Problemas Resolvidos sobre Circuito RLC em AC Teoria

Problema 55-12 Fonte: Problema elaborado pelo autor do site.

No circuito mostrado na Figura 55-12.1, calcule o valor de Z para satisfazer as condições impostas pelos dados do problema.

Dados: V = 10 cos (100t + 15°) e i = 0,1 sen (100t + 47,6°).

Solução Problema 55-12

Como o valor de V foi dado como uma função cosseno e a corrente como uma função seno, deve-se compatibilizar as funções. Transformando a tensão V, escrevendo-a como uma função seno, obtém-se:

V = 10 sen (100t - 75°) V

Pela equação acima, percebe-se que o valor de ω (termo que acompanha a variável t) vale:

ω = 100 rad/s

Assim, pode-se calcular os valores das reatâncias indutivas e capacitiva, ou seja:

jX_L1 = jω L₁ = j 100 x 0,01 = j Ω

jX_L2 = jω L₂ = j 100 x 0,22 = j22 Ω

-jX_C = -j / ω C = -j / (100 x 0,05 ) = -j0,2 Ω

Definindo duas impedâncias entre os