v(t) para a função seno. Então, obtemos:
v(t) = ω L Imax sen(ωt + 90°) volts
Observe que agora podemos afirmar que a corrente elétrica no indutor está 90°
atrasada em relação à tensão elétrica entre seus terminais. Além disso, note que ω L
nada mais é do que a reatância indutiva. Então, temos que:
Vmax = ω L Imax = XL Imax volts
Veja que a equação acima é exatamente a lei de Ohm para corrente alternada.
Desta forma, conseguimos chegar a equação da tensão elétrica sobre o indutor, ou:
v(t) = Vmax sen(ωt + 90°) volts
Podemos escrever as duas equações na forma polar, ou:
v = Vmax ∠ + 90° voltsei = Imax ∠ 0° A
Esta propriedade do indutor pode ser resumida da seguinte forma:
Devemos estar atento para o fato que o resistor é o único elemento passivo que se comporta da
mesma maneira, tanto para corrente contínua como para corrente alternada. Em outras palavras, a variação
da frequência da onda não altera seu comportamento. Já não podemos dizer o mesmo para o capacitor
e o indutor, pois para estes componentes, a reatância depende não só do valor da
capacitância ou indutância, bem como da frequência em que trabalham.
Quando combinamos estes três elementos passivos, seja em série, paralelo, ou associação mista, em
um circuito, definimos
impedância como a razão entre a tensão fasorial e a corrente fasorial, e
simbolizamos a mesma pela letra maiúscula Z. Logo, a impedância é uma grandeza complexa
e é medida em ohms. Ela não é um fasor, ou seja, não podemos transformá-la para o domínio do tempo.
Assim, todas as manipulações algébricas que as envolvam devem obedecer aquelas aplicáveis aos
números complexos.
Vamos analisar um circuito básico formado por um resistor e um capacitor em série.
Figura 51-12
Veja na Figura 51-12 o circuito que analisaremos. Da equação de v (mostrada na parte de baixo do circuito acima)
já obtemos a informação de Vmax = 156,2 volts. Por outro lado,
o termo que acompanha t é a frequência angular, ou ω = 500 rad/s.
Como não há nada escrito após ω t, isso indica que a fase de v
é φ = 0°.
Assim, temos todas as informações necessárias para começar os cálculos. Inicialmente vamos calcular a reatância capacitiva do capacitor. Como
C = 20 x 10-6 F, temos que:
- j XC = 1/ j (ω C) = 1/ j (500 x 20 x 10-6 ) = - j 100 Ω
Note na equação acima que usamos as propriedades dos números complexos, permitindo-nos escrever 1 / j = - j.
Agora podemos escrever a impedância capacitiva do circuito na forma complexa, ou:
Z = R - j XC = 120 - j 100 Ω
Pode-se escrever esta impedância na forma polar a partir da forma retangular (acima):
|Z| = √ (R2 + XC2) = √
(1202 + 1002) = 156,2 Ω
φ = tg-1 ( XC / R) = tg-1 (-100/ 120) = - 39,8°
Assim, a forma polar para a impedância pode ser escrita usando a eq. 51-05, ou:
Z = |Z| ∠ φ = 156,2 ∠-39,8° Ω
De posse dessas informações podemos calcular a corrente i e a tensão
elétrica em cada componente. Usando a notação polar, que simplifica
bastante os cálculos, temos:
i = 156,2 ∠ 0° / 156,2 ∠ -39,8° = 1 ∠+39,8° A
Perceba que este ângulo de + 39,8° está representando que a corrente
elétrica no circuito está adiantada de 39,8° em relação à
tensão elétrica aplicada ao mesmo. Além disso, como usamos Vmax no cálculo,
então essa corrente é a corrente máxima.
Se desejarmos expressar o valor da corrente elétrica na forma trigonométrica,
devemos escrever:
i = 1 sen (500 t + 39,8°) A
Com o valor de i, podemos calcular a tensão sobre o resistor
e no capacitor, ou seja:
Na Figura 51-13 apresentamos o gráfico fasorial do circuito. Como referência
usamos a tensão v. Então podemos perceber claramente que a corrente i
está adiantada de 39,8° em relação à v. Como o resistor não defasa
a corrente, a tensão sobre o resistor (VR) está em fase com i. Como sabemos,
a tensão no capacitor (VC) está atrasada de 90° em relação à corrente elétrica
i. Isso pode ser verificado facilmente no gráfico e, analiticamente, o ângulo φ
pode ser escrito como φ = 39,8° - (- 50,2°) = 90°.
Atenção
"Muitos alunos tentam "provar" que os resultados encontrados estão corretos somando
algebricamente os valores de VR com VC e ficam surpresos quando
encontram V = VR + VC = 120 + 100 = 220 volts que é um
valor completamente diferente do valor fornecido. Isso acontece por que devemos
somar as tensões fasorialmente e não algebricamente."
