Problema + Difícil 55-8    Fonte:   Adaptado do Problema 4 - Lista IV de Problemas RLC 2008 - Disciplina Circuitos Elétricos da Escola de Engenharia - UFRGS - 2008 - Prof. Dr. Valner Brusamarello.

No circuito abaixo, sabe-se que a leitura do voltímetro V é de 70 volts. Além disso, a tensão E está atrasada de 30° em relação à V_ab. Determine o módulo e fase da fonte de tensão E, bem como o valor e natureza de X. Determine, também, o valor de V_ab , I e a tensão V_ca. Faça um diagrama fasorial das principais tensões no circuito.

Solução do Problema + Difícil 55-8

As duas impedâncias que estão em paralelo, podem ser determinadas e denominadas conforme abaixo:

No enunciado do problema não foi mencionada a fase da tensão V_ab. Logo, é adequado tomá-la como referência, fazendo V_ab = V_ab ∠0°. Assim, usando esta referência, pode-se calcular as correntes I_L e I_C. Então:

Do circuito se verifica que I = I_L + I_C. Note que I_L e I_C estão defasadas de 90° entre si. Então é possível usar o teorema de Pitágoras para calcular I. Efetuando-se o cálculo:

Observando com bastante atenção o circuito e levando em consideração as informações dadas no enunciado do problema, é possível se construir o diagrama de fases das tensões e correntes de interesse para a solução do problema. Esse diagrama está mostrado na figura abaixo.

Observe que os pontos de interesse estão assinalados no circuito e no gráfico acima. Pelo circuito é possível calcular a impedância entre os pontos a-b ao resolver o paralelo existente entre esses pontos. Denominando essa impedância de Z_ab e efetuando-se o cálculo, obtém-se:

E a impedância existente entre os pontos c-a e denominando-a de Z_ca:

Assim, a tensão entre esses pontos e denominando-a de V_ca é:

Efetuando-se o cálculo:

Agora é necessário calcular a tensão V_am. Note que esta tensão é sobre o resistor de 5 ohms por onde circula a corrente I_L. Logo:

Efetuando-se o cálculo:

Note que as duas tensões calculadas estão em fase (-60°), como está representado no gráfico acima. A soma dessas tensões é exatamente igual a leitura do voltímetro V (70 volts). Assim, pode-se escrever:

Substituindo-se pelos valores numéricos calculados acima e considerando-se só os módulos das tensões V_ca e V_am, temos:

Agora facilmente se calcula o valor de V_ab, pois:

Com esse dado é possível calcular o valor de V_ca como é solicitado no enunciado do problema, ou:

Com o valor de V_ab é possível calcular o valor de I, ou:

Para dar proseguimento à solução do problema, optou-se por reduzir o circuito mostrando o resistor de 4 ohms com a reatância X. Note que o ponto n é a junção dos dois componentes. A figura ao lado mostra essa configuração concordando com o gráfico mostrado acima. Observe que todos os componentes estão em série e a corrente I circula por eles.

Pode-se calcular a tensão sobre o resistor de 4 ohms, que é a tensão V_nc = 4 I. Fazendo-se a substituição numérica e calculando, encontra-se:

Olhando para o gráfico acima, observe que do ponto n até a tensão E, o que se tem é a tensão sobre o elemento X, a qual será denominada de V_x. Esta tensão tem que estar atrasada de 90° em relação à I (mesma fase de V_nc) para que o polígono feche no ponto E. Assim, fica evidente que o elemento X é um capacitor.

Neste momento há duas incógnitas a se determinar: o valor de E e o valor de V_x. Pode-se determinar graficamente ou analiticamente.

Graficamente, sabe-se o valor da tensão V_nc e o ângulo de -15° em relação à V_ab. No ponto n, traça-se uma reta perpendicular à V_nc até encontrar o fasor E, que por sua vez possui um ângulo de -30° em relação à V_ab. Verifica-se que V_x tem o mesmo valor de V_nc. Como os dois componentes (resistor e capacitor) estão em série e são percorridos pela mesma corrente, conclui-se que:

Cálculo Analítico

Vamos apresentar duas formas diferentes de solucionar o problema analiticamente.

Alternativa I

Para encontrarmos o valor de E sabemos que V_nc = 56,56 ∠-15°. Pelo gráfico acima vemos que V_nc faz um ângulo de 45° com o fasor da tensão V_Ec. Logo, concluímos que |V_x| = |V_nc|. Dessa forma, o fasor V_x fecha o triângulo retângulo c-n-E. Logo, facilmente calculamos o valor de V_Ec, pois:

Substituindo pelos valores numéricos, temos:

Observe pelo gráfico que V_Ec está em fase com V_ac. Portanto, podemos somar os dois fasores e obter o valor de V_Ea = 80 + 20 = 100 V. Agora conhecemos dois lados do triângulo b-a-E, ou seja, V_ab e V_Ea. E conhecemos o ângulo entre eles que é de 120°. Com isso e usando a lei dos cossenos podemos calcular o valor de E.

Substituindo pelos valores numéricos, temos:

Efetuando o cálculo, obtemos:

Note que acrescentamos o ângulo de E, pois o enunciado do problema afirma que E está atrasado de 30° em relação à V_ab e definimos no início da solução do problema V_ab = V_ab∠0°.

Alternativa II

Para um cálculo analítico, deve-se trabalhar com a equação da reta. Lembrando que a equação reduzida da reta é dada por y = a x + b, e que a = tan φ, onde φ é o ângulo que a reta faz com a linha de referência (neste caso, V_ab). Para a tensão V_nc, sabe-se que o ângulo é de -15°. Consequentemente a = tan (-15°) = - 0,268. E para se determinar a equação da reta, deve-se conhecer um ponto sobre a reta. Utilizando o ponto n, calcula-se x_n e y_n da seguinte forma:

Pronto. Conhecendo um ponto da reta e seu coeficiente angular, é possível se determinar a equação usando a relação abaixo:

Substituindo-se pelos valores numéricos e efetuando-se o cálculo:

Como se sabe que V_x é perpendicular a V_nc, o próximo passo é determinar a equação da reta perpendicular à V_nc que passa pelo ponto (x_n , y_n ). Para que duas retas sejam perpendiculares, seus coeficientes angulares devem obedecer a relação a_p = - (1 / a). Então, determina-se que o valor do coeficiente angular da reta perpendicular vale a_p = 3,73. Voltando a utilizar a relação ⓵, encontra-se a equação da reta perpendicular a V_nc, ou:

Para se determinar os valores de E e V_x, deve-se conhecer a equação da reta de E. Como essa reta passa pela origem, basta conhecer seu coeficiente angular , ou a_E = tan (-30°) = - 0,577. Então a equação é:

Agora que se conhece a equação das duas retas de interesse, deve-se determinar o ponto onde elas se interceptam. Então, subtraindo-se ⓷ de ⓶ e lembrando que no ponto de interseção y_E = y_p e x_E = x_p, obtém-se

Dessa relação se obtém o ponto de interseção de E e V_x. Assim:

Para o cálculo de y_E, usou-se a equação ⓷. Com esses dados, pode-se calcular o comprimento do fasor E. Como ele passa pela origem, então:

Assim, o fasor E vale:

Para finalizar, pode-se fazer um cálculo analítico de X, lembrando que V_x = 56,56 ∠-105°. Logo

Efetuando-se o cálculo, encontra-se:

Note que, analiticamente, conclui-se que X é um capacitor.