Problema + Difícil 55-3    Fonte:   Problema 18 - Lista de Problemas RLC - Disciplina Circuitos Elétricos da Escola de Engenharia - UFRGS - 2011 - Prof. Dr. Valner Brusamarello.

Para o circuito da figura abaixo temos que E está em fase com E₁ e a leitura do voltímetro V é de 60 volts. Além disso, X é um componente R , L ou C puro.   Determine E₁,  E   e   X.

Solução do Problema + Difícil 55-3

Como não foi indicada a fase de nenhuma tensão no circuito, vamos tomar como referência a tensão medida pelo voltímetro, de tal forma que V = 60∠0° volts. Por outro lado, vamos assumir que E₁ tenha um ângulo de fase igual a θ.   Então I₁ será dada por:

Calcula-se a impedância Z_cde para que seja possível calcular I₂.

Então I₂ será:

Sabe-se que I é a soma fasorial de I₁ e I₂, então:

Colocando em evidência E₁∠θ, obtém-se:

Sabemos que 1/7,5 = 0,1333 e 1/(5∠53,13°) = 0,12 + j0,16, então somando os dois, obtemos:

Perceba que a leitura do voltímetro é a soma fasorial das tensões V_ac e V_cd. E do circuito V_ac = 2 I e V_cd = 3 I₂ . Logo, pode-se escrever:

Ora, colocando E₁∠θ em evidência e efetuando-se o cálculo temos:

E daí, encontra-se o valor de E₁∠θ, ou:

De posse do valor de E₁∠θ, pode-se calcular os valores de E e X. Para tanto, vamos utilizar o circuito simplificado abaixo e relacionar as variáveis. Repare que a fase de E é exatamente igual a fase de E₁, conforme enunciado do problema. Além disso, juntamos o resistor de 2 ohms com o elemento X, por onde circula a corrente I.

Agora usando a lei de Kirchhoff para tensão temos:

Trabalhando algebricamente a equação acima:

Na equação acima, usamos o valor de I = 20,4 ∠42,73°. Transformando o primeiro membro em uma parte real e outra em imaginária (aplicando cosseno e seno ao ângulo de - 32,28°), igualamos ao segundo membro. Usando a parte real, encontra-se o valor de E, ou

Usando a parte imaginária e aplicando a função seno ao ângulo de -32,28°, encontra-se um valor negativo, significando que a reatância X deve ser uma reatância capacitiva. Então:

Efetuando-se o cálculo:

Portanto, o elemento X é um capacitor que deve apresentar uma reatância de 1,26 Ω.