Problema + Difícil 15-2    Fonte:    Problema 38 - Lista de Problemas de Circuitos Elétricos I da Escola de Engenharia - UFRGS - 2011 - Prof. Dr. Valner Brusamarello.

No circuito da figura abaixo quando a chave "S" está na posição 1, E₁ = - 5 V e E₂ = 5 V. Nessa condição o voltímetro indica 0 volts. Determine o valor da constante K, bem como o valor indicado pelo voltímetro quando a chave S está na posiçao 2 e E₁ = E₂ = 5 V.

Solução do Problema + Difícil 15-2   -    Método Thévenin

Chave na Posição 1

Para começar a análise do circuito, considera-se que a chave S se encontra na posição 1. Dessa forma, inclui-se no circuito a fonte de tensão de 8 volts em série com o resistor de 2 ohms que, por sua vez, está em paralelo com o voltímetro. Nunca esqueça que um voltímetro ideal possui uma resistência infinita, não circulando por ele nenhuma corrente elétrica.

Olhando-se atentamente para o circuito há condições de se realizar várias simplificações. Uma delas é somar os dois resistores em série que se encontram ao lado da fonte de corrente K resultando em um resistor equivalente de valor igual a 6 ohms. Por sua vez, esse resistor fica em paralelo com o outro resistor de 3 ohms que também está em paralelo com a fonte de corrente K. Calculando esse paralelo ( de 3 e 6 ohms) resulta em um único resistor equivalente de valor igual a 2 ohms. Outra possível simplificação é calcular o paralelo dos resistores de 3 e 6 ohms (na parte de baixo do circuito), onde resultará em mais um resistor equivalente de valor igual a 2 ohms. Por último, também se pode calcular o paralelo dos dois resistores de 20 ohms resultando um de 10 ohms. Na figura abaixo, pode-se apreciar o circuito com todas as simplificações mencionadas acima.

Nesta nova configuração ainda podemos realizar mais duas transformações: uma é somar os dois resistores de 10 ohms que estão em série resultando em um único resistor equivalente de 20 ohms; outra é fazer a transformação da fonte de corrente K que está em paralelo com o resistor de 2 ohms, em uma fonte de tensão em série com esse resistor. Dessa forma, pode-se somar os dois resistores de 2 ohms e, como resultado, obtém-se um único resistor equivalente de valor igual a 4 ohms. E por último, soma-se as duas fontes de tensão que agora ficaram em série originando uma única fonte de tensão de valor 3 K . Veja na figura abaixo como ficou o circuito com essas tranformações realizadas.

Veja no circuito que indicamos as correntes em alguns pontos do circuito. Isto baseado na informação dada no enunciado do problema que informa que quando a chave S está na posição 1, o voltímetro indica zero volts. Portanto, na fonte de 8 volts deve circular uma corrente de 4 A no sentido indicado no circuito. Isto se deve ao fato que precisamos ter uma queda de tensão de 8 volts com polaridade contrária à da fonte no resistor de 2 ohms que se encontra em série com a mesma. O mesmo raciocínio pode ser aplicado para a fonte de tensão de 5 volts em série com o resistor de 5 ohms. Nesse caso, temos uma corrente de 1 A. Logo, sobra 3 A para circular pela outra fonte de tensão de 5 volts, que se encontra na parte superior do circuito. Porém, note que podemos realizar mais uma transformação com o resistor (de 4 ohms) que está em série com a fonte de tensão 3 K. Assim, a fonte de corrente resultante (= 3K/4) pode ser transformada, novamente, em uma fonte de tensão em série com o resistor (10/3) que resultou do paralelo entre os resistores de 4 e 20 ohms. Apresentamos, na figura abaixo, o circuito com todas essas transformações.

Agora, com esse circuito e os valores encontrados podemos calcular o valor de K. Repare que entre o ponto X e o terra temos uma tensão de zero volts e circula uma corrente de 3 A pelo ramo da direita conforme indicado pela seta verde. Então, fazendo a equação de malha (para tensão) nesse ramo, partindo do ponto X no sentido da seta verde, encontramos:

Resolvendo essa equação, encontra-se o valor de K:

Chave na Posição 2

De posse dessas informações, podemos retirar do circuito a fonte de 8 volts em série com o resistor de 2 ohms, pois os mesmos não constam no circuito quando passamos a chave S para a posição 2. Então, pode-se calcular o equivalente de Thévenin do circuito à direita do voltímetro. Para tal, precisamos só calcular a resistência de Thévenin e a tensão de Thévenin. Vamos nos referenciar ao circuito que aparece na figura abaixo.

Para calcularmos a resistência de Thévenin basta cuto-circuitarmos as fontes de tensão. Fazendo isso, ficamos com dois resistores em paralelo (o de 5 e o de 10/3 ohms). Portanto o valor é:

Agora, vamos encontrar o valor de I fazendo a equação da malha para tensão (Kirchhoff) no sentido indicado pela seta vermelha partindo do ponto de terra na figura acima.

Resolvendo esta equação, encontra-se o valor de I, ou:

De posse desses valores, pode-se calcular o valor de V_th escrevendo a equação de tensão só para a fonte de 5 volts e o resistor de 5 ohms que estão em série. Assim:

Resolvendo a equação encontra-se o valor de V_th, ou:

Bem, agora já temos o equivalente Thévenin. Substituindo no circuito original, ficamos com o circuito mostrado na figura abaixo, onde o equivalente Thévenin está realçado pelo retângulo tracejado em azul. Observe que para calcularmos o valor medido pelo voltímetro, devemos calcular o valor da corrente elétrica i.

Calculando a tensão no ponto a podemos calcular a corrente que circula pelo resistor de 1 ohm que interliga o ponto a ao terra.

Portanto, a tensão é - V_a = 4 + 4. i. Ou seja, a tensão é negativa em relação ao terra. Nesse caso a corrente flui do terra para o ponto a como está indicado na figura abaixo. O valor da corrente é o mesmo de V_a pois dividimos por 1, que é o valor do resistor.

Vamos calcular a corrente que flui pelo outro resistor de 1 ohm que interliga o ponto a ao pólo negativo da fonte de tensão de 4 volts. Para isso basta fazermos a equação do nó a, ou seja:

Portanto, fazendo a malha no sentido indicado pela seta marrom que inclui os dois resistores de 1 ohm e a fonte de tensão de 4 volts, facilmente calculamos o valor de i.

Resolvendo esta equação podemos encontrar o valor de i, ou:

Então para encontrar o valor medido pelo voltímetro, vamos fazer a malha no sentido indicado pela seta vermelha na figura acima. Em outras palavras: vamos calcular a tensão de saída do equivalente de Thévenin ( indicado pelo retângulo tracejado em azul) quando circula por ele uma corrente igual a 1/3 A. Daí, conclui-se que a tensão medida é: