3. - Resolução de Circuitos pelo Método do Circuito Básicoclique aqui!
4. - Superposição com Fontes Dependentesclique aqui!
Embora a lei de Kirchhoff seja uma ferramenta muito útil, na prática ela se revela
um pouco incômoda, haja vista que quando temos um circuito elétrico com muitas malhas
pode resultar em um sistema matemático bastante complexo para encontrar sua solução. Nesse
caso, só com programas de computador ou calculadoras de uso específico.
Vamos apresentar mais uma ferramenta de resolução de circuitos elétricos de muita utilidade
prática para determinadas situações.
Esta ferramenta é o teorema da Superposição. Este teorema estipula que podemos
calcular, por exemplo, a corrente ou tensão em um determinado ponto do circuito elétrico, utilizando uma
fonte de tensão ou de corrente, por vez. Para tanto, devemos eliminar as demais fontes de tensão ou corrente,
ficando somente com uma fonte. Vamos relembrar que para eliminarmos uma fonte de tensão devemos
curto-circuitá-la. E para eliminar uma fonte de corrente devemos retirá-la do circuito, resultando
um circuito aberto.
Assim, no teorema da Superposição obtemos uma quantidade de equações de acordo com o número de fontes no circuito.
Também devemos definir em qual variável estamos interessados.
Para compreendermos como funciona este método, vamos analisar um circuito simples mostrado na
Figura 14-01.
Figura 14-01
O circuito possui duas fontes de tensão, V1 e V2. Queremos calcular
a corrente I que circula pelo resistor R2. Então, pelo
teorema da Superposição a corrente I será dada por:
eq. 14-01
É claro que esta equação, com duas parcelas, é para o caso particular apresentado aqui como exemplo, pois
temos somente duas fontes de tensão.. Caso existissem mais
fontes, teríamos um número de parcelas igual ao número de fontes existentes no circuito.
Portanto, para calcularmos I devemos antes calcular K1 e K2.
Para calcular K1, vamos curto-circuitar V2, assim, estaremos calculando
a fração de I que corresponde a fonte de tensão V1. Chamaremos esta fração
de I1. Posteriormente, curto-circuitamos V1 e calculamos a fração
de I que corresponde a fonte de tensão V2. Esta fração, por sua vez,
chamaremos de I2. Logo, para obtermos o valor final da corrente I, basta
somarmos algebricamente I1 com I2, ou:
I = I1 + I2
Cabe ressaltar, que neste caso, os valores de I1 e I2
são dados por:
I1 = K1 V1
I2 = K2 V2
Figura 14-02
Na Figura 14-02 apresentamos o circuito com a fonte de tensão V2
curto-circuitada. Para este circuito devemos desenvolver uma equação que relacione
a corrente I1 com a fonte de tensão V1. Em outras palavras,
devemos calcular K1.
Repare que com o curto-circuito, a resistência R2 ficou em paralelo com R3.
Para o cálculo de I1, devemos calcular qual a resistência equivalente do circuito.
Note que o paralelo de R2 e R3 está em série com R1, logo:
Req = (R1. R2 + R1. R3 + R2. R3) /
(R2 + R3)
Fique atento para o fato que ao dividirmos V1 por Req, estamos calculando
a corrente que circula pela fonte e pelo resistor R1, chegando ao nó b .
Portanto, para calcularmos I1, vamos aplicar um divisor de corrente ao nó b.
Usando a equação básica, já apresentada no capítulo 10 - lei de Ohm, e após alguns arranjos algébricos, chegamos a:
eq. 14-02
Perceba que K1, na equação acima, é essa equação, porém sem a presença de V1.
Para calcularmos K2, vamos proceder da mesma maneira.
Figura 14-03
Na Figura 14-03 apresentamos o circuito com a fonte de tensão V1
curto-circuitada. Para este circuito devemos desenvolver uma equação que relacione
a corrente I2 com a fonte de tensão V2. Em outras palavras,
devemos calcular K2. Repare que com o curto-circuito, agora o resistor
R2 ficou em paralelo com R1.
Neste caso, a resistência equivalente que o circuito oferece à fonte V2
é dada por:
Req = (R1 R2 + R1 R3 + R2 R3) /
(R2 + R1)
Da mesma forma como resolvemos para V1, vamos resolver para V2. Então, se
dividirmos o valor de V2 por Req, encontraremos o valor da
corrente fornecida pela fonte V2 e que chegará ao nó b. Esta corrente que chega ao
nó b, se bifurca entre R2 e R1. Aplicando um divisor de
corrente para este nó, facilmente calculamos a corrente I2 que passa por R2.
Veja abaixo, como ficou a equação após fazermos os arranjos algébricos.
eq. 14-03
Analisando as duas equações que determinam I1 e I2, percebemos
que os denominadores são iguais. Portanto, para encontrarmos I, que é a soma algébrica de
I1 e I2, basta somarmos os numeradores já que os denominadores são
os mesmos. Logo, vemos abaixo, a equação que determina o valor de I.
eq. 14-04
Atente para o fato que esta equação está mostrando que as duas parcelas do numerador representam
as parcelas de I1 e I2, respectivamente. Não devemos esquecer
que esta equação foi obtida com o circuito contendo duas fontes de tensão e ambas estão com os pólos
positivos voltados para cima.
O que acontece se uma, ou ambas as fontes não estiverem com os pólos positivos voltados para cima?
Bom, neste caso basta trocar a polaridade da parcela, no numerador da equação, correspondente a fonte
que está com a polaridade invertida. Assim, teremos quatro casos a considerar. Repare que em todos os casos
o denominador será sempre o mesmo. Para simplificar a equação, vamos chamar o denominador
de Rsp, ou seja, resistor soma-produto, conforme equação abaixo:
Rsp = R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
Análise Caso a Caso
1º Caso: - As polaridades positiva de V1 e V2
estão voltadas para cima. Então, utiliza-se a equação normal, como já foi deduzida anteriormente.
Veja a equação abaixo.
eq. 14-05
2º Caso: - A polaridade de V1 está invertida (o pólo positivo
está voltado para baixo), mas V2 não.
Neste caso, devemos colocar o sinal NEGATIVO na primeira parcela do numerador
( - V1. R3). Veja, abaixo, como ficou a equação.
eq. 14-06
3º Caso: - A polaridade de V2 está invertida (o pólo positivo
está voltado para baixo), mas V1 não.
Neste caso, devemos colocar o sinal NEGATIVO na segunda parcela do numerador
( - V2. R1). Veja, abaixo, como ficou a equação.
eq. 14-07
4º Caso: - Ambas fontes apresentam polaridades invertidas (os pólos positivos
estão voltados para baixo). Neste caso, devemos colocar o sinal NEGATIVO na frente de
toda a equação, pois certamente o valor de I será NEGATIVO.
Veja, abaixo, como ficou a equação.
3. Resolução de Circuitos pelo Método doCircuito Básico
A pergunta mais pertinente, neste momento, é: por que estudar este circuito, em particular, com bastante detalhes?
A resposta é simples: quem souber resolver este circuito, está apto a resolver 80% dos problemas que aparecem
nos livros didáticos sobre circuitos elétricos. Basta fazer transformação de fontes até chegarmos ao
circuito estudado acima. Precisamos "decorar" todas estas equações? Na verdade, não. Vamos apresentar uma
maneira bem prática de solucionar o circuito sem nos preocuparmos em "decorar" equações.
Regra Prática
Olhe para a Figura 14-04 onde está reproduzido o circuito. A primeira providência é realizar a multiplicação
dos resistores que compõem o circuito, dois a dois, e somar os resultados, encontrando
Rsp, ou:
Rsp = R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
Repare que basta olhar para o circuito e conseguiremos fazer essa operação "de cabeça",
como se diz na gíria.
Figura 14-04
Agora que temos o valor de Rsp, que é o denominador da equação,
vamos calcular o numerador. Veja na Figura 14-05 que é suficiente fazer a multiplicação
cruzada de V1 com R3 e de
V2 com R1, como está indicado
pelas setas azul e vermelha, respectivamente. Estes dois valores calculados serão positivos,
pois a polaridade das duas fontes de tensão estão voltadas para cima. Caso contrário, reporte-se ao item
Análise Caso a Caso, acima. Então, somando estes valores obtemos o numerador da equação.
Agora basta dividir o numerador pelo denominador e teremos o valor de I que circula
pela resistência R2. Com o valor de I podemos calcular
Vb = R2 I. E, naturalmente, com o valor de Vb,
facilmente calculamos os valores das correntes que circulam pelos resistores
R1 e R3, aplicando a lei de Ohm. Simples assim.
Nesse problema-exemplo temos, inicialmente, a solução "tradicional" e no final apresentamos a solução pelo Método do Circuito Básico,
onde fica evidente a simplicidade do método.
Quando utilizamos o método da Superposição em um circuito que contenha uma ou mais
fontes dependentes, temos que levar em consideração que não podemos eliminar a(s) fonte(s) dependente(s) do circuito.
Para exemplificar como usamos este método quando o circuito contém fontes dependentes,
vamos nos referir ao exemplo que aparece na página 127 do livro Fundamentos de Circuitos Elétricos - Charles K. Alexander ,
Mathew N. O. Sadiku - 5ª Edição - Ed. McGraw Hill - 2013. Transcrevemos na Figura 14-06 o circuito.
Vamos calcular qual o valor de ix no circuito.
Figura 14-06
Neste circuito, temos duas fontes independentes e uma fonte dependente. Repare que a fonte
dependente está atrelada ao valor de ix, que é a corrente elétrica que
circula pela resistência de 2 ohms. Para aplicarmos o teorema da Superposição
devemos eliminar uma das fontes independente.
Figura 14-07
Na Figura 14-07 vemos o circuito no qual eliminamos a fonte de corrente de 3 A.
Com isto, temos um circuito aberto no lugar da mesma. Deste modo, podemos facilmente calcular
qual a parcela de ix referente a fonte de tensão de 10 volts.
Esta parcela chamaremos de ixa.
Como temos uma única malha, basta aplicarmos a lei de Ohm e encontraremos o
valor de ixa.
- 10 + 3 ia + 2 ixa = 0
Efetuando o cálculo encontramos o valor de ixa.
ixa = 2 A
Figura 14-08
Agora vamos calcular a parcela de ix referente à fonte de
corrente de 3 A. Para tanto, vamos eliminar a fonte de tensão,
substituindo a mesma por um curto-circuito, como aparece na Figura 14-08.
Esta parcela denominaremos de ixb. Repare que pelo resistor de
1 ohm passará uma corrente de 3 + ixb
Portanto, fazendo a malha pelo curto-circuito, pelos resistores de
1 e 2 ohms e pela fonte dependente, temos:
2 ixb + 1 (3+ ixb ) + 2 ixb = 0
Efetuando o cálculo , encontramos o valor de ixb, ou:
ixb = - 0,6 A
Agora devemos somar algebricamente os valores de ixa e
ixb e encontraremos o valor de ix, ou:
ix = ixa + ixb = 2 - 0,6 = 1,4 A
Para a solução do problema é importante dar diferentes nomes às
variáveis envolvidas em cada modificação que é efetuada no circuito ,
pois assim estamos deixando claro que cada cálculo é devido a uma
situação diferente da anterior.
