Problema + Difícil 15-3    Fonte:    Problema 2 da P1 - 1º semestre - 2016 - Disciplina: Análise de Engenharia de Circuitos Elétricos - ULBRA - Prof. Dr. João Carlos Vernetti dos Santos.

No circuito da figura abaixo, quando a chave S está na posição 1 a corrente I = 1,2 A. Determine o valor da tensão V_ab quando a chave S está na posiçao 2.

Solução do Problema + Difícil 15-3   -    Método Thévenin

Quando a chave "S" está na posição 1 os pontos a e b estão interligados por um resistor de valor igual a 1 ohm e por onde circula uma corrente elétrica de 1,2 A. Esta informação possibilita calcular o equivalente Thévenin para o circuito que está realçado pela linha tracejada em azul.

Para tanto, elimina-se as fontes independentes e se calcula a resistência de Thévenin. Note que quando eliminamos as fontes de tensão E₁ e E₂ (são curto-circuitadas), os três resistores de 12 ohms ficam em paralelo entre si. Assim, obtemos um único resistor equivalente de valor igual a 4 ohms. Por outro lado, quando eliminamos as fontes de corrente I₁ e I₂, estas se comportam como circuito aberto e, portanto, podemos eliminá-las do circuito.

Na figura ao lado podemos ver como ficou o circuito simplificado que permitirá calcular a resistência de Thévenin. Assim, os dois resistores de 4 ohms que estão em série, poderão ser substituídos por um único resistor de valor igual a 8 ohms.

Este por sua vez, estará em paralelo com o resistor de 24 ohms. Como resultado do paralelo, obtemos um resistor equivalente de 6 ohms. E por fim, somando o valor desse resistor com o resistor de 2 ohms que está ligada ao ponto a encontramos o valor de R_th1. Vamos chamá-lo dessa forma, pois devemos calcular R_th2 referente ao circuito realçado pelas linhas tracejadas em verde. Logo:

De posse do valor de R_th1 e considerando a chave S na posição 1, podemos agora calcular o valor de V_th1. Para isso, acompanhe o circuito mostrado na figura abaixo.

Sabemos que ao inserirmos o resistor de 1 ohm no equivalente Thévenin circula uma corrente de 1,2 A pelo circuito. Portanto, aplicando a lei de Ohm ao circuito facilmente calculamos o valor de V_th1. O resultado é:

Vamos dar atenção ao outro circuito (à direita pos pontos a-b), e calcular seu equivalente Thévenin.

Inicialmente vamos desvendar o que quer dizer o gráfico correspondente ao circuito A. Pelo gráfico, percebemos que quando i = 0 a tensão V₁ é igual a 15 volts. Porém, sabemos que quando i = 0 isso representa um circuito aberto. Por outro lado, quando V₁ = 0 (isto é, um curto-circuito) então a corrente elétrica assume o valor de 3 ampère.

Repare no circuito mostrado na figura ao lado. Quando o circuito comporta-se como um circuito aberto, temos i = 0 e portanto V₁ = 15 V. No entanto, se aplicarmos um curto circuito na saída do mesmo (V₁ = 0 V), para que circule uma corrente i = 3 A devemos ter um resistor em série com a fonte de tensão de valor igual a R = 15/3 = 5 ohms.

Assim, o circuito apresentado acima satisfaz as condições exigidas pelo gráfico. Dessa forma, podemos redesenhar o circuito realçado com liha tracejada em verde e substituir a "caixa" que representa o circuito A mostrado em tracejado vermelho, conforme mostra a figura abaixo.

Na figura ao lado vemos o circuito redesenhado. Note que além de introduzirmos o circuito da "caixa A" fizemos uma explosão da fonte de tensão de 7,2 volts (lado direito do circuito).

Agora é fácil perceber que podemos transformar todo o circuito que está realçado pela linha tracejada verde em uma única fonte de tensão em série com um resistor. Acompanhe na figura abaixo as tranformações feitas no circuito.

Perceba que o circuito mostrado à direita, na figura acima, é exatamente o equivalente Thévenin do circuito que estamos analisando. Observe que R_th2 = 4 Ω e V_th2 = 12,27 V. Poderíamos ter empregado outro método para encontrar o resultado. Porém, note que fazendo transformações de fonte rapidamente chegamos ao resultado final.

Como temos os dois equivalentes Thévenin só resta interligá-los e calcular o valor de V_ab. Veja na figura abaixo como ficou o circuito final.

Note como o circuito da figura ao lado tornou fácil determinar o valor de V_ab, pois basta aplicar a lei de Ohm para o circuito. Repare que este caso é quando a chave S encontra-se na posição 2. Portanto, podemos calcular a corrente I.

De posse do valor da corrente que circula pelo circuito podemos calcular a tensão V_ab, ou:

Para esse cálculo usamos o circuito à esquerda dos pontos ab. Chegaríamos ao mesmo resultado usando o circuito à direita dos pontos ab.