Problema 52-10
Fuente: Problema 3 del Ensayo de Circuitos Eléctricos II - UFRGS - 1975.
En el circuito de la Figura 52-10.1 tenemos:
1 - carga útil Z1 ⇒ 40 √2 kVA con PF = 0,707 por adelantado.
2 - carga Z2 = R2 + j X2.
La lectura de los instrumentos es:
V1 = 1.000 √2 V, V2 = 125 V y W = 100 kilovatios.
Se sabe que el circuito global es predominantemente inductivo. Determinar:
a) los valores de I1 y I2
b) los valores de R2 y X2
.
Figura 52-10.1
Solución del Problema 52-10
Item a
Analizando la carga Z1 podemos encontrar la potencia activa y reactiva de la carga. Pronto:
P1 = 40 √2 x 0,707 = 40 kW
Q1 = - 40 √2 x 0,707 = - 40 kVAR
Nótese el signo negativo de Q1, porque según el enunciado se adelanta el factor de potencia. Entonces la carga
Z1 se puede escribir como Z1 = R1 - j X1. Además, las potencias real y reactiva son iguales, lo que significa que R1 = X1.
Por otro lado, conociendo el valor de V2 podemos encontrar el valor del módulo de IT.
Escribamos la impedancia que está en paralelo con V2 en forma polar. Después
1 - j 0,75 = 1,25 ∠- 36,86°. Entonces, el valor del módulo de IT es:
| IT | = V2 / 1,25 = 125 / 1,25 = 100 A
Conociendo el módulo de IT es posible encontrar la potencia aparente que consume el circuito,
porque conocemos el valor de lectura de V1. Pronto:
ST = V1 IT = 1.000 √2 x 100 = 141.421 VA
Teniendo el valor de la potencia aparente del circuito y sabiendo que la potencia activa dada y es igual a 100.000 W, podemos calcular el factor de potencia del circuito, es decir:
FPcirc = W / ST = 100.000 / 141.421 = 0,707
Y con este valor es posible calcular el ángulo de desfase entre la tensión aplicada y la corriente que circula por el circuito. Después:
θ = cos- 1 (0,707) = 45°
Tomemos como referencia la tensión medida V1. Entonces tenemos:
V1 = 1.000 √2 ∠0°
El enunciado del problema establece que existe un predominio inductivo global. Por lo tanto, la corriente tiene un retraso de 45° en al voltaje aplicado al circuito. Con eso podemos escribir:
IT = 100 ∠ - 45°
Después de determinar las principales variables involucradas en la solución, podemos volver a dibujar el circuito como se ve en la Figura 52-10.2.
Figura 52-10.2
Nótese que entre los puntos 1 - 2 aparece la impedancia 2 + j 4, que es la suma de las componentes que aparecen en el Figura 52-10.1.
Ahora queremos determinar los valores de Z1 y Z2. Para esto, necesitamos saber el valor de
V2b. Entonces, primero determinemos el valor de V12. Pronto:
V12 = IT (2 + j 4) = 100 ∠- 45° x 4,47 ∠ 63,43°
En esta ecuación usamos el hecho de que 2 + j 4 = 4.47 ∠ 63,43°. Haciendo las matemáticas, encontramos:
V12 = 447 ∠ 18,43° V
De esta forma, el valor de V2b viene dado por la diferencia entre V1 y
V12, o:
V2b = V1 - V12 = 1.000 √2 ∠ 0° - 447 ∠ 18,43°
Haciendo las matemáticas, encontramos:
V2b = 1.000 ∠ - 8,12°
En este punto de la solución del problema, debemos prestar mucha atención a carga 1. Como concluimos a principios de
solución, tenemos R1 = X1. Entonces, la caída de voltaje entre R1 y X1 será igual a VR1 = VX1 = 707 V. Como conocemos la potencia en ambos elementos y son iguales en valores absolutos, obtenemos:
R1 = X1 = (VR1)2 / P1 = 7072 /
40.000
Haciendo las matemáticas, encontramos:
R1 = X1 = 12,5 Ω
Ahora podemos escribir Z1 = 12.5 - j12.5 = 17.68 ∠- 45°. Entonces, aplicando la ley de Ohm podemos determinar el valor de I1, es decir:
I1 = V2b / Z1 = 1.000 ∠ - 8,12° / 17,68 ∠ - 45°
Haciendo las matemáticas, encontramos:
I1 = 56,56 ∠ 36,88° A
Y para calcular el I2 actual, simplemente calcule la diferencia entre IT y I 1, como sabemos por la ley de Kirchhoff para corrientes que IT = I1 + I2. Después:
I2 = IT - I1 = 100 ∠- 45° - 56,56 ∠ 36,88°
Haciendo las matemáticas, encontramos:
I2 = 107,71 ∠- 76,32° A
Item b
Para encontrar los valores de R2 y X2, debemos considerar que, en base al circuito como se muestra en la Figura 52.10.2, la potencia disipada por R = 2 Ω es igual a 2 x 1002 = 20 kW . Y la potencia disipada por R1 de la carga 1, ya calculada, es 40 kW. Por lo tanto, R2 debe disipar una potencia de 40 kW, dado que el medidor de potencia midió una potencia total de 100 kW. Conociendo la potencia que disipa la resistencia y la corriente que circula por ella, podemos determinar fácilmente su valor, o bien:
R2 = P2 / I22 = 40.000 / 107,712
Haciendo las matemáticas, encontramos:
R2 = 3,45 Ω
Para calcular el valor de X2, consideramos que el inductor j 4 tiene una potencia reactiva de
4 x 1002 = 40kVAR. Por lo tanto, la potencia reactiva de este inductor es cancelada por la potencia reactiva del capacitor en el
carga 1 que equivale a Q1 = - 40 kVAR, valor ya calculado al inicio de la solución del problema. Por lo tanto, como el problema establece que hay un predominio inductivo en el circuito, entonces concluimos que X2 es un inductor y tiene un reactivo potencia igual a 100 kVAR. Este valor es el resultado de la potencia aparente del circuito, ya calculada, multiplicada por el ángulo de retardo de la corriente total con relación a la tensión aplicada al circuito. Y sabemos que este ángulo
es igual a 45°. Por tanto, de forma similar al cálculo de R2, tenemos:
