Estudo dos Filtros Elétricos Teoria


Introdução



Filtro Passa Baixa



Filtro Passa Baixa R-C

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                Figura 59-01
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eq58-10J.jpg
eq58-7J.jpg

                    Tabela 59-01
Frequência (Hz) Reatância (Ω) Tensão de Saída (V) Valor em dB Fase em Graus
10 9.947,19 10,0 0 - 0,58
50 1989,44 9,99 - 0,01 - 2,88
100 994,72 9,95 - 0,04 - 5,74
500 198,94 8,93 - 0,98 - 26,69
1000 99,47 7,07 - 3,00 - 45,15
2000 49,74 4,45 - 7,03 - 63,56
5000 19,89 1,95 - 14,20 - 78,75
10.000 9,95 0,99 - 20 - 84,32
20.000 4,97 0,50 - 26 - 87,15
50.000 1,99 0,20 - 34 - 88,86
100.000 0,99 0,10 - 40 - 89,43

    Perceba que para a frequência de 1.000 Hz houve uma queda de 3 dB na tensão de saída Vo em relação a V. Quando isso acontece, essa frequência é considerada a frequência de corte do filtro. Analiticamente, podemos encontrá-la fazendo:

    Xc = R

    Manipulando algebricamente essa igualdade (pois Xc = 1 / (2 π f C ) ) podemos encontrar a equação que permite calcular a frequência de corte do filtro em função dos valores de C e R. Veja a eq. 59-04.

eq58-2J.jpg
     eq.  59-04

    Baseado na tabela acima podemos plotar o gráfico ganho (em dB) versus frequência (em Hz). Veja a Figura 59-02.

graf57-1J.jpg
                Figura 59-02

    Da tabela acima também podemos plotar o gráfico fase versus frequência (em Hz). Veja na Figura 59-03 como ficou.

graf57-2J.jpg
                Figura 59-03

    Também podemos encontrar uma equação que relaciona a tensão de saída e a tensão de entrada em função da frequência considerada e a frequência de corte do filtro. Para isso, vamos considerar o seguinte desenvolvimento:

filtro_eq59-1J.png
filtro_eq59-1K.png
filtro_eq59-1N.png
     eq.  59-05

    A partir dessa equação podemos expressar o módulo e a fase do ganho do circuito passa baixa em função da frequência. Assim, em termos de módulo e fase é possível escrever:

filtro_eq59-1Q.png
     eq.  59-06

    Repare que quando f = fc, pela eq. 59-06, obtemos Vo / V = 0,707 . Usando a eq. 59-03, após o cálculo verificamos que isso corresponde a um valor de 3 dB abaixo do nível de referência. Baseado nisso, dizemos que a frequência de corte do filtro ocorre quando a tensão de saída está 3 dB abaixo da tensão de entrada, ou Vo / V = 0,707.

    Quanto à fase, pela eq. 59-06, observamos que quando f = fc temos θ = - 45°. Note que pela eq. 59-02 o ângulo θ será sempre negativo (exceto para f = 0 Hz) e por isso esse filtro é também conhecido por circuito de atraso.



       Adendo Prático

    Este circuito é largamente utilizado em receptores de FM, na etapa de áudio. Sua finalidade é eliminar a pré-enfase que ocorre nos equipamentos de transmissão de FM. Essa pré-enfase, mais conhecida como pré-enfase em 75 µs, tem o objetivo de dar um ganho adicional de 6 dB/oitava a partir da frequência de 2.122 Hz e vai até a frequência de 15 KHz, frequência esta limite para a banda FM. Logo, no receptor, devemos eliminar essa pré-enfase a fim de conseguirmos, na faixa de 20 Hz a 15 000 Hz, uma tensão "quase" constante na saída do amplificador de áudio. Na literatura técnica, essa resposta do amplificador é conhecida como flat. E se consegue esse objetivo inserindo um filtro passa baixa com frequência de corte em 2 122 Hz, antes do pré-amplificador de áudio. Praticamente 100% dos receptores de FM no mercado utilizam esse tipo de filtro passa baixa. Nos receptores de AM também é utilizado esse tipo de filtro na saída do estágio chamado detector de áudio, a fim de eliminar a rádio frequência e amplificarmos só o sinal de áudio. Assim, existem inúmeros equipamentos eletro-eletrônicos que usam filtros passa baixa.




Filtro Passa Baixa R-L

    2.2    Filtro Passa Baixa R - L

    No item anterior vimos um filtro passa baixa utilizando uma resistência e um capacitor. Agora vamos analisar um circuito que utiliza uma resistência e um indutor em série para formar um circuito passa baixa. Veja na Figura 59-04 o circuito que analisaremos, onde o valor do resistor é de 100 ohms e o do indutor é de 16 mH. Repare que em relação ao circuito anterior houve uma inversão na posição dos componentes.

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                Figura 59-04

    Neste circuito estamos interessados em analisar a tensão de saída Vo que se desenvolve sobre a resistência. Vamos relembrar que a reatância indutiva é dada por  XL = ω L. Logo, ao aumentarmos a frequência da fonte de tensão a reatância indutiva crescerá na mesma proporção.

    Para encontrarmos o valor de Vo vamos utilizar um divisor de tensão, como fizemos no item anterior. Temos que   |Z| = √(R2 + XL2). Então, a equação que nos permite calcular a tensão de saída Vo, é dada por:

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     eq.  59-07

    A diferença de fase entre a tensão de saída e a da fonte de tensão, representada pela letra grega θ na equação acima, é expressa pela equação abaixo.

eq58-8J.jpg
     eq.  59-08

    Fazendo o cálculo para f = 10 Hz, encontramos   XL = 1 Ω   e   |Z| = √ (12 + 1002) ≈ 100 Ω. Utilizando a equação com os valores calculados acima, encontramos para Vo o valor de:

    Vo = V  (R / |Z|) = 10  (100 / 100) = 10 V

    Perceba que para esta frequência de 10 Hz, a reatância do indutor é tão pequena que o circuito comporta-se como se o indutor não existisse. Para calcular a fase basta empregar a equação mostrada acima e teremos:

    θ = arctan (XL / R) = 0,58°

    Seguindo os mesmos passos realizados para o filtro anterior e recalculando os valores de |Z| e Vo, para frequências maiores que 10 Hz, elaboramos a Tabela 59-02 conforme mostramos abaixo.


                    Tabela 59-02
Frequência (Hz) Reatância (Ω) Tensão de Saída (V) Valor em dB Fase em Graus
10 1,00 10 0 0,58
50 5,03 9,98 - 0,01 2,88
100 10,05 9,95 - 0,04 5,74
500 50,26 8,93 - 0,98 26,69
1000 100,53 7,07 - 3,00 45,15
2000 201,06 4,45 - 7,03 63,56
5000 502,65 1,95 - 14,20 78,75
10.000 1005,31 0,99 - 20 84,32
20.000 2010,62 0,50 - 26 87,15
50.000 5026,55 0,20 - 34 88,86
100.000 10053,09 0,10 - 40 89,43

    Perceba que comparando as duas tabelas, a do circuito R-C e a do circuito R-L, a única diferença que temos é na fase do sinal de saída. Enquanto o circuito R-C apresenta um atraso na tensão de saída em relação ao sinal de entrada, o circuito R-L adianta a tensão de saída em relação ao sinal de entrada.

    Como no caso do filtro passa baixa R-C, na frequência de 1.000 Hz, aqui também houve uma queda de 3 dB na tensão de saída Vo, em relação a V. Essa é a frequência de corte do filtro. Analiticamente, podemos encontrá-la fazendo:

    XL = R

    Manipulando algebricamente essa igualdade podemos encontrar a equação que permite calcular a frequência de corte do filtro em função dos valores de L e R. Veja abaixo.

eq58-3J.jpg
     eq.  59-09

    Baseado na table 59-02 podemos plotar o gráfico (Figura 59-05) ganho (em dB) versus frequência (em Hz). Repare que é o mesmo gráfico do filro passa baixa R-C, apresentado na Figura 59-02.

graf57-1J.jpg
                Figura 59-05



Filtro Passa Baixa com Atenuação Limitada

    2.3 Filtro Passa Baixa com Atenuação Limitada

    Em muitas aplicações práticas não estamos interessados que após a frequência de corte o sinal na saída seja atenuado, ou até mesmo, eliminado. Nosso objetivo é que apenas uma pequena faixa de frequências seja atenuada. Temos então, uma segunda frequência onde, a partir dessa frequência, o sinal na saída tenha uma amplitude aproximadamente constante.

    Na Figura 59-07 podemos ver um circuito que preenche esse requisito. Vamos analisá-lo.

    Em primeiro lugar devemos observar que o sinal de saída é retirado sobre a impedância formada pela resistência R2 e o capacitor C, ou seja, R2 e o capacitor C agem como carga. Logo, a impedância é dada por ZL = R2 - j XC.

circ58-3J.jpg
                Figura 59-07

    Neste circuito é fácil perceber que para a frequência de 0 Hz o capacitor representa um circuito aberto. Logo, concluímos que Vo = V. Quando aumentamos a frequência para valores bem altos (digamos 100 kHz), o capacitor comporta-se como um curto-circuito. Então, podemos encontrar a tensão de saída Vo com um simples divisor de tensão, ou:

    Vo = V R2 / (R1 + R2)

    Assim, já conhecemos os valores extremos de Vo. Para frequências intermediárias o valor de Vo é dado por:

    Vo = V  (R2 - j XC ) / (R1 + R2 - j XC )

    A partir desta equação podemos determinar o ganho do circuito, ou seja, a relação entre Vo e V. Então:

    Av = Vo / V = (R2 - j XC ) / (R1 + R2 - j XC )

    Lembrando que XC = 1 / (2 π f C) e desenvolvendo a relação acima, chegamos a:

eqfiltro58-8J.jpg
     eq.  59-10

    Na equação acima, os termos que aparecem são:

  • Av - Ganho de tensão do filtro.
  • Vo - tensão de saída do filtro.
  • V - tensão de entrada do filtro.
  • fc - primeira frequência de corte do filtro.
  • f1 - segunda frequência de corte do filtro.
  • f - frequência que se quer analisar.

    As frequências fc e f1 podem ser determinadas através das equações abaixo.

eqfiltro58-10J.jpg
     eq.  59-11
eqfiltro58-9J.jpg
     eq.  59-12

    Na Figura 59-08 podemos ver o gráfico da resposta em frequência do circuito. Repare que, conforme as equações acima, fc depende dos valores de C, R1 e R2, enquanto que f1 depende dos valores de C e R2. Desta forma, depreendemos que sempre fc < f1, como pode ser constatado no gráfico abaixo.

graf58-1J.jpg
                Figura 59-08

    Relembrando que 6 dB/oitava é equivalente a 20 dB/década.



Filtro Passa Alta

    3. Filtro Passa-alta

    Filtro passa alta são aqueles que permitem a passagem somente de sinais de altas frequências, atenuando ou eliminando frequências inferiores à frequência de corte do filtro.

    Podemos elaborar diversos tipos de filtros passa-alta. Começaremos analisando o filtro formado com um capacitor e uma resistência.



Filtro Passa Alta R-C

    3.1    Filtro Passa-alta R - C

    Seja o circuito mostrado na Figura 59-10, formado por um capacitor em série com um resistor. Estamos interessados em analisar a tensão Vo que se desenvolve sobre o resistor quando variarmos a frequência de operação da fonte de tensão V, cujo valor estabelecemos em 10 volts.

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                Figura 59-10

    Note que o capacitor em série com a resistência forma uma impedância cujo valor absoluto é dado por |Z| = √ (R2 + Xc2). Como queremos calcular a tensão sobre o resistor, podemos aplicar um divisor de tensão e encontramos a equação abaixo.

eq58-5K.jpg
     eq.  59-13

    A diferença de fase entre a tensão de saída e a da fonte de tensão, representada pela letra grega θ na equação acima, é expressa pela equação abaixo.

eq58-8J.jpg
     eq.  59-14

    Vamos começar supondo que a frequência da fonte de tensão seja de 10 Hz. Então, a impedância |Z| apresenta o valor de   |Z| = 9.948,17 Ω.   Aplicando a eq. 59-13 e lembrando que   R = 100 Ω   encontramos para Vo o valor de:

    Vo = V  (R / |Z|) = 10  (100 / 9.948,17) ≈ 0,1 V

    Seguindo o mesmo processo de cálculo para as demais frequências apresentamos a Tabela 59-03.