Então, para encontrarmos o valor
correto devemos calcular desta maneira:
V = √ (VR2 + VC2) = √
(1202 + 1002) = 156,2 V
Portanto, fique atento aos detalhes e jamais "pense" em somar algebricamente
duas tensões ou correntes que estão defasadas de 90° entre si. Note também que só
foi possível usar a equação acima, pelo fato das duas tensões estarem defasadas de
90° entre si e isso permite usar o teorema de Pitágoras.
Caso o ângulo fosse diferente de 90°, 180° ou 270° devemos usar a lei dos cossenos.
Vamos estudar a impedância apresentada por um circuito R-L a partir
de um circuito básico formado por um resistor e um indutor em série.
Figura 51-14
Veja na Figura 51-14 o circuito que analisaremos. Do circuito não temos informação
a respeito da frequência angular. Vamos admitir que
a frequência angular seja igual a ω = 1 125 rad/s.
Sabemos que a fase de v
é φ = 0°. Assim, temos todas as informações necessárias para começar os cálculos.
Por outro lado, sabemos que XL = ω L. Então vamos calcular o valor da
reatância indutiva, sabendo que L = 53,32 mH.
XL = ω L = 1 125 x 53,32 x 10-3 = 60 Ω
Desta forma, podemos escrever a impedância do circuito na sua forma complexa. Assim:
Z = R + j ω L = 10 + j60 Ω
Para escrevermos esta impedância na forma polar, necessitamos conhecer o ângulo
e o módulo (ou valor absoluto) da impedância. Vamos, primeiramente, calcular o ângulo.
φ = tg-1 ( XL/ R) = tg-1 (60/ 10) = +80,54°
Para o valor do módulo da impedância, temos:
|Z| = √ (R2 + XL2) = √
(102 + 602) = 60,83 Ω
Agora estamos aptos a escrever a impedância na sua forma polar.
Z = |Z| ∠ φ = 60,83 ∠+80,54° Ω
Com o conhecimento do valor da impedância e da tensão que alimenta o circuito
podemos calcular a corrente elétrica I.
I = v / Z = 220 ∠0° / 60,83 ∠+80,54° = 3,62 ∠-80,54° A
Podemos escrever I na sua forma trigonométrica, ou seja:
I = 3,62 sen (1125t - 80,54°) A
Para completar a análise vamos calcular a tensão elétrica sobre o resistor e sobre o
indutor. Para o resistor temos:
VR = R I = 10 x 3,62 ∠-80,54° = 36,20 ∠-80,54° volts
E para o indutor temos:
VL = XL I = 60 ∠+90° x 3,62 ∠-80,54° = 217,20 ∠+9,46° V
Como verificação vamos calcular o valor de v a partir dos valores de
VR e VL.
v = √ (VR2 + VL2) = √
(36,202 + 217,202) = 220,20 V
Obtivemos um erro de 0,2 volt em virtude de arredondamentos.
Da mesma forma como fizemos para corrente contínua (DC), onde definimos a condutância
como o inverso da resistência, para a corrente alternada (AC),
vamos definir a ADMITÂNCIA como a razão entre a corrente fasorial e a tensão fasorial
sobre um elemento do circuito. Assim como a impedância é uma grandeza complexa,
a admitância também é uma grandeza complexa.
eq. 51-12
A parte real da admitância, denominamos como condutância, G e a parte
imaginária, como susceptância, B. Dessa forma podemos escrever:
eq. 51-13
Atenção
"Preste muita atenção para o fato que a equação acima não está
dizendo que a parte real da admitância é igual ao inverso da parte real
da impedância. Nem mesmo que a parte imaginária da admitância seja igual ao
inverso da parte imaginária da impedância."
A unidade de medida da admitância, condutância e susceptância é o SIEMENS.
Conhecendo os valores da admitância, G, e da susceptância, B,
podemos calcular os valores da resistência, R, e da reatância, X,
do circuito utilizando as eq.51-14 e eq.51-15, conforme apresentadas abaixo.
eq. 51-14
eq. 51-15
Conhecendo os valores da resistência, R e da reatância, X,
podemos calcular os valores da admitância, G e da susceptância, B
do circuito utilizando as eq.51-16 e eq.51-17, conforme apresentadas abaixo.
eq. 51-16
eq. 51-17
As equações citadas acima são válidas quando temos um circuito RC série ou um circuito RL série.
Caso tenhamos um circuito RL paralelo ou um circuito RC paralelo devemos usar as equações abaixo,
sendo a eq. 51-18 para o caso de RL paralelo e a eq. 51-19 para o caso de RC paralelo.
