Problemas Resolvidos sobre Ressonância em Circuitos Elétricos

Problema + Difícil 58-1 Fonte: Problema 61 - Lista de Problemas RLC - Disciplina Circuitos Elétricos da Escola de Engenharia - UFRGS - 2017 - Prof. Dr. Valner Brusamarello.

Quando o circuito está em ressonância I_T = 15 A. Além disso, a queda de tensão sobre o resistor de 3 Ω é de 30 volts e no de 1,5 Ω é de 19,84 volts, conforme indicado no circuito abaixo. Determine X, X_C e R' para que o circuito esteja em ressonância.

Atenção - Na lista de exercícios da UFRGS a resposta a este problema está com erro de digitação. A resposta correta é: X = 12, X_C = 4,96 e R' = 2,57.

Solução do Problema + Difícil 58-1

Inicialmene vamos transformar o circuito RL paralelo (parte superior do circuito) em um circuito RL série, calculando-se o paralelo de R e L. Assim:

Z_RL = 2,5 x j1,25 / (2,5 + j1,25) = 0,5 + j Ω

Então podemos rearranjar a topologia do circuito como mostrado na figura abaixo. Observe que os resistores que estavam em série, tiveram seus valores somados. Denominou-se de I₂∠φ a corrente que circula pelo ramo da direita. Repare que optamos por um ângulo positivo, pois estamos supondo X_C > 1, ou seja, o circuito têm predominância capacitiva. E denominou-se de I₁∠-θ a corrente que circula pelo outro ramo. Aqui, optou-se por um ângulo negativo, pois supomos que X > 5,07, ou seja, predominância indutiva. É lógico supor que para haver ressonância um dos ramos deve ter predominância capacitiva enquanto o outro indutivo.

Por outro lado, como se quer o circuito em ressonância, sabe-se que a corrente deve estar em fase com a tensão aplicada ao circuito. Escolhe-se para a corrente total, I_T, fase zero, bem como para a tensão V. Como não foi especificada no enunciado do problema a fase das correntes, pode-se escolher a que for mais conveniente para a solução do mesmo.

Após estas considerações, a lei dos nós de Kirchhoff para este circuito pode ser escrita:

I₁∠-θ + I₂∠φ = I_T∠0°

Pelos dados fornecidos no enunciado, sabe-se que:

|I₁| = 10 , |I₂| = 13,227 , |I_T| = 15

Com essas informações podemos encontrar os valores de θ e φ, pois sabemos que os três fasores acima representam os três lados de um triângulo. Veja na figura abaixo que podemos determinar o valor do ângulo φ aplicando a lei dos cossenos (conforme explicado no capítulo 51 clique aqui!).

I₁² = I_T² + I₂² - 2 I_T I₂ cos φ

Fazendo a substituição pelos dados numéricos, encontramos:

cos φ = -300 / - 396,81 = 0,756

Aplicando a função inversa do cos encontramos o valor de φ.

φ = cos^-1 0,756 = 40,89°

Para encontrarmos o valor de θ vamos usar a relação abaixo (retirada do gráfico acima) que relaciona a função seno com os dois ângulos.

-10 sen θ + 13,227 sen φ = 0

Substituindo pelos valores numéricos, temos:

-10 sen θ + 13,227 sen 40,89° = 0

Aplicando a função inversa do seno encontramos o valor de θ.

θ = sen^-1 0,866 = 60°

Logo, usando as duas equações que se obtém do gráfico acima é possível constatar se os ângulos encontrados estão corretos.

10 cos 60° + 13,227 cos 40,89° = 15

-10 sen 60° + 13,227 sen 40,89° = 0

Observe que se a corrente I₁ está atrasada de 60°, então a impedância por onde circula I₁ deve ser do tipo Z₁ ∠ 60°. Logo, pode-se escrever que:

tan 60° = √3 = (X - 5,07) / 4

Efetuando-se o cálculo, obtemos:

X = 12 Ω

De posse do valor de X podemos calcular a impedância por onde circula I₁ e a partir desse dado encontrarmos o valor de V. Assim, Z₁ = 4 + j6,93 = 8 ∠60°. Dessa forma:

V = Z₁ I₁ = 8 ∠60° 10 ∠-60° = 80 ∠0°

Com o valor de V facilmente calculamos a impedância por onde circula I₂, ou seja, Z₂, pois sabemos que I₂ = 13,227 ∠40,89°. Logo:

Z₂ = V / I₂ = 6,048 ∠-40,89° = 4,57 - j3,96 Ω

Igualando este valor de Z₂ com o ramo por onde circula I₂,temos:

Z₂ = 4,57 - j3,96 = R' + 2 + j(1 - X_C)

Igualando a parte real, encontramos:

4,57 = R' + 2 ⇒ R' = 2,57 Ω

Agora igualando a parte imaginária, temos:

-j3,96 = j(1 - X_C) ⇒ X_C = 4,96 Ω

Considerações Finais

Podemos fazer um balanço de potência para verificar a veracidade dos valores encontrados. A fonte de tensão fornece uma potência ativa de:

P_fonte = - V I_T = - 80∠0° x 15∠0° = - 1200 watts

Quem dissipa esta potência são os resistores existentes no circuito. Então a potência dissipada no resistor de 4 ohms vale:

P₄ = 4 |I₁|² = 4 x 10² = 400 watts

No outro ramo a potência dissipada pelo resistor de 4,57 Ω (soma de 2 + R') é:

P_4,57 = 4,57 |I₂|² = 4,57 x 13,227² = 800 watts

Portanto, a soma das potências nos resistores é de 400 + 800 = 1200 watts. Exatamente o valor de potência fornecida pela fonte de tensão. E para concluir, devemos ter a potência reativa total igual a zero. Vamos verificar.

Q_T = 6,93 |I₁|² - 3,96 |I₂|² = 693 - 693 = 0

Logo, concluímos que na ressonância a impedância de todo o circuito deve ser igual a um resistor cujo valor pode ser calculado aplicando a lei de Ohm, ou:

R = V / I_T = 80 / 15 = 5,33 Ω

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