                    Tabela 59-03
Frequência (Hz) Reatância (Ω) Tensão de Saída (V) Valor em dB Fase em Graus
10 9.947,18 0,1 - 40 89,43
50 1.989,44 0,50 - 26 88,86
100 994,72 1,00 - 20 84,26
500 198,94 4,49 - 7,0 63,31
1000 99,47 7,07 - 3,00 44,84
2000 49,74 8,95 - 0,96 26,45
5000 19,89 9,81 - 0,17 11,25
10.000 9,95 9,95 - 0,04 5,68
20.000 4,97 9,99 - 0,01 2,85
50.000 1,99 10,0 0 1,14
100.000 0,99 10,0 0 0,56



Filtro Passa Alta R-L

    3.2    Filtro Passa-alta R - L

    Seja o circuito mostrado na Figura 59-13 formado por um indutor em série com um resistor. Estamos interessados em analisar a tensão Vo que se desenvolve sobre o indutor quando variarmos a frequência de operação da fonte de tensão V, de 10 volts.

circ58-5J.jpg
                Figura 59-13

    Note que o indutor em série com a resistência forma uma impedância cujo valor absoluto é dado por |Z| = √ (R2 + XL2). Como queremos calcular a tensão sobre o indutor, podemos aplicar um divisor de tensão e encontramos a equação abaixo.

eq58-6J.jpg
     eq.  59-15

    Da mesma forma como fizemos no item anterior, vamos supor que a frequência da fonte de tensão seja de 10 Hz. Então, a impedância |Z| apresenta o valor de   |Z| ≈ 100 Ω.   Aplicando a equação acima e lembrando que   XL = 2 π f L ≈ 1 Ω   encontramos para Vo o valor de:

    Vo = V  (XL / |Z|) = 10  (1 / 100) = 0,1 V

    Seguindo o mesmo processo de cálculo para as demais frequências apresentamos a Tabela 59-04.


                    Tabela 59-04
Frequência (Hz) Reatância (Ω) Tensão de Saída (V) Valor em dB Fase em Graus
10 1,00 0,1 - 40 89,43
50 5,03 0,50 - 26 87,12
100 10,05 1,00 - 20 84,26
500 50,26 4,49 - 7,0 63,32
1000 100,53 7,07 - 3,00 44,85
2000 201,06 8,95 - 0,96 26,44
5000 502,65 9,81 - 0,17 11,25
10.000 1005,31 9,95 - 0,04 5,68
20.000 2010,62 9,99 - 0,01 2,84
50.000 5026,55 10,0 0 1,14
100.000 10053,09 10,0 0 0,57



Filtro Passa Alta com Atenuação Limitada

    3.3    Filtro Passa Alta com Limitação

    Este tipo de filtro pode ser utilizado quando se deseja uma limitação na atenuação em baixas frequências. Na Figura 59-16 vemos uma configuração de um circuito que desempenha essa função.

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                Figura 59-16

    Neste circuito quando temos f = 0 Hz, o capacitor comporta-se como um circuito aberto e portanto a tensão Vo depende só dos valores de R1 e R2. Então o ganho de tensão pode ser expresso como:

    Av = Vo / V = R2 / (R1 + R2)

    Para altas frequências, o capacitor comporta-se como um curto-circuito e Vo = V. Portanto, o ganho do circuito para as frequências intermediárias estará variando entre R2 / (R1 + R2) e 1, como podemos ver na Figura 59-17:

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                Figura 59-17


