Problema 55-15
Fonte: Problema 26 - Lista de Problemas RLC - Disciplina
Circuitos Elétricos da Escola de Engenharia - UFRGS - 2011 - Prof. Dr. Valner Brusamarello.
No circuito mostrado na Figura 55-15.1, sabe-se que V1 = 60 V. Determine a leitura do voltímetro
V2, bem como o valor de Vab.
Figura 55-15.1
Solução do Problema 55-15
Chamando a impedância do ramo por onde circula I1, de Z1, e a
impedância do ramo por onde circula I2, de Z2, pode-se escrever:
Z1 = 8,66 + j5 = 10∠30°
Z2 = 20 - j20 = 20 √2∠-45°
Assumindo a tensão Vab como a tensão referência, ou seja, Vab∠0° e
baseado nessa informação, pode-se escrever:
|I1| = |Vab| / |Z1| = |Vab| / 10
Da mesma forma para |I2|:
|I2| = |Vab| / |Z2| = |Vab| / 20 √2
Podemos encontrar uma relação entre |I1| e |I2| se dividirmos
|I1| por |I2|, ou seja:
|I1| = 2 √2 |I2|
eq. 55-15.1
De posse dessas informações, pode-se encontrar os valores de |I1| e |I2|
usando um pequeno artifício. Repare no gráfico apresentado na Figura 55-15.2, onde se conhece o valor do ângulo
entre |VR1|
e |VC|, cujo valor é 15°. Então, pode-se encontrar os valores
dessas
tensões em função de uma corrente. Por exemplo, |I2|. Como
VR1 = R1 |I1| = 4,33 |I1| y |I1| =
2 √2 |I2|, então pode-se escrever:
|VR1| = 4,33 |I1| = 2 √2 4,33 |I2| = 12,247 |I2|
Da mesma forma para |VC|:
|VC| = 20 |I2|
Figura 55-15.2
Pelo enunciado do problema, sabe-se que |V1| = 60 volts.
Ora, olhando para o gráfico acima, nota-se que |VC|, |VR1| e
|V1| formam um triângulo. E mais, um dos ângulos e seu lado oposto são conhecidos.
Portanto, pode-se usar a lei dos cossenos e determinar o valor de |I2|,
pois já foram deduzidas as equações que relacionam |VC| e |VR1|
com |I2|. Logo:
Após um arranjo algébrico e efetuando-se o cálculo, obtém-se:
|I2| = √(3600 / 76,812) = 6,846 A
Facilmente se encontra o valor de |I1| usando a eq. 55-15.1
encontrada acima, ou:
|I1| = 2 √2 6,846 = 19,36 A
Cabe ressaltar que se pode determinar a fase de I1 e I2,
lembrando que Vab foi usada como referência. Logo:
I1 = 19,36∠-30° A
I2 = 6,846∠45° A
Esses valores estão em conformidade com a construção do gráfico acima. Agora é possível calcular os valores de VC e VR3.
VC = -j20 I2 = 20∠-90° x 6,846∠45° = 136,92∠-45° V
VR3 = R3 I2 = 20∠0° x 6,846∠45° = 136,92∠45° V
Realizando a soma fasorial de VC e VR3, obtém-se o valor de Vab. Assim:
Vab = 136,92∠-45° + 136,92∠45° = 193,65∠0° V
Resultado este em conformidade com a proposta de Vab ser uma tensão de referência. Para se encontrar o valor de V2, deve-se avaliar o gráfico mostrado na figura acima. Note que o ponto 5 é exatamente o ponto médio de Vab. E o ponto 4 é o ponto médio da tensão entre os pontos 5-a. Logo, conclui-se que a tensão V4-5 é a quarta parte da tensão Vab. Ou seja:
V4-5 = Vab / 4 = 48,41 V
Por outro lado, pode-se encontrar o valor de |VL|, ou seja:
|VL| = 5 |I1| = 96,82 V
Como |VR1| = |VR2| e ambas tensões possuem o mesmo ângulo em relação à Vab, percebe-se que o ponto 5 é o ponto médio de VL. Então, pode-se escrever a tensão entre os pontos 2 - 5 como:
V2-5 = VL / 2 = 48,41 V
Conclui-se que |V2-5| = |V4-5|. Essas tensões fazem um ângulo entre si de 60°,
como está indicado no gráfico. Considerando isso e com algum conhecimento básico de geometria, é óbvio que temos um triângulo
equilátero formado pelas tensões |V2-5|,
|V4-5| e |V2|. Portanto, não há necessidade de cálculos para se concluir que:
V2 = 48,41 V
Há uma pequena discrepância de valores de V2 entre a lista e a
encontrada aqui. Talvez na lista a resposta tenha sido encontrada gráficamente,
enquanto o resultado aqui foi encontrado de forma analítico. Portanto,
pode-se desconsiderar essa pequena discrepância.
