Problema 55-16
Fonte: Problema 21 - Lista de Problemas RLC - Disciplina
Circuitos Elétricos da Escola de Engenharia - UFRGS - 2011 - Prof. Dr. Valner Brusamarello.
No circuito mostrado na Figura 55-16.1, sabe-se que |I1| = |I2|. Além disso,
Vac está atrasada de 45° em relação à fonte de corrrente I. Determine os valores de R e X.
Figura 55-16.1
Solução do Problema 55-16
Dizer que Vac está atrasada de 45° em relação à I é o mesmo que dizer
I está adiantada de 45° em relação à Vac. Dessa forma, assume-se
Vac como a tensão referência, ou seja, Vac∠0°. Note, no circuito acima, que se denominou as correntes que circulam pelo capacitor e pela resistência, de IC e IR, respectivamente. Logo, sabemos que IC está adiantada de 90° em relação à Vac, enquanto VR não sofre defasagem. Por outro lado, do circuito, I1 = IC + IR. Também se pode calcular qual a impedância equivalente entre os pontos a-c, pois se conhece os valores dos componentes que estão em paralelo. Assim:
Zac = 1 (-j3) / (1 - j3) = 0,9 - j0,3
Baseado no valor de Zac, pode-se determinar a diferença de fase entre I1 e Vac, ou seja :
φ = tan-1 (-0,3 / 0,9) = -18,43°
Portanto, I1 está 18,43° adiantada em relação à Vac, pois Zac é um circuito capacitivo. Pelo enunciado do problema, sabe-se que |I1| = |I2|. Então, pode-se escrever que:
|Vab| = R |I1|
Pelo percurso a-c-b se pode escrever:
|Vab| = |(0,9 + j(XL - 0,3)| |I1|
Igualando essas equações e eliminando |I1|, obtém-se:
R = |(0,9 + j(XL - 0,3)|
Recorrendo às propriedades dos números complexos e efetuando o módulo do segundo membro da igualdade acima, encontra-se:
R2 = 0,92 + (XL - 0,3)2
eq. 55-16.1
Assim, encontra-se uma relação entre R e XL, a qual será usada mais tarde.
Figura 55-16.2
No gráfico apresentado na Figura 55-16.2, é mostrada a tensão Vac como referência.
Note que IR tem o mesmo módulo e fase de Vac, pois R= 1Ω.
Porém, IC está adiantada de 90° em relação à Vac. Fazendo a soma
fasorial de IR e IC, obtém-se I1 adiantada de 18,43°
em relação à Vac, já calculado anteriormente. Pelo enunciado do problema, sabe-se que
I está adiantada de 45° em relação à Vac. Desta forma é fácil calcular o
ângulo entre I e I1, ou seja, 45° - 18,43° = 26,57°, como mostrado no gráfico.
Por outro lado, sabe-se que |I1| = |I2|.
E do circuito, I = I1 + I2. Logo,
conclui-se que I2 tem que fazer um ângulo de 26,57° com I.
Portanto, pode-se calcular a diferença de fase entre I1 e I2 que é igual a 2 (26,57°) = 53,14°.
Pode-se utilizar a última conclusão para encontrar o valor de XL. Sabe-se que a impedância Zacb = Zac + j XL = 0,9 + j(XL - 0,3) e além disso, essa impedância é responsável pela diferença de fase de θI = 53,14° entre I1 e I2. Então:
θI = tan-1 [(XL - 0,3) / 0,9] = 53,14°
Como tan (53,14°) = 4/3:
(XL - 0,3) / 0,9 = 4 / 3
Efetuando-se o cálculo:
XL = 1,5 Ω
Usando a eq. 55-16.1 encontrada anteriormente, encontra-se o valor de R, ou:
