Problema + Difícil 53-2    Fonte:   exercício 8-21 - pag. 407 - THOMAS, Roland E. , ROSA, Albert J. , THOUSSAINT, Gregory J. -   Livro: The Analysis & Design of Linear Circuits - 6ª Edição - Ed. John Willey & Sons, Inc. - 2009.

Usando superposição encontre a tensão V_o(t) no circuito mostrado na figura abaixo, sabendo que:      i₁(t) = 100 cos(10.000t) mA      e      v₁(t) = 20 cos(20.000t - 45°) V.

Solução do Problema + Difícil 53-2

Este problema tem a particularidade de possuir duas fontes de energia que trabalham em frequências diferentes. Desta forma, para resolvermos o problema usaremos superposição, analisando o circuito de forma independente para cada fonte e, no final, somamos as respostas.

Em função desta particularidade o capacitor terá duas reatâncias diferentes, uma para cada fonte. Vamos começar com a fonte de corrente que possui ω = 10.000 rad/s.

Considerando somente a fonte de corrente devemos anular a fonte de tensão. Fazemos isto curto-circuitando essa fonte. Então ficamos com um circuito onde o capacitor e o resistor estão em paralelo. Calculando a impedância equivalente deste paralelo, temos:

Facilmente calculamos a tensão v_o(t) pois basta multiplicar a impedância pela corrente elétrica que circula por ela. Assim:

Repare que o valor da fonte de corrente estava em mA e passamos para ampère. Efetuando o cálculo, obtemos:

Agora devemos calcular v_o(t) devido à fonte de tensão. Para tanto, devemos eliminar a fonte de corrente. Consegue-se isto eliminando-a do circuito pois, nesse caso, fonte de corrente é um circuito aberto. Logo, nosso circuito resume-se a um capacitor em série com o resistor.

Note que a fonte de tensão possui uma frequência de    ω = 20.000 rad/s. Com esta nova frequência, vamos calcular a nova reatância do capacitor.

Portanto a impedância do circuito é  Z_eq   =   100 - j50   =   111,8 ∠-26,56°   Ω.   Para calcularmos v_o(t), basta aplicar um divisor de tensão, ou seja:

Substituindo pelos valores numéricos, temos:

Na forma trigonométrica temos:

Para encontrarmos o solução final devemos somar estes resultados encontrados. Então:

Veja na figura abaixo, a forma de onda que se desenvolve sobre o capacitor quando temos duas fontes de energia atuando sobre o circuito com frequências diferentes.