Problema 53-2
Fonte: Problema 4 - Lista de Problemas RLC - Disciplina
Circuitos Elétricos da Escola de Engenharia - UFRGS - 2011 - Prof. Dr. Valner Brusamarello.
No circuito da Figura 53-02.1, V = - 300 sen (100 t - 20°) e I = 20 sen(100t - 146,9°). Determine R e X.
Figura 53-02.1
Atenção:
Na lista da Ufrgs, há alguns erros de digitação. Na corrente I, ao invés de wt,
é 100t. No desenho não está representada a corrente I. Veja circuito acima com a correção.
Na resposta aparece X = C = 1250 uF. X é a reatância em ohms. C é a capacitância em farads. Logo, a
resposta correta é: R = 4Ω, X = 8Ω e C = 1250 µF.
Solução do Problema 53-2
Inicialmente, calcula-se o equivalente Thévenin para a fonte e os dois
resistores conhecidos do circuito. Assim, o circuito remodelado é mostrado
na Figura 53-02.2, onde a tensão de Thévenin é
Vth = - 200 sen(100t - 20°) e a resistência de Thévenin é
o paralelo entre os resistores de 3 ohms e 6 ohms, resultando
em um de 2 ohms. A corrente I continua a mesma, circulando por
R e X.
Figura 53-02.2
Para resolver esse problema, deve-se primeiramente entender a relação entre
V e I. Repare que a função - sen wt pode
ser representada pela função + sen (wt + 180°) ou por + sen (wt - 180°).
Nesse caso em particular, optou-se pela segunda alternativa. Assim, escrevendo
V como:
V = - 200 sen (100t - 20°) = 200 sen (100t - 200°)
Note que tanto V, como I, estão escritas como função seno positiva. Então, pode-se determinar
a diferença de fase entre os dois valores. Não esquecer que a impedância equivalente para a fonte é dada pelo
quociente entre a tensão e a corrente. Dessa forma, é possível escrever:
Zeq = V / I = 200∠-200° / 20∠-146,9 = 10∠-53,1°
Desse resultado se conclui que o circuito tem predominância capacitiva, pois o ângulo da impedância equivalente é negativo.
Lembre-se que a tangente do ângulo é dado pelo quociente entre a parte imaginária da impedância e sua parte real.
Baseado nessa informação:
tan (-53,1°) = - 4/3 = X / (R+2)
Efetuando o cálculo se encontra a seguinte relação entre X e R:
X = - (4R/3) - (8/3)
eq. 53-02.1
Do valor da impedância equivalente, facilmente se conclui que |Z| = 10 ohms.
Por outro lado, sabe-se que o módulo de uma impedância é dado pela raíz quadrada da soma dos quadrados da parte real e imaginária. Assim:
|Z| = 10 = √ [(R + 2)2 + X2]
eq. 53-02.2
Ao substituir o valor de X na eq. 53-02.2 pelo valor encontrado na eq. 53-02.1 e
realizar um desenvolvimento algébrico,
obtém-se uma equação do segundo grau em função somente de R. Veja abaixo a equação:
25 R2 + 100 R - 800 = 0
Resolvendo essa equação se determina dois valores: R = - 2 ohms, valor este
descartado, pois fisicamente é impossível termos resistores (elemento passivo)
de valor negativo; e R = 4 ohms. Portanto, o valor de R é:
R = 4 ohms
Como já se conhece a relação entre X e R, dada pela eq. 53-02.1, facilmente se calcula o
valor de X, ou:
X = -4R/3 - 8/3 = - 8 ohms
Pelo valor negativo de X fica perfeitamente definido que essa reatância é devido a um capacitor. Para se encontrar a capacitância desse capacitor, usa-se a relação abaixo:
