Como vimos no capítulo anterior, a presença de elementos reativos em um circuito
permite que possamos selecionar ou rejeitar frequências do nosso interesse. Circuitos
que possuem essas características são chamados de FILTROS. Basicamente, existem
quatro tipos de filtros os quais serão estudados neste capítulo.
Filtro Passa Baixa - (Low Pass)
Filtro Passa-alta - (High Pass)
Filtro Passa Banda ou Passa Faixa - (Band Pass)
Filtro Rejeita Faixa - (Band Reject)
Além disso, os filtros podem ser classificados em duas categorias:
Filtros Passivos - aqueles que usam elementos passivos R, L e C
em combinações diversas de circuitos série e paralelo.
Filtros Ativos - são aqueles que além dos elementos passivos agregam elementos ativos,
tais como, transistores e/ou amplificadores operacionais, válvulas eletrônicas, etc...
Aqui nos limitaremos ao estudo dos filtros passivos de primeira ordem, que são filtros
que se caracterizam por apresentarem uma inclinação da reta de atenuação ou reforço do sinal, da ordem
de 6 dB / oitava ou 20 dB / década (valores equivalentes).
Filtro passa baixa são aqueles que permitem a passagem somente de sinais de baixas frequências,
atenuando ou eliminando frequências superiores à frequência de corte do filtro.
Podemos elaborar diversos tipos de filtros passa baixa. Começaremos analisando o
filtro formado com um resistor e um capacitor.
Seja o circuito mostrado na Figura 59-01 (abaixo), formado por uma resistência
em série com um capacitor. Estamos interessados em analisar a tensão Vo que se desenvolve
sobre o capacitor quando variarmos a frequência de operação da fonte de tensão Vi. O valor da
tensão da fonte é de 10 volts.
Figura 59-01
Note que o resistor em série com o capacitor forma uma impedância cujo valor absoluto é dado por
|Z| = √ (R2 + Xc2) e Xc = 1 / (ω C).
Tendo isso em mente e aplicando um divisor de tensão no circuito,
podemos escrever a equação que permite calcular a tensão da saída, Vo, para qualquer frequência.
eq. 59-01
A diferença de fase entre a tensão de saída e a da fonte de tensão,
representada pela letra grega θ na equação acima, é expressa pela eq. 59-02.
Nessa equação, θ é sempre negativo (exceto para f = 0 Hz), e a tensão de saída,
Vo, está sempre atrasada em relação à tensão de entrada, Vi. Motivo pelo qual este
circuito é conhecido como circuito de atraso.
eq. 59-02
Também podemos expressar a relação entre a tensão de saída e a da fonte de tensão de entrada, em dB,
utilizando para isso a equação mostrada abaixo:
eq. 59-03
Vamos começar supondo que a frequência da fonte de tensão seja de 10 Hz. Então, a impedância
|Z| e Xc apresentam os valores de
|Z| = 9.947,67 Ω e
Xc = 9.947,19 Ω.
Aplicando os valores calculados acima na eq. 59-01, encontramos para Vo o valor de:
Vo = V (Xc / |Z|) = 10 (9947,19 / 9947,67) ≈ 10 V
Gostaríamos de chamar atenção para o fato que o valor de Xc = 9.947,19 Ω
é praticamente 100 vezes o valor do resistor de 100 ohms para a frequência de 10 Hz.
Por isso, quase não
temos queda de tensão sobre o resistor. Assim, toda a tensão da fonte aparece sobre o capacitor.
Vamos calcular essa relação em dB usando a eq. 59-03, ou seja:
GdB = 20 log (Vo / Vi ) = 20 log (10 / 10) = 0 dB
E a diferença de fase entre as tensões que ocorre para a frequência de 10 Hz, dada pela eq. 59-03, é de:
θ = - tg-1 (R / |Xc|) = - 0,58°
Perceba que em altas frequências, XC é muito pequeno em comparação com R e
a razão R / XC é muito grande, logo θ tende a - 90°. Já em baixas
frequências a razão é pequena e θ tende a 0°.
A ideia básica aqui é aumentarmos a frequência da fonte de tensão e analisarmos
como se comporta a tensão sobre o capacitor. Para facilitar nossa jornada, elaboramos a Tabela 59-01 com
os valores calculados para Vo (utilizando os passos acima) em função da frequência da fonte.
Veja abaixo como ficou:
Tabela 59-01
Frequência (Hz)
Reatância (Ω)
Tensão de Saída (V)
Valor em dB
Fase em Graus
10
9.947,19
10,0
0
- 0,58
50
1989,44
9,99
- 0,01
- 2,88
100
994,72
9,95
- 0,04
- 5,74
500
198,94
8,93
- 0,98
- 26,69
1000
99,47
7,07
- 3,00
- 45,15
2000
49,74
4,45
- 7,03
- 63,56
5000
19,89
1,95
- 14,20
- 78,75
10.000
9,95
0,99
- 20
- 84,32
20.000
4,97
0,50
- 26
- 87,15
50.000
1,99
0,20
- 34
- 88,86
100.000
0,99
0,10
- 40
- 89,43
Perceba que para a frequência de 1.000 Hz houve uma queda de 3 dB na
tensão de saída Vo em relação a Vi. Quando isso acontece, essa
frequência é considerada a frequência de corte do filtro. E, exatamente nessa frequência, há uma diferença de fase
entre a tensão de saída e a tensão de entrada, igual a45°.
Analiticamente, podemos
encontrá-la fazendo:
Xc = R
Manipulando algebricamente essa igualdade (pois Xc = 1 / (2 π f C ) )
podemos encontrar a equação que permite calcular a
frequência de corte do filtro em função dos valores de C
e R. Veja a eq. 59-04.
eq. 59-04
Baseado na tabela acima podemos plotar o gráfico ganho (em dB) versus
frequência (em Hz). Veja a Figura 59-02.
Figura 59-02
Da tabela acima também podemos plotar o gráfico fase versus
frequência (em Hz). Veja na Figura 59-03 como ficou.
Figura 59-03
Também podemos encontrar uma equação que relaciona a tensão de saída e a tensão de entrada em função
da frequência considerada e a frequência de corte do filtro. Para isso, vamos considerar o seguinte desenvolvimento:
eq. 59-05
A partir dessa equação podemos expressar o módulo e a fase do ganho do circuito passa baixa
em função da frequência. Assim, em termos de módulo e fase é possível escrever:
eq. 59-06
Repare que quando f = fc, pela eq. 59-06, obtemos Vo / V = 0,707 . Usando a
eq. 59-03, após o cálculo verificamos que isso corresponde a um valor de 3 dB abaixo do nível de referência.
Baseado nisso, dizemos que a frequência de corte do filtro ocorre quando a tensão de saída está 3 dB
abaixo da tensão de entrada, ou Vo / Vi = 0,707.
Quanto à fase, pela eq. 59-06, observamos que quando f = fc temos θ = - 45°.
Note que pela
eq. 59-02 o ângulo θ será sempre negativo (exceto para f = 0 Hz) e por isso esse filtro é
também conhecido por circuito de atraso.
Adendo Prático
Este circuito é largamente utilizado em receptores de FM, na etapa de áudio. Sua
finalidade é eliminar a
pré-enfase que ocorre nos equipamentos de transmissão de FM. Essa pré-enfase,
mais conhecida como pré-enfase em 75 µs, tem o objetivo de dar
um ganho adicional de 6 dB/oitava a partir da frequência
de 2.122 Hz e vai até a frequência de 15 KHz, frequência esta limite para a banda FM.
Logo, no receptor, devemos eliminar essa pré-enfase a fim de conseguirmos, na faixa de 20 Hz a 15 000 Hz,
uma tensão "quase" constante na saída do amplificador de áudio. Na literatura técnica, essa resposta
do amplificador é conhecida como flat. E se consegue esse objetivo inserindo um filtro passa baixa
com frequência de corte em 2 122 Hz, antes do
pré-amplificador de áudio. Praticamente 100% dos receptores de FM no mercado utilizam esse tipo de
filtro passa baixa. Nos receptores de AM também é utilizado esse tipo de filtro na saída do
estágio chamado detector de áudio, a fim de eliminar a rádio frequência e amplificarmos só o
sinal de áudio. Assim, existem inúmeros equipamentos eletro-eletrônicos que usam filtros passa baixa.
No item anterior vimos um filtro passa baixa utilizando um resistor e um capacitor. Agora
vamos analisar um circuito que utiliza um resistor e um indutor em série para
formar um circuito passa baixa. Veja na Figura 59-04 o circuito que analisaremos, onde
o valor do resistor é de 100 ohms e o do indutor é de 16 mH. Repare que em relação
ao circuito anterior houve uma inversão na posição dos componentes.
Figura 59-04
Neste circuito estamos interessados em analisar a tensão de saída Vo que se
desenvolve sobre o resistor. Vamos relembrar que a reatância indutiva é dada por
XL = ω L. Logo, ao aumentarmos a frequência da fonte de tensão
a reatância indutiva crescerá na mesma proporção.
Para encontrarmos o valor de Vo vamos utilizar um divisor de tensão, como
fizemos no item anterior. Temos que |Z| = √(R2 + XL2).
Então, a equação que permite calcular a tensão de saída Vo, é dada por:
eq. 59-07
A diferença de fase entre a tensão de saída e a da fonte de tensão,
representada pela letra grega θ na equação acima, é expressa pela eq. 59-08.
eq. 59-08
Fazendo o cálculo para f = 10 Hz,
encontramos XL = 1 Ω e para o módulo da impedância
|Z| = √ (12 + 1002) ≈ 100 Ω.
Utilizando a equação com os valores calculados acima, encontramos para
Vo o valor de:
Vo = V (R / |Z|) = 10 (100 / 100) = 10 V
Perceba que para esta frequência de 10 Hz, a reatância do indutor é tão pequena que o
circuito comporta-se como se o indutor não existisse. Para calcular a fase basta empregar a
equação eq. 59-08 e teremos:
θ = arctan (XL / R) = 0,58°
Seguindo os mesmos passos realizados para o filtro anterior e recalculando os valores do módulo de |Z| e
Vo, para frequências maiores que 10 Hz, elaboramos a Tabela 59-02 conforme mostramos abaixo.
Tabela 59-02
Frequência (Hz)
Reatância (Ω)
Tensão de Saída (V)
Valor em dB
Fase em Graus
10
1,00
10
0
0,58
50
5,03
9,98
- 0,01
2,88
100
10,05
9,95
- 0,04
5,74
500
50,26
8,93
- 0,98
26,69
1000
100,53
7,07
- 3,00
45,15
2000
201,06
4,45
- 7,03
63,56
5000
502,65
1,95
- 14,20
78,75
10.000
1005,31
0,99
- 20
84,32
20.000
2010,62
0,50
- 26
87,15
50.000
5026,55
0,20
- 34
88,86
100.000
10053,09
0,10
- 40
89,43
Perceba que comparando as duas tabelas, a do circuito R-C e a do circuito R-L,
a única diferença que temos é na fase do sinal de saída. Enquanto o circuito R-C apresenta
um atraso na tensão de saída em relação ao sinal de entrada, o circuito R-Ladianta a
tensão de saída em relação ao sinal de entrada.
Como no caso do filtro passa baixa R-C, na frequência de 1.000 Hz, aqui também houve uma queda
de 3 dB na tensão de saída Vo, em relação a Vi. Essa é a
frequência de corte do filtro. Analiticamente, podemos encontrá-la fazendo:
XL = R
Manipulando algebricamente essa igualdade podemos encontrar a equação que permite calcular a
frequência de corte do filtro em função dos valores de L e R. Veja abaixo.
eq. 59-09
Baseado na Tabela 59-02 podemos plotar o gráfico (Figura 59-05) ganho (em dB) versus
frequência (em Hz). Repare que é o mesmo gráfico do filro passa baixa R-C, apresentado na
Figura 59-02.
Figura 59-05
Cabe salientar que para o filtro passa baixa R-L, as equações eq. 59-05 e eq. 59-06 (acima) também são válidas para este filtro.
Em muitas aplicações práticas não estamos interessados que após a frequência de corte o sinal
na saída seja atenuado, ou até mesmo, eliminado. Nosso objetivo é que apenas uma pequena faixa de
frequências seja atenuada. Temos então, uma segunda frequência onde, a partir dessa
frequência, o sinal na saída tenha uma amplitude aproximadamente constante.
Na Figura 59-07 podemos ver um circuito que preenche esse requisito. Vamos
analisá-lo.
Em primeiro lugar devemos observar que o sinal de saída é retirado sobre a impedância
formada pelo resistor R2 e o capacitor C, ou seja, R2
e o capacitor C agem como carga. Logo, a impedância de carga
é dada por ZL = R2 - j XC.
Figura 59-07
Neste circuito é fácil perceber que para a frequência de 0 Hz o capacitor representa
um circuito aberto. Logo, concluímos que Vo = Vi . Quando aumentamos a frequência
para valores bem altos (digamos 100 kHz), o capacitor comporta-se como um curto-circuito. Então,
podemos encontrar a tensão de saída Vo com um simples divisor de tensão, ou:
Vo = Vi R2 / (R1 + R2)
Assim, já conhecemos os valores extremos de Vo. Para frequências intermediárias
o valor de Vo é dado por:
Vo = Vi (R2 - j XC ) / (R1 + R2 - j XC )
A partir desta equação podemos determinar o ganho do circuito, ou seja, a relação entre Vo
e Vi. Então:
Av = Vo / Vi = (R2 - j XC ) / (R1 + R2 - j XC )
Lembrando que XC = 1 / (2 π f C) e desenvolvendo a relação acima, chegamos a:
eq. 59-10
Na equação acima, os termos que aparecem são:
Av - Ganho de tensão do filtro.
Vo - tensão de saída do filtro.
Vi - tensão de entrada do filtro.
fc - primeira frequência de corte do filtro.
f1 - segunda frequência de corte do filtro.
f - frequência que se quer analisar.
As frequências fc e f1 podem ser determinadas através das equações abaixo.
eq. 59-11
eq. 59-12
Na Figura 59-08 podemos ver o gráfico da resposta em frequência do circuito. Repare que, conforme as
equações acima, fc depende dos valores de C, R1 e
R2, enquanto que f1 depende dos valores de C e
R2.
Desta forma, depreendemos que sempre fc < f1, como pode ser constatado no gráfico abaixo.
Figura 59-08
Relembrando que 6 dB/oitava é equivalente a 20 dB/década.
Filtro passa alta são aqueles que permitem a passagem somente de sinais de altas frequências,
atenuando ou eliminando frequências inferiores à frequência de corte do filtro.
Podemos elaborar diversos tipos de filtros passa-alta. Começaremos analisando o
filtro formado com um capacitor e um resistor.
Seja o circuito mostrado na Figura 59-10, formado por um capacitor
em série com um resistor. Estamos interessados em analisar a tensão Vo que se desenvolve
sobre o resistor quando variarmos a frequência de operação da fonte de tensão Vi,
cujo valor em módulo, estabelecemos em 10 volts.
Figura 59-10
Note que o capacitor em série com o resistor forma uma impedância cujo valor absoluto é dado por
|Z| = √ (R2 + Xc2). Como queremos calcular a tensão sobre
o resistor, podemos aplicar um divisor de tensão e encontramos a equação abaixo.
eq. 59-13
A diferença de fase entre a tensão de saída e a da fonte de tensão,
representada pela letra grega θ na equação acima, é expressa pela equação abaixo.
eq. 59-14
E a equação que determina a frequência de corte desse tipo de filtro é a mesma do filtro passa baixa RC
dado pela eq. 59-04, repetida abaixo.
eq. 59-04
Vamos começar supondo que a frequência da fonte de tensão seja de 10 Hz. Então,
a impedância |Z| apresenta o valor de |Z| = 9.948,17 Ω.
Aplicando a eq. 59-13 e lembrando que R = 100 Ω
encontramos para Vo o valor de:
Vo = V (R / |Z|) = 10 (100 / 9.948,17) ≈ 0,1 V
Seguindo o mesmo processo de cálculo para as demais frequências apresentamos a Tabela 59-03.
Seja o circuito mostrado na Figura 59-13 formado por um indutor
em série com um resistor. Estamos interessados em analisar a tensão Vo que se desenvolve sobre
o indutor quando variarmos a frequência de operação da fonte de tensão Vi, de 10 volts.
Figura 59-13
Note que o indutor em série com a resistor forma uma impedância cujo valor absoluto é dado por
|Z| = √ (R2 + XL2). Como queremos calcular a tensão sobre
o indutor, podemos aplicar um divisor de tensão e encontramos a equação abaixo.
eq. 59-15
Para encontrarmos a frequência de corte desse tipo de filtro devemos igualar o valor da reatância indutiva ao valor de R. Dessa forma, vamos encontrar a mesma equação que a do filtro passa baixa RL, dada pela eq 59-09, repetida abaixo.
eq. 59-09
Da mesma forma como fizemos no item anterior, vamos supor que a frequência da fonte de tensão seja de 10 Hz. Então,
a impedância |Z| apresenta o valor de |Z| ≈ 100 Ω.
Aplicando a equação acima e lembrando que
XL = 2 π f L ≈ 1 Ω encontramos para Vo o valor de:
Vo = Vi (XL / |Z|) = 10 (1 / 100) = 0,1 V
Seguindo o mesmo processo de cálculo para as demais frequências apresentamos a Tabela 59-04.
Este tipo de filtro pode ser utilizado quando se deseja uma limitação na atenuação em baixas frequências.
Na Figura 59-16 vemos uma configuração de um circuito que desempenha essa função.
Figura 59-16
Neste circuito quando temos f = 0 Hz, o capacitor comporta-se como um circuito aberto e, portanto a tensão Vo depende só dos valores de R1 e R2. Então o ganho de tensão
pode ser expresso como:
Av = Vo / Vi = R2 / (R1 + R2)
Para altas frequências, o capacitor comporta-se como um curto-circuito e Vo = Vi. Assim, o ganho do circuito para as frequências intermediárias estará variando entre
R2 / (R1 + R2) e 1, como podemos ver na Figura 59-17:
Em muitas situações reais de trabalho de alguns equipamentos, é desejável que haja uma limitação em sua
largura de banda. Um exemplo típico é o caso da telefonia, onde a resposta do sistema à voz humana
está limitado entre as frequências de 300 Hz a 3 kHz. Baseado em várias experiências, essa
foi a largura de banda adotada, já que se mostrou suficiente para a inteligibilidade da voz humana mesmo
após ser "transportada" por quilômetros em cabos elétricos. E para essa finalidade existe o
filtro passa-faixa.
Em geral, para essa finalidade coloca-se um filtro passa baixa em série com um filtro passa-alta. Assim,
o filtro passa baixa estabelece a frequência de corte superior enquanto o filtro passa-alta estabelece
a frequência de corte inferior.
Figura 59-18
Na Figura 59-18, podemos ver um filtro passa faixa tipo RC conforme foi descrito acima. Observe que o capacitor C1 em conjunto com o resistor R1 formam um filtro passa-alta, enquanto o capacitor C2 em conjunto com o resistor R2 formam um filtro passa baixa. As frequências de corte dos dois filtros são mostradas nas eq. 59-16 e eq. 59-17, abaixo.
eq. 59-16
eq. 59-17
Esse filtro, da maneira como está mostrado na Figura 59-18, para funcionar adequadamente deve apresentar as frequências de corte bastante espaçadas entre si. Pela Figura 59-18, percebe-se que o filtro passa baixa está em paralelo com o resistor R1 que faz parte do filtro passa-alta. Desta forma, a impedânica formada por R2 e C2 deve ser suficientemente grande em relação à R1 para que o filtro funcione de forma satisfatória.
Uma das soluções para resolver a limitação desse filtro é o emprego de amplificadores operacionais. Assim, na Figura 59-19 podemos ver o esquema de um filtro passa faixa usando um Opamp. Essa é apenas uma das possíveis maneiras de resolver o problema. Observe que as eq. 59-16 e eq. 59-17 permanecem válidas para se encontrar as frequências de corte dos filtros. E é possível se fazer as frequência de corte bem próximas, pois o Opamp atua como um isolador entre os filtros.
Figura 59-19
Devido ao filtro tipo RC apresentar problemas com frequências de corte muito próximas, uma alternativa é utilizar
um filtro ressonante baseado em um circuito RLC série ou paralelo como visto no capítulo anterior (ressonância).
O circuito deste tipo de filtro é mostrado na Figura 59-20. Uma característica desse filtro é
que a tensão de saída não é igual a tensão de entrada na banda de passagem.
Figura 59-20
Todavia, é possível determinar em que faixa de frequência Vo será maior ou igual
a 0,707 Vi. Sabemos que na resonância a reatância indutiva anula a reatância capacitiva, pois
são iguais em módulo. Então, nessa frequência temos que:
eq. 59-18
Por outro lado, sabemos que a frequência de ressonância, fS, do filtro é dada por:
eq. 59-19
Além disso, o fator de mérito, QS, e a largura de banda, ΔfS, são dadas por:
O circuito deste tipo de filtro é mostrado na Figura 59-21. Neste tipo de filtro também
a tensão de saída não é igual a tensão de entrada na banda de passagem.
Figura 59-21
Observe que o crcuito do filtro está dentro do retângulo tracejado em vermelho. A impedância deste filtro chamaremos de ZTp, que é o resultado do paralelo
( Rp + j XL ) // XC. Esta impedância atinge seu máximo na frequência de ressonância.
Então, podemos calcular a tensão máxima de saída do filtro aplicando um divisor de tensão. Com isso, obtemos a eq. 59-22 abaixo.
eq. 59-22
Por outro lado, podemos calcular a frequência de operação do filtro através da eq. 59-22 abaixo.
eq. 59-23
No capítulo Ressonância há um estudo detalhado deste tipo de circuito. Para acessar clique aqui!
Assim como em muitas situações desejamos um filtro que seja atuante só em uma determinada faixa de
frequências (caso do filtro passa faixa). Porém, há situações em que o objetivo é não permitir que
determinada faixa de frequência atinja a saída do circuito. Esse objetivo é conseguido com o circuito
chamado rejeita faixa, também conhecido pelas denominações tais como, notch, banda de atenuação,
band reject, etc ... Para se construir um filtro rejeita faixa usamos os mesmos filtros
utilizados no filtro passa faixa. A diferença é que no filtro rejeita faixa usamos o filtro passa
baixa para estabelecermos a frequência de corte inferior, enquanto o filtro passa-alta determina a
frequência de corte superior.
Uma outra possibilidade de se construir um filtro rejeita faixa é mostrado na Figura 59-22.
Nesse exemplo foi usado um circuito L C série. A frequência de rejeição do filtro pode ser calculada usando a eq. 59-23.
Figura 59-22
Devemos compreender que, neste caso, quando o circuito opera na frequência de ressonância estipulada pelos valores de L e C,
a reatância do circuito série LC tende a zero, fazendo com que a tensão de saída do filtro se anule.
Esse é o objetivo desse tipo de filtro.
