Problema + Difícil 58-1
Fonte: Problema 61 - Lista de Problemas RLC - Disciplina
Circuitos Elétricos da Escola de Engenharia - UFRGS - 2017 - Prof. Dr. Valner Brusamarello.
Quando o circuito está em ressonância IT = 15 A. Além disso, a queda de tensão
sobre o resistor de 3 Ω é de 30 volts e no de 1,5 Ω é de 19,84 volts,
conforme indicado no circuito abaixo.
Determine X, XC e R' para que o
circuito esteja em ressonância.
Atenção -
Na lista de exercícios da UFRGS a resposta a este problema está com erro de digitação. A resposta correta é: X = 12, XC = 4,96 e R' = 2,57.
Solução do Problema + Difícil 58-1
Inicialmene vamos transformar o circuito RL paralelo (parte superior do circuito) em um circuito RL série, calculando-se o paralelo de R e L. Assim:
ZRL = 2,5 x j1,25 / (2,5 + j1,25) = 0,5 + j Ω
Então podemos rearranjar a topologia do circuito como mostrado na figura abaixo. Observe que os resistores que estavam em série, tiveram seus valores somados. Denominou-se de I2∠φ a corrente que circula pelo ramo da direita. Repare que optamos por um ângulo positivo, pois estamos supondo XC > 1, ou seja, o circuito têm predominância capacitiva. E denominou-se de I1∠-θ a corrente que circula pelo outro ramo. Aqui, optou-se por um ângulo negativo, pois supomos que X > 5,07, ou seja, predominância indutiva.
É lógico supor que para haver ressonância um dos ramos deve ter predominância capacitiva enquanto o outro indutivo.
Por outro lado, como se quer o circuito em ressonância, sabe-se que a corrente deve estar em fase com a tensão aplicada ao circuito. Escolhe-se para a corrente total, IT, fase zero, bem como para a tensão V.
Como não foi especificada no enunciado do problema a fase das correntes, pode-se escolher a que for mais conveniente para a solução do mesmo.
Após estas considerações, a lei dos nós de Kirchhoff para este circuito pode ser escrita:
I1∠-θ + I2∠φ = IT∠0°
Pelos dados fornecidos no enunciado, sabe-se que:
|I1| = 10 , |I2| = 13,227 , |IT| = 15
Com essas informações podemos encontrar os valores de θ e φ, pois sabemos que os três fasores acima representam os três lados de um triângulo. Veja na figura abaixo que podemos determinar o valor do ângulo φ
aplicando a lei dos cossenos (conforme explicado no capítulo 51 clique aqui!).
I12 = IT2 + I22 - 2 IT I2 cos φ
Fazendo a substituição pelos dados numéricos, encontramos:
cos φ = -300 / - 396,81 = 0,756
Aplicando a função inversa do cos encontramos o valor de φ.
φ = cos-1 0,756 = 40,89°
Para encontrarmos o valor de θ vamos usar a relação abaixo (retirada do gráfico acima) que relaciona a função seno com os dois ângulos.
-10 sen θ + 13,227 sen φ = 0
Substituindo pelos valores numéricos, temos:
-10 sen θ + 13,227 sen 40,89° = 0
Aplicando a função inversa do seno encontramos o valor de θ.
θ = sen-1 0,866 = 60°
Logo, usando as duas equações que se obtém do gráfico acima é possível constatar se os ângulos encontrados estão corretos.
10 cos 60° + 13,227 cos 40,89° = 15
-10 sen 60° + 13,227 sen 40,89° = 0
Observe que se a corrente I1 está atrasada de 60°, então a impedância por onde circula I1 deve ser do tipo Z1 ∠ 60°. Logo, pode-se escrever que:
tan 60° = √3 = (X - 5,07) / 4
Efetuando-se o cálculo, obtemos:
X = 12 Ω
De posse do valor de X podemos calcular a impedância por onde circula I1
e a partir desse dado encontrarmos o valor de V. Assim, Z1 = 4 + j6,93 = 8 ∠60°.
Dessa forma:
V = Z1 I1 = 8 ∠60° 10 ∠-60° = 80 ∠0°
Com o valor de V facilmente calculamos a impedância por onde circula I2, ou seja, Z2, pois sabemos que I2 = 13,227 ∠40,89°. Logo:
Z2 = V / I2 = 6,048 ∠-40,89° = 4,57 - j3,96 Ω
Igualando este valor de Z2 com o ramo por onde circula I2,temos:
Z2 = 4,57 - j3,96 = R' + 2 + j(1 - XC)
Igualando a parte real, encontramos:
4,57 = R' + 2 ⇒ R' = 2,57 Ω
Agora igualando a parte imaginária, temos:
-j3,96 = j(1 - XC) ⇒ XC = 4,96 Ω
Considerações Finais
Podemos fazer um balanço de potência para verificar a veracidade dos valores encontrados.
A fonte de tensão fornece uma potência ativa de:
Pfonte = - V IT = - 80∠0° x 15∠0° = - 1200 watts
Quem dissipa esta potência são os resistores existentes no circuito. Então a potência dissipada no resistor
de 4 ohms vale:
P4 = 4 |I1|2 = 4 x 102 = 400 watts
No outro ramo a potência dissipada pelo resistor de 4,57 Ω (soma de 2 + R') é:
P4,57 = 4,57 |I2|2 = 4,57 x 13,2272 = 800 watts
Portanto, a soma das potências nos resistores é de 400 + 800 = 1200 watts.
Exatamente o valor de potência fornecida pela fonte de tensão. E para concluir, devemos ter a
potência reativa total igual a zero. Vamos verificar.
QT = 6,93 |I1|2 - 3,96 |I2|2 = 693 - 693 = 0
Logo, concluímos que na ressonância a impedância de todo o circuito deve ser igual a um resistor
cujo valor pode ser calculado aplicando a lei de Ohm, ou:
