O que é Resposta em Frequência

Este capítulo consta dos itens abaixo. Caso queira ir direto a algum item, clique nele.

1 - Teoria Básica clique aqui!

2 - O decibel clique aqui!

2.1 - O dBm e o dBu clique aqui!

2.2 - O dBV clique aqui!

2.3 - O dB SPL clique aqui!

3 - Diagrama ou Gráfico de Bode clique aqui!

3.1 - Frequência de Corte clique aqui!

3.2 - Banda Média clique aqui!

3.3 - Largura de Banda clique aqui!

3.4 - Resposta Fora da Banda Média clique aqui!

3.5 - Diagrama de Fase clique aqui!

Até o presente momento nossos estudos limitavam-se a estudar o circuito em regime permanente, calculando tensões e correntes, porém sem variação na frequência da fonte do sinal senoidal que alimentava o circuito.

A partir deste momento, estamos interessados em estudar esses circuitos quando são submetidos a uma fonte senoidal de tensão ou corrente com frequência variável. Dessa forma, a ideia é mantermos a amplitude do sinal da fonte senoidal constante na entrada do circuito e, ao variarmos a frequência do sinal, analisarmos o sinal resultante na saída do mesmo. Com isso, obtemos a chamada resposta em frequência do circuito. Quando temos ganho > 1, isso significa que o sinal foi amplificado e quando ganho < 1, isso significa que o sinal sofreu uma atenuação. Assim, vamos obter uma descrição do comportamento em regime estacionário senoidal de um circuito em função da frequência.

Para analisar circuitos eletrônicos, é essencial entender como a função de ganho e a fase se comportam com a variação da frequência de entrada. O ganho representa a amplitude do sinal de saída em relação ao sinal de entrada, enquanto a fase indica o deslocamento angular entre esses dois sinais. Essas propriedades podem ser expressas matematicamente e graficamente, geralmente através de diagramas de Bode, que mostram a magnitude (ganho) e a fase em função da frequência. Essas análises são cruciais para avaliar a estabilidade e o desempenho de sistemas eletrônicos.

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2. O decibel

Didaticamente não é interessante trabalharmos com a função ganho de uma forma linear. Dessa forma, optou-se por expressar o ganho por uma função logarítmica. Definiu-se uma unidade de medida chamada Bel. Porém, como um Bel é uma unidade muito grande, decidiu-se particioná-la e surgiu então o decibel. O decibel é definido como a décima parte do Bel. Assim, podemos expressar o ganho ou perda de um circuito em decibéis.

Na análise de circuitos temos três grandezas relacionadas que podem ser expressas em decibéis, ou seja, a potência , tensão e corrente. Por exemplo, um ganho de 10 dB significa que a potência foi aumentada 10 vezes, enquanto um ganho de 20 dB indica um aumento de 100 vezes. No caso da tensão ou corrente, um ganho de 10 dB indica que na saída do circuito teremos um aumento de 3,16 vezes o sinal de entrada, enquanto um aumento de 20 dB indica um aumento de 10 vezes o sinal de entrada. A equação que define o ganho ou perda de potência difere da equação que define ganho ou perda de tensão e corrente. Então, para a potência temos a equação dada abaixo.

eq. 57-01

Entenda-se P_o como potência de saída e P_i como potência de entrada. Já para o caso de tensão e corrente, as equações são:

eq. 57-02

eq. 57-03

Essa diferença nas equações é devido à potência ser uma função quadrática, P = R I² ou também P = V²/R. Quando, na primeira equação, substituímos P por qualquer das equações acima, ao aplicarmos as propriedades dos logarítmos o termo quadrático passa a multiplicar o fator 10 por 2, resultando em 20 vezes o logarítmo da razão entre tensões ou correntes.

Como o dB é uma unidade extremamente versátil, foram criadas vários padrões referenciados a diferentes valores. Vamos analisar quatro deles.

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2.1 O dBm e o dBu

O dBm é um valor criado como referência para comparação de valores em decibéis de sistemas diferentes. Em comunicação é muito utilizado o dBm, o qual estabelece o valor de zero dBm quando uma carga de 600 ohms dissipa uma potência de 1 mW. Desta forma, sobre a carga teremos uma tensão de 0,775 volts ou 775 mV.

Por exemplo, se medirmos uma potência de 100 mW em uma carga de 600 ohms na saída de um circuito, o valor em dBm será:

dBm = 10 log (100 / 1) = 20 dBm

Também existe o dBu, que tornou-se uma unidade padrão em áudio profissional. O padrão de potência, no caso o dBm, foi substituído pelo dBu que toma como referência a tensão de 0,775 V ou 775 mV, não interessando o valor da carga.

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2.2 O dBV

Pelo mesmo motivo foi criado o dBV, onde a referência é a tensão de 1 volt sobre uma carga de 600 ohms. Estes parâmetros estabelecem o padrão de zero dBV.

Por exemplo, se medirmos uma tensão de 100 mV em uma carga de 600 ohms na saída de um circuito, o valor em dBV, será de:

dBV = 20 log (0,1 / 1) = - 20 dBV

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2.3 O dB SPL

Quando trabalhamos na área de acústica é muito utilizado o termo db SPL. SPL é a abreviação do termo em inglês "Sound Pressure Level". Traduzindo: "Nível de Pressão Sonora". Aqui a referência é a menor intensidade sonora que o ouvido humano consegue perceber. Esse valor, simbolizado por I_o, possui um nível de referência de 10^-12 W/m². Devido a fisiologia do ouvido humano, sua resposta a sinais sonoros é logarítmica. Assim, a equação que permite calcular o valor em dB SPL é dada por:

eq. 57-04

Logo quando temos um sinal sonoro com uma intensidade de I = 10^-12 W/m² dizemos que temos zero dB SPL. Se I = 10^-6 W/m², então:

^-6

^-12

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3. Diagrama ou Gráfico de Bode

Chamamos de diagrama ou gráfico de Bode a representação gráfica da resposta em frequência e fase de um sistema, usando para isso, a função transferência que representa a resposta do sistema quando há variação na frequência do sinal. Devemos introduzir alguns termos utilizados nesta técnica que devemos compreendê-los perfeitamente.

Um deles é a chamada OITAVA.

Seja um sinal de frequência f. Se duplicarmos esta frequência, dizemos que o sinal "subiu" uma oitava. Por outro lado, se dividirmos a frequência por um fator 2, então dizemos que o sinal "desceu" uma oitava. Então, se afirmarmos que a frequência do sinal subiu 2 oitavas, estamos querendo dizer que a frequência do sinal original foi multiplicada por um fator 4. Se subiu 3 oitavas, o sinal original foi multiplicado por um fator 8. Facilmente percebemos que o fator multiplicador obedece a lei 2ⁿ, onde n é o número de oitavas que foi alterado a frequência do sinal. Repare que quando a frequência diminui, n assume valores negativos. Exemplo de oitava: o la4 (A5 em inglês) de 880 Hz está uma oitava acima em relação ao la3 (A4) de 440 Hz.

Outro termo: DÉCADA.

Década, como o próprio nome diz, é uma frequência que é dez vezes superior em relação à outra frequência tomada como referência. Seja a frequência de 1000 Hz. Uma década acima temos a frequência de 10.000 Hz. E uma década abaixo temos a frequência de 100 Hz.

Outro termo que devemos introduzir é: FREQUÊNCIA DE CORTE.

Entende-se por frequência de corte a frequência na qual o circuito começa a apresentar uma queda em seu ganho, seguindo uma curva assintótica.

Mais um termo: FASE do sinal.

Já foi estudado que o valor, tanto da reatância capacitiva como da reatância indutiva, dependem da frequência do sinal a que estão submetidos. A impedância de um circuito que contenha elementos reativos pode ser expressa por Z = R ± jX. E o valor da fase do sinal é dada por φ = arctg (±X/R). Desta forma, fica evidente que se alteramos a frequência do sinal estamos alterando o valor da reatância, e como consequência, alteramos a fase φ do sinal na saída do circuito.

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3.1 Frequência de Corte

Circuitos que apresentam uma redução ou reforço em seu ganho da ordem de 6 dB / oitava ou 20 dB / década (estes valores são equivalentes), são ditos circuitos de 1º ordem. Circuitos de 2ª ordem apresentam valores de 12 dB / oitava ou 40 dB / década. A cada ordem maior, acrescenta-se 6 dB / oitava ou 20 dB / década ao valor anterior.

Vamos analisar o circuito mostrado na Figura 57-01 calculando a tensão de saída V_o para diferentes frequências da fonte de tensão. Ou seja, analisaremos o ganho do circuito em função da frequência. Para calcularmos a tensão de saída faremos um divisor de tensão. Note que o resistor em série com o capacitor forma uma impedância cujo valor absoluto pode ser dado por |Z| = √ (R² + X²) e X_c = 1 / (ω C).

Considerando a frequência de 10 Hz temos |Z| = 9.947,67 Ω e X_c = 9.947,19 Ω. Fazendo o divisor de tensão, temos:

Perceba que para cada frequência que considerarmos haverá um novo valor para Z e X_c. Assim, isto gerará um novo valor para V_o. Para maior simplicidade apresentamos os resultados na tabela abaixo para quatro décadas, ou seja, variamos a frequência desde o valor de 10 Hz até o valor de 100.000 Hz. Com isto, podemos analisar como se comporta o circuito ao variarmos a frequência da fonte de tensão.

Tabela 57-01

Frequência (Hz)	Reatância (Ω)	Tensão de Saída (V)	Valor em dB	Fase em Graus
10	9.947,19	10,0	0	- 0,58
50	1989,44	9,99	- 0,01	- 2,88
100	994,72	9,95	- 0,04	- 5,74
500	198,94	8,93	- 0,98	- 26,69
1000	99,47	7,07	- 3,00	- 45,15
2000	49,74	4,45	- 7,03	- 63,56
5000	19,89	1,95	- 14,20	- 78,75
10.000	9,95	0,99	- 20	- 84,32
20.000	4,97	0,50	- 26	- 87,15
50.000	1,99	0,20	- 34	- 88,86
100.000	0,99	0,10	- 40	- 89,43

A Tabela 57-01 mostra que ao crescer o valor da frequência da fonte de tensão, a tensão sobre o capacitor vai decrescendo, sendo que para 100.000 Hz, a tensão diminui por um fator de 100 vezes em relação ao valor máximo.

Por definição, o sinal decai 3 dB na frequência de corte do circuito. Olhando na tabela verificamos que isto ocorre na frequência de 1.000 Hz. Então, para o circuito que estamos analisando sua frequência de corte é 1.000 Hz. Por outro lado, note que para frequências abaixo da frequência de corte a tensão de saída é superior a 70,7% do sinal máximo e para frequências acima da frequência de corte a tensão de saída é inferior a 70,7%. Com os dados da tabela podemos elaborar um gráfico como o mostrado na Figura 57-02 com o objetivo de mostrar o comportamento da saída do circuito em função da frequência. Repare que no eixo da frequência usamos uma escala logarítmica com a unidade em hertz, e o eixo do ganho (vertical) está em dB.

Pelo gráfico podemos ver que na frequência de f_c/2 há uma queda de 1 dB, e na frequência de 2 f_c uma queda de 6 + 1 = 7 dB. Esta diferença de 1 dB ocorre entre a curva teórica e a curva real.

Com este exemplo, aprendemos como traçar um gráfico do ganho em função da variação da frequência fornecida pela fonte de tensão que alimenta um circuito.

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3.2 Banda Média

Então aprendemos que nas frequências as quais o ganho de tensão é igual a 0,707 do seu valor máximo, essas frequência são chamadas de frequências de corte. Assim, em um amplificador temos uma frequência de corte inferior, normalmente denominada f₁, e uma frequência de corte superior, normalmente denominada f₂. As frequências de corte também são conhecidas como frequências de meia potência, porque a potência na carga é metade do valor máximo nessas frequências. Isso porque a potência na carga é o quociente entre o quadrado da tensão e o valor da resistência de carga. Como o quadrado de 0,707 é igual a 0,5, isso resulta em metade do valor da potência na banda média. Essa característica é importantíssima para a seleção de componentes em sistemas de áudio, comunicações e processamento de sinais, garantindo que apenas as frequências desejadas sejam amplificadas ou transmitidas, enquanto as indesejadas são atenuadas.

Assim, banda média ( ou banda de passagem, ou banda passante) de um amplificador é definida como a banda ou faixa de frequências que está situada entre 10 f₁ e 0,1 f₂. Na banda média podemos dizer que o ganho de um amplificador é máximo, e vamos denominar de A_vm. Assim, podemos afirmar que existem três características importantes em um amplificador: uma sendo o ganho na banda média, ou A_vm e as frequência limites, ou seja, f₁ e f₂.

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3.3 Largura de Banda

Definimos largura de banda como sendo a diferença entre as frequências de corte inferior e superior e representamos por Δ f, conforme a eq. 57-05.

eq. 57-05

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3.4 Resposta Fora da Banda Média

Normalmente queremos que o amplificador opere na banda média. Porém, há situações em que é preciso saber como ele se comporta antes ou depois das frequências de corte, ou seja, fora da banda média. Então, sabendo os valores de A_vm, f₁ e f₂, podemos calcular o ganho do amplificador para qualquer frequência f. Portanto, podemos ter duas situações descritas a seguir.

1 - Resposta Abaixo da Banda Média

Abaixo da banda média podemos determinar o ganho A_v do amplificador através da eq. 57-06.

eq. 57-06

2 - Resposta Acima da Banda Média

Acima da banda média podemos determinar o ganho A_v do amplificador através da eq. 57-07.

eq. 57-07

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3.5 Diagrama de Fase

Para completar este estudo devemos apresentar um gráfico que mostre a variação da fase do sinal na saída em função da frequência. Na tabela acima, a coluna da direita representa a fase.

A fase é calculada a partir da equação do divisor de tensão usando os fasores adequados.

V_o = [ V (X_c ∠ -90 ) / √ (R² + X_c²)]

Como estamos interessados na fase θ, trabalhando algebricamente a equação acima na forma V_o / V chegamos a:

O ângulo θ representa a diferença de fase entre V_o e V. Como o valor de θ é sempre negativo, a menos de f = 0 Hz, a tensão V_o está sempre atrasada em relação à V. Por isso este circuito é conhecido como circuito de atraso. Na Figura 57-03 podemos ver o gráfico da fase.

Note que na frequência de corte a fase de V_o está atrasada em relação à V de 45°. Sabemos que nesta frequência X_C = R, resultando um quociente entre as duas variáveis igual a 1. Daí, facilmente concluímos que θ = 45°, pois arctg 1 = 45°.

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