Até aqui estudamos que para corrente contínua, potência era nada mais
do que o produto entre a tensão aplicada ao componente multiplicada pela
corrente elétrica que circulava por ele. Agora, no estudo da corrente alternada,
vamos estudar diversos tipos de potência.
Vamos começar pela chamada potência instantânea.
Vimos no capítulo anterior que podemos definir uma tensão elétrica ou uma
corrente elétrica por uma função senoidal ou cossenoidal. Essas
funções variam no tempo, possuindo valores de máximos e de mínimos. Então,
vamos definir uma função para a tensão instantânea e outra para a corrente
instantânea.
v(t) = Vmax cos (ω t + θv )
i(t) = Imax cos (ω t + θi )
Como sabemos, a potência é dada pelo produto entre tensão e corrente, logo:
p(t) = v(t) i(t) = Vmax Imax cos (ω t + θv ) cos (ω t + θi )
Repare que temos o produto de duas funções senoidais. Pelas propriedades trigonométricas
podemos desenvolver este produto usando:
cos A cos B = = 1/2 [cos (A - B) + cos (A + B)]
Aplicando essa propriedade vamos encontrar uma função com duas parcelas. A primeira parcela será
1/2 Vmax Imax cos (θv - θi ).
Esta parcela representa um valor fixo da potência, independente do tempo e seu valor depende da diferença de
fase entre a tensão e a corrente. Em outras palavras, é a componente DC da potência.
A segunda parcela representa um valor variável no tempo
devido a função cossenoidal que aparece como
1/2 Vmax Imax cos (2 ω t + θv + θi ).
Esta função cossenoidal apresenta uma frequência duas vezes maior que a da tensão ou da corrente.
Na Figura 52-01 mostramos o gráfico da função potência.
Figura 52-01
Cabe ressaltar que quando P(t) é positiva, a potência é absorvida pelo circuito. E
quando P(t) é negativa, a potência é absorvida pela fonte (neste caso, devemos ter elementos
armazenadores de energia no circuito, tais como capacitores e indutores).
Na literatura técnica, o valor máximo de uma função também é conhecido como
valor de PICO. Se quisermos expressar a diferença entre o valor máximo e o mínimo,
costuma-se usar o termo valor de PICO a PICO. Para funções senoidais e cossenoidais,
temos a seguinte relação Vpp = 2 Vp. Por exemplo,
se v = 5 sen(ωt) volts,
então Vmax = Vp = 5 volts e Vpp = 10 volts. A unidade de medida da
potência instântanea é o watt.
Para falarmos em potência média vamos nos concentrar na primeira parcela da
potência instantânea, que é dada por:
P = v . i = 1/2 Vmax Imax cos (θv - θi )
Definimos aqui o ângulo θ como o ângulo entre a tensão e a corrente, ou seja:
θ = θv - θi
Potência média ou potência real, como também é conhecida, é a potência
fornecida à carga e dissipada pela mesma. Repare que esta potência não depende da tensão
estar atrasada ou adiantada em relação à corrente. Só interessa o valor absoluto do ângulo θ,
pois lembre-se que cos (- θ) = cos θ.
eq. 52-01
Intencionalmente, na equação acima, escrevemos Vmax /√ 2 e
Imax /√ 2 para anteciparmos o que vamos considerar no próximo
item, o chamado valor eficaz.
Até aqui temos trabalhado com valores máximos e mínimos das funções que representam
tensão ou corrente elétrica. Porém esses valores só acontecem em um determinado
tempo t. Estamos interessados em um valor que possa representar esses valores
em qualquer tempo, como se fosse um valor em corrente contínua. É neste
momento que definimos o valor eficaz de uma tensão ou corrente elétrica.
Valor eficaz, ou como também é conhecido, valor RMS ( root mean
square), foi definido como aquele valor equivalente senoidal (ou cossenoidal) que ao ser aplicado
sobre uma carga resistiva dissiparia a mesma potência caso a carga
fosse alimentada com um determinado valor contínuo.
Essa equivalência de valores é dada por:
eq. 52-02
Assim, podemos redefinir a potência média, ou também conhecida como
potência eficaz, ou potência real, ou potência útil, com os valores
eficazes da tensão e corrente, ou seja:
Sabemos que um resistor não causa defasagem entre a tensão e a corrente aos quais está submetido.
Logo θ = 0° e cos 0° = 1, resultando que a potência é simplesmente o
produto entre a tensão sobre o resistor e a corrente que circula por ele.
Exemplo - Sobre um resistor aplicamos uma tensão
igual a v = 20 sen(ωt + 20°) e obtemos uma corrente i = 4 sen(ωt + 20°).
Qual o valor do resistor e qual a potência real dissipada pelo mesmo?
Solução - Pela lei de Ohm temos que
R = Vmax/Imax ou R = 20 / 4 = 5 ohms. Muito fácil!
Agora vamos calcular a potência que o resistor dissipa. Perceba que como a tensão
e a corrente foram dadas por uma função senoidal, então o valor que multiplica a função
seno é o valor máximo (ou valor de pico) que a tensão (ou corrente)
atinge. Logo, empregando a equação da potência média (ou real) para resistores, encontramos:
Sabemos que em um indutor ideal (ou puro) a corrente está atrasada de 90° em relação à tensão aplicada sobre o mesmo.
Para um capacitor ideal (ou puro) a corrente está adiantada de 90° em relação à tensão aplicada sobre ele. Repare que
para qualquer elemento reativo ideal que considerarmos haverá um defasamento de 90° entre tensão e corrente.
Ora, se temos o ângulo θ = 90° então como cos 90° = 0, e pela eq. 52-03
isto significa que a potência média ou real em um elemento reativo é NULA.
Assim, em qualquer rede que possua somente indutores e capacitores a potência média
será sempre NULA.
Na prática, como não trabalhamos com componentes ideais (ou puros), qualquer circuito sempre conterá algum elemento
resistivo associado a um ou mais elementos reativos.
Isto sugere que sempre haverá uma defasagem entre tensão aplicada e corrente elétrica que circula pelo circuito.
Esta defasagem é conhecida como FATOR DE POTÊNCIA e é definido como:
Fator de Potência = FP = cos θ
Como antecipamos no item 3, só estamos interessados no valor absoluto do ângulo θ.
Então surge uma dúvida: como vamos saber se o fator de potência é ocasionado por
um circuito indutivo ou capacitivo? É simples: vamos nos basear nas características dos elementos.
Assim, se o circuito é predominantemente indutivo, dizemos que o fator de potência é INDUTIVO
ou ATRASADO (pelo fato do indutor atrasar a corrente elétrica em relação à tensão).
Caso o circuito seja predominantemente capacitivo, dizemos que o fator de potência
é CAPACITIVO
ou ADIANTADO (pelo fato do capacitor adiantar a corrente elétrica em relação à tensão).
Uma outra maneira de expressarmos o fator de potência é em função
da potência real e os valores eficazes de tensão e corrente. Veja abaixo como podemos escrever:
eq. 52-04
Raciocinando com Lógica
Sabemos que a função cosseno é adimensional. Como no numerador da equação acima temos a
potência real, isto sugere que o termo no denominador também deve ser uma potência. E realmente,
denominamos esse termo de POTÊNCIA APARENTE e normalmente é representada pela letra S.
Então podemos escrevê-la como:
eq. 52-05
Repare que para o cálculo da potência aparente, não interessa o ângulo de defasagem
entre tensão e corrente. Para evitar confusão com a potência real, a unidade de medida da
potência aparente é o volt-ampére, ou simplesmente, VA.
Desta forma podemos concluir que a potência aparente só será igual a
potência real quando o circuito apresentar uma impedância total puramente resistiva, pois neste caso FP = 1. Portanto,
se há elementos reativos no circuito temos 0 < fator de potência < 1 e a
potência aparente, neste caso, será sempre maior que a potência ativa ou real.
Podemos representar a potência como uma grandeza complexa. Neste caso, o módulo
da potência complexa representa a potência aparente e a parte real
representa a potência ativa ou real. Da parte imaginária surge uma nova grandeza
a qual chamamos de POTÊNCIA REATIVA e sua unidade é volt-ampère reativo, ou
simlesmente VAr, e normalmente é simbolizada pela letra Q.
Vamos expressar a potência complexa como o produto entre a tensão eficaz
e o complexo conjugado da corrente elétrica eficaz, ou:
eq. 52-06
Se temos o valor da potência complexa e além do mais, conhecemos o valor do
ângulo de defasamento entre tensão e corrente, então facilmente podemos calcular
o valor da potência real empregando a equação abaixo.
eq. 52-07
O mesmo se aplica à potência reativa, apenas substituindo a função cosseno
pela função seno como podemos ver na equação abaixo.
eq. 52-08
Como a potência complexa, a potência real e a potência reativa
fazem parte de um triângulo retângulo (como veremos no próximo item), então usando o
teorema de Pitágoras encontramos uma relação entre as três grandezas.
Olhando com atenção para a última equação do item anterior fica claro que podemos representar
a potência complexa por um triângulo retângulo onde cada lado será interpretado como uma
potência. A potência real será representada pelo cateto adjacente, a
potência reativa será representada pelo cateto oposto e, por último, a
potência aparente será representada pela hipotenusa do triângulo retângulo.
Na Figura 52-02 podemos ver a representação das três potências em um triângulo.
Figura 52-02
Atenção
Devemos salientar que na Figura 52-02 usamos o fato da potência reativa ser positiva, ou seja, indutiva.
Por isso representamos a potência reativa acima do eixo horizontal. Na literatura técnica,
existem alguns autores (p. ex. Joseph A. Edminister) que preferem usar o fato do indutor atrasar a
corrente elétrica em relação à tensão. Neste caso, invertem o sentido do triângulo, representando a
potencia reativa indutiva para baixo. Levam em consideração o fato do ângulo ser negativo.
Assim, a potência reativa capacitiva é orientada para cima. Porém, cabe ressaltar que em qualquer caso,
serão obtidos os mesmos resultados de potências e ângulos.
Portanto, o aluno pode escolher como desenhar o triângulo de potência: se do ponto de vista do ângulo
(negativo para reatância indutiva e positivo para reatância capacitiva) ou se do ponto de vista da potência
(positivo para reatância indutiva e negativo para reatância capacitiva).
Agora que temos um bom embasamento das diversas potências envolvidas em circuitos
elétricos podemos estudar com mais detalhes o que é esse tal fator de potência
e por que devemos corrigi-lo.
Como já vimos, fator de potência nada mais é do que o cosseno do
ângulo (θ) de defasagem entre tensão e corrente elétrica. Mas ... por que isso é
importante?
O fato importante a salientar é que grandes consumidores, como indústrias, usam muitos
motores elétricos potentes
e, como sabemos, motores elétricos são circuitos tipicamente indutivos. Em outras palavras:
causam uma grande defasagem entre a tensão e a corrente elétrica. Como a companhia
fornecedora de energia elétrica só consegue tarifar potência real, então se tivermos
um circuito com grande consumo de potência reativa a companhia está tendo prejuízo.
Para que isso não ocorra, por lei, existem regras que regulamentam qual o menor
fator de potência que as indústrias podem operar. No Brasil, esse fator de potência não pode
ser menor que 0,92. A companhia fornecedora de energia elétrica monitora a cada 15 minutos
o fator de potência de cada consumidor que é seu cliente. Caso o fator de potência do consumidor
esteja abaixo do valor 0,92, como sanção, sofrerá um acréscimo na tarifação.
Por esse motivo as indústrias possuem um sistema computadorizado que monitora constantemente
o fator de potência e, caso constate que o mesmo está fora do regulamento, o computador
corrige o fator de potência automaticamente.
A pergunta que devemos fazer é: COMO CORRIGIR O FP ?
A resposta é simples: basta acrescentar "alguma coisa" que faça com que a
defasagem da corrente elétrica em relação à tensão seja reduzida. O único componente
que estudamos e que permite que isso ocorra é o ... CAPACITOR. Mas ... acrescentar
de que maneira? Grandes consumidores usam banco de capacitores que são ligados em
paralelo com a carga. Desta forma, se o fator de potência está baixo os capacitores
são conectados em paralelo com a carga para aumentar o FP. Assim, o fator de potência sempre estará
com um valor entre 0,92 e 1, e imune a sanções.
O problema 52-8 ilustra essa técnica de correção do fator de potência. Para acessá-lo
clique aqui!
No capítulo 7 estudamos este teorema quando tínhamos somente resistências em um circuito alimentado por DC.
Agora vamos estudá-lo quando, em um circuito alimentado com AC, há a presença de elementos reativos. Para tanto,
vamos usar como referência o circuito mostrado na Figura 52-03.
Figura 52-03
O circuito apresenta uma impedância complexa (Zi) de valor fixo, em série com uma
fonte de tensão (V), e este sistema alimenta uma carga também complexa (ZL).
Em relação à potência em corrente alternada podemos estabelecer três casos que podem ocorrer. Vamos
analisá-las separadamente.
Caso 1
Vamos analisar o caso quando a carga é composta somente de um resistor. Neste caso, temos que
XL = 0. Assim, a máxima transferência de potência para
a carga resistiva acontece quando é satisfeita a condição abaixo:
RL = |Zi| = √(Ri2 + Xi2)
eq. 52-10
Portanto, haverá máxima transferência de potência para a carga quando esta for igual
ao valor absoluto da impedância complexa, Zi.
Se o elemento reativo da impedância em série for nulo, isto é, Xi = 0,
então recaímos no caso que estudamos no capítulo 5, ou seja, RL = Ri.
Caso 2
No segundo caso, vamos considerar a carga com elemento resistivo fixo e
reativo variável.
Assim, temos que satisfazer duas condições para que haja a máxima transferência de potência
para a carga. Veja abaixo:
RL = Ri e
XL = - Xi
eq. 52-11
Isto significa que devemos ter uma relação entre ZL e Zi,
de tal forma que um seja o conjugado complexo do outro. Em outras palavras: se a carga
for um circuito indutivo, então Zi deve ser um circuito capacitivo.
E vice-versa.
Caso 3
No terceiro caso, vamos considerar a carga com elemento resistivo variável e
reativo fixo.
Assim, para que haja a máxima transferência de potência
para a carga, temos que satisfazer a seguinte condição:
RL = √[Ri2 + ( Xi + XL)2]
= |Zi + jXL|
eq. 52-12
Perceba, mais um vez, que se XL = - Xi, então recaímos no
caso 1, onde RL = Ri, condição para que haja máxima
transferência de potência.
Caso esteja interessado na prova matemática destes três casos poderá obter
clicando aqui!
Um wattímetro é um dispositivo ou equipamento que tem a finalidade de medir potência ativa ou real.
Basicamente é constituído de duas bobinas, sendo uma para medir a corrente elétrica que circula pela carga e a outra
para medir a tensão sobre a carga. A primeira é uma bobina de baixíssima resistência ôhmica que é conectada em série
com a carga. Idealmente a queda de tensão sobre ela é NULA. Conhecida como bobina de corrente (BC) .
A segunda bobina tem uma altíssima resistência ôhmica e é conectada em paralelo com a carga.. Idealmente
a corrente que circula por ela é NULA. Conhecida como bobina de tensão (BT). Na Figura 52-04 vemos
o esquema básico de um wattímetro.
Figura 52-04
Foi convencionado que se a corrente entrar pelo terminal marcado positivo na bobina de corrente e a tensão sendo positiva
no terminal marcado positivo na bobina de tensão, então a leitura do wattímetro será positiva, ou seja,
a carga está consumindo potência. Assim, a parte real do produto entre o módulo da tensão e o módulo da corrente
medida pelas bobinas de corrente será a potência média (ou ativa, real), tendo como unidade de medida o watt ou
quilowatt. Portanto a equação que usaremos para calcular a potência será:
eq. 52-13
Exemplo
Ao analisar o problema 54-6, cuja solução pode ser vista
Aqui! consideramos o circuito delimitado pelos pontos a-b como uma carga.
A Figura 52-05 nos fornece uma representação visual dessa configuração. Com base na solução revisada,
temos que a tensão entre os pontos a-b é de Vab = 50∠0°, e a corrente I = 9,09∠-88,42°.
Esses valores são essenciais para calcular a potência real consumida pela carga,
pois o wattímetro, representado pelo conjunto de voltímetro e amperímetro, mede a potência baseando-se nesses parâmetros.
A potência pode ser calculada multiplicando-se a tensão pela corrente e pelo cosseno do ângulo de defasagem entre eles,
o que nos dá uma medida da energia efetivamente utilizada pelo circuito.
Portanto, desses valores
constatamos que o ângulo entre a tensão nos pontos a-b e a corrente é de θ = 88,42°.
Não esqueça que cos (-88,42°) = cos 88,42°.
Figura 52-05
Podemos calcular a potência consumida pela carga utilizando a equação 52-13, onde temos que
θ = θv - θi , ou seja:
P = |V| |I| cos (θ) = 50 9,09 cos (88,42°)
Efetuando o cálculo, encontramos:
P = 12,53 watts
Como a carga possui só um resistor, então essa potência é toda dissipada no resistor
de 20 ohms, haja vista que indutores não consomem potência real.