Filtro Passa Faixa

    4.    Filtro Passa Faixa

    Em muitas situações reais de trabalho de alguns equipamentos, é desejável que haja uma limitação em sua largura de banda. Um exemplo típico é o caso da telefonia, onde a resposta do sistema à voz humana está limitado entre as frequências de 300 Hz a 3 kHz. Baseado em várias experiências, essa foi a largura de banda adotada, já que se mostrou suficiente para a inteligibilidade da voz humana mesmo após ser "transportada" por quilômetros em cabos elétricos. E para essa finalidade existe o filtro passa-faixa. Em geral, para essa finalidade coloca-se um filtro passa baixa em série com um filtro passa-alta. Assim, o filtro passa baixa estabelece a frequência de corte superior enquanto o filtro passa-alta estabelece a frequência de corte inferior.

filtro59-10J.png
                Figura 59-18
    Na Figura 59-18, podemos ver um filtro passa faixa tipo RC conforme foi descrito acima. Observe que o capacitor C1 em conjunto com o resistor R1 formam um filtro passa-alta, enquanto o capacitor C2 em conjunto com o resistor R2 formam um filtro passa baixa. As frequências de corte dos dois filtros são mostradas nas eq. 59-16 e eq. 59-17, abaixo.

filtro59-10J.png
     eq.  59-16
filtro59-10J.png
     eq.  59-17

    Esse filtro, da maneira como está mostrado na Figura 59-18, para funcionar adequadamente deve apresentar as frequências de corte bastante espaçadas entre si. Pela Figura 59-18, percebe-se que o filtro passa baixa está em paralelo com o resistor R1 que faz parte do filtro passa-alta. Desta forma, a impedânica formada por R2 e C2 deve ser suficientemente grande em relação à R1 para que o filtro funcione de forma satisfatória.

    Uma das soluções para resolver a limitação desse filtro é o emprego de amplificadores operacionais. Assim, na Figura 59-19 podemos ver o esquema de um filtro passa faixa usando um Opamp. Essa é apenas uma das possíveis maneiras de resolver o problema. Observe que as eq. 59-16 e eq. 59-17 permanecem válidas para se encontrar as frequências de corte dos filtros. E é possível se fazer as frequência de corte bem próximas, pois o Opamp atua como um isolador entre os filtros.

filtro59-11J.png
                Figura 59-19
    Devido ao filtro tipo RC apresentar problemas com frequências de corte muito próximas, uma alternativa é utilizar um filtro ressonante baseado em um circuito RLC série ou paralelo como visto no capítulo anterior (ressonância).




Filtro Passa Faixa RLC Série

        4.1     Filtro Passa Faixa RLC Série

    O circuito deste tipo de filtro é mostrado na Figura 59-20. Uma característica desse filtro é que a tensão de saída não é igual a tensão de entrada na banda de passagem.

filtro59-12J.png
                Figura 59-20

    Todavia, é possível determinar em que faixa de frequência Vo será maior ou igual a 0,707 V. Sabemos que na resonância a reatância indutiva anula a reatância capacitiva, pois são iguais em módulo. Então, nesta frequência temos que:

eq59-3J.png
     eq.  59-18

    Por outro lado, sabemos que a frequência de ressonância, fS, do filtro é dada por:

eq57-7J.jpg
     eq.  59-19

    Além disso, o fator de mérito, QS, e a largura de banda, ΔfS, são dadas por:

eq59-4J.png
     eq.  59-20
eq59-5J.png
     eq.  59-21


Filtro Passa Faixa RLC Paralelo

        4.2     Filtro Passa Faixa RLC Paralelo

    O circuito deste tipo de filtro é mostrado na Figura 59-21. Neste tipo de filtro também a tensão de saída não é igual a tensão de entrada na banda de passagem.



Filtro Rejeita Faixa

    5.    Filtro Rejeita Faixa

    Assim como em muitas situações desejamos um filtro que seja atuante só em uma determinada faixa de frequências (caso do filtro passa faixa), há também situações em que o objetivo é não permitir que determinada faixa de frequência atinja a saída do circuito. Esse objetivo é conseguido com o circuito chamado rejeita faixa. Para se construir um filtro rejeita faixa usamos os mesmos filtros utilizados no filtro passa faixa. A diferença é que no filtro rejeita faixa usamos o filtro passa baixa para estabelecermos a frequência de corte inferior, enquanto o filtro passa-alta determina a frequência de corte superior.