Problema + Difícil 55-9    Fonte:   Adaptado do Problema 31 - Lista IV de Problemas RLC 2008 - Disciplina Circuitos Elétricos da Escola de Engenharia - UFRGS - 2008 - Prof. Dr. Valner Brusamarello.

No circuito mostrado na Figura 55-09.1, sabe-se que a leitura do voltímetro V mede 100 volts e i = A∠φ. Além disso, a tensão lida pelo voltímetro está em fase com V_m e φ = 36,87°. Determine:

a) os valores de i, i₁ e i₂;

b) o valor de A e X;

c) o valor de Z.

Solução do Problema + Difícil 55-9

Item a

Vamos relembrar que um voltímetro ideal possui impedância infinita. Levando isso em consideração podemos escrever as seguintes equações do circuito na parte onde está o voltímetro.

Uma maneira fácil de resolver esse sistema é multiplicar a primeira equação por 3 e realizar a soma das duas. Assim, vamos obter:

Efetuando o cálculo, encontramos o valor de i₂, ou:

Podemos determinar a fase do valor medido pelo voltímetro calculando a fase de V_x, pois o enunciado afirma que a fase dos dois são iguais. Vamos calcular a fase V_x.

Como conhecemos o valor de i₂ podemos determinar a diferença de potencial entre os pontos a - b.

Conhecendo o valor de V_ab podemos determinar a fase de i₁.

Para encontrarmos o valor de i devemos usar a informação do enunciado do problema onde afirma que o ângulo dessa corrente é igual a 36,87°. Usando essa informaçao junto com o conhecimento da fase de i₁ e o valor de i₂, podemos traçar um gráfico que nos auxiliará na determinação do valor de i, conforme mostra a Figura 55-09.2.

Observe que os ângulos de i e i₂, em módulo, são absolutamente iguais. Com isso, é fácil concluir que os módulos das correntes também são iguais. Então:

Agora, usando a lei de Kirchhoff para correntes ao nó a, obtemos:

Então, substituindo pelos valores numéricos e efetuando o cálculo, obtemos:

Item b

Para encontrarmos o valor de A basta comparar i = A ∠ φ com valor de i. Assim, facilmente concluímos que

E para encontrar o valor de X, vamos comparar ❶ e ❷ e facilmente encontramos:

Item c

Para calcularmos o valor de Z, vamos inicialmente calcular o valor de i₃, corrente que circula por Z conforme mostra a Figura 55-9.1. Usando a lei de Kirchhoff para o nó c, temos:

Efetuando o cálculo, encontramos:

Agora necessitamos encontrar a diferença de potencial sobre Z. Do circuito, temos:

Como já calculamos o valor de V_ab vamos encontrar o valor de V_ca. Logo:

Onde usamos o fato que j 12 = 12∠90°. Com esses dados podemos traçar um gráfico das tensões envolvidas no cálculo conforme mostra a Figura 55-09.3.

Para calcular o valor de V_cb vamos usar a lei dos cossenos, conforme estudado no capítulo 51 Fasores. Vamos usar a eq. 51-02 onde, nessa equação, x representa a tensão V_cb.

Onde θ = 126,87° representa o ângulo que a tensão V_ca faz com V_ab. Fazendo a substituição numérica na equação acima e efetuando o cálculo, encontramos:

Agora que conhecemos a tensão sobre Z e a corrente que circula por ele, usando a lei de Ohm encontramos seu valor, ou:

Efetuando o cálculo, encontramos: