Problema + Difícil 55-7    Fonte:   Problema 7 - Lista IV de Problemas RLC 2008 - Disciplina Circuitos Elétricos da Escola de Engenharia - UFRGS - 2008 - Prof. Dr. Valner Brusamarello.

No circuito abaixo, determine o módulo e fase da fonte de tensão E, e o valor de Z (sabe-se que Z = X∠60°, onde X é uma constante a determinar). Determine, também, o valor da constante A, sabendo que a corrente I₃ vale 15 A e o voltímetro V indica 75 V. Sabe-se ainda que o ângulo α está 60° adiantado em relação à V_ab. Observe que é fornecida, no circuito, a tensão sobre Z.

Valores dos Resistores:   R₁ = 10√3   Ω   R₂ = R₃ = 2,5√3   Ω

Solução do Problema + Difícil 55-7

Para resolver este problema, assume-se a tensão V_ab como a tensão de referência, logo V_ab ∠0°. A tensão sobre Z será denominada de V_Z. E a impedância por onde circula I₁, como Z₁. Da mesma forma, onde circula I₂, como Z₂. Assim, escrevendo essas impedâncias na forma cartesiana e polar, temos:

Como as duas impedâncias estão em paralelo, ou seja, estão sobre a mesma diferença de potencial, conclui-se que:

Isto por que, em módulo, Z₂ possui a metade do valor de Z₁. Como se sabe os ângulos de Z₁ e Z₂, bem como o ângulo de V_ab, então se pode determinar os ângulos de I₁ e I₂.

Portanto, conclui-se que I₁ está 30° adiantada em relação à V_ab e I₂ está 30° atrasada em relação à V_ab. Note que pelo enunciado do problema, a diferença de potencial entre os pontos 1 e 2 é de 75 volts. Por outro lado, a tensão sobre o capacitor é dada por:

Pois sabemos que -j10 = 10∠-90°. Da mesma forma, pode-se escrever a tensão sobre R₃, ou:

Mas, sabe-se que |I₂| = 2 |I₁|. Fazendo-se essa substituição na equação acima, obtém-se:

No gráfico abaixo, ilustra-se essa situação de uma forma didática.

Baseado no gráfico acima, o ângulo formado por V_C e V_R3 é igual a 30°. Além disso, o tamanho do lado oposto ao ângulo também é conhecido. E, nas equações acima, V_C e V_R3 estão em função de I₁. Logo, encontra-se o valor de I₁ ao se aplicar a lei dos cossenos. Então:

Trabalhando algebricamente a equação acima:

Efetuando-se o cálculo, o valor de |I₁| é:

E como já foi determinado que |I₂| = 2  |I₁|, então:

Porém, do gráfico acima, conhece-se as fases de I₁ e I₂. Assim:

Com estes valores, pode-se determinar o valor de V_ab. Então:

Conhecendo-se o valor de V_ab e V_Z = 180 ∠60°, pode-se calcular o valor e fase da fonte de tensão E. Assim, do circuito:

Substituindo-se pelos valores numéricos e realizando o cálculo:

Importante -   Pelo enunciado do problema, sabe-se que a impedância Z possui uma fase de 60°. Porém, a diferença de potencial sobre ela também possui uma fase de α = 60°. Para que isso aconteça, fica evidente que a fase da corrente total, I_T, corrente esta que circula por Z, deve possuir uma fase igual a zero. Tendo conhecimento dessa particularidade, pode-se determinar a fase da corrente I₃.

Sabendo que I₁ = 15∠+30° e I₂ = 30∠-30° é fácil perceber que a fase de I₃ deve ser igual a 30°, pois assim, obtém-se I₁ + I₃= 30∠+30°. Note que este valor é o simétrico de I₂. Somando as três correntes, obtém-se como resultado uma corrente total com fase zero.

Efetuando-se o cálculo, I_T é igual a:

Com o valor de I_T, facilmente se calcula o valor de Z, ou:

Efetuando-se o cálculo, Z é igual a:

E da figura mostrando o circuito sabemos que Z = X ∠60°. Então, comparando com a equação acima temos que:

Importante -   Conhecendo os valores de V_ab e I₃, pode-se calcular o valor da impedância Z₃, impedância esta do ramo onde circula a corrente I₃.

Efetuando-se o cálculo, Z₃ é igual a:

E, baseado no enunciado do problema, esta impedância deve ser igual a:

Comparando as duas últimas equações, conclui-se que: