Problema + Difícil 55-5    Fonte:   Adaptado do Problema 30 - Lista de Problemas RLC - Disciplina Circuitos Elétricos da Escola de Engenharia - UFRGS - 2017 - Prof. Dr. Valner Brusamarello.

Sabendo que V_ab = 60√3∠θ e que o voltímetro V mede 60 volts entre os pontos 1 e 2, determine:

a) V_cb sabendo que o mesmo está 30° atrasado em relação a V_ab.

b) O valor de V_ac e de I_T.

b) Os valores de R e X.

Solução do Problema + Difícil 55-5

Item a

Como se sabe por um voltímetro não circula corrente. Desta forma, a corrente I₁ circula pelo ramo c-2-b, enquanto I₂ circula pelo ramo c-1-b. Então, seguindo o caminho indicado pela seta laranja, pode-se escrever a seguinte equação:

Da mesma forma podemos fazer o caminho indicado pela seta verde e obter a equação:

Assim, temos um sistema de duas equações a duas incógnitas que pode ser resolvido por substituição, regra de Cramer ou pelo Octave. Dessa forma obtemos o seguinte valor para I₁:

E para I₂, obtemos:

Conhecendo I₁ facilmente determinamos o valor de V_cb. Para tanto, vamos calcular a impedância do ramo c-2-b, o qual denominaremos de Z₁.

Então V_cb será:

Item b

Já que sabemos o valor do ângulo de V_cb, podemos agora determinar o ângulo θ da tensão V_ab, pois pelo enunciado do problema deve estar 30° adiantado de V_cb. Logo:

Para determinarmos V_ac basta aplicarmos a lei de Kirchhoff para tensão, ou:

Efetuando-se o cálculo, encontra-se o valor de V_ac, ou:

Para encontrarmos I_T basta somarmos as correntes I₁ e I₂.

Item c

A impedância entre os pontos a e c pode ser representada por:

Como conhecemos o valor da tensão entre esses pontos e a corrente que circula entre eles, aplicando a lei de Ohm vamos encontrar Z_ac, ou:

Ora, comparando as duas últimas equações, parte real com parte real e imaginária com imaginária encontramos:

Portanto, conclui-se que o elemento reativo entre os pontos a e c é um indutor de reatância igual a √3 Ω

Considerações Finais

Para finalizar vamos calcular as potências envolvidas no circuito. Primeiramente, vamos calcular a potência aparente fornecida pela fonte de tensão.

Repare na equação acima que I_T^* é o complexo conjugado de I_T. Por outro lado, o ângulo da potência aparente é nulo, significando que a potência reativa do circuito é NULA. Vamos verificar. A potência ativa dissipada pelos resistores é:

Note que a potência ativa é igual a potência aparente, ou seja, não temos potência reativa no circuito. Então podemos afirmar que o fator de potência do circuito é unitário. Calculemos a potência reativa nos indutores do circuito.

Agora vamos calcular a potência reativa nos capacitores.

Fica evidente que as potências reativas nos indutores e nos capacitores se ANULAM, tornando o circuito puramente resistivo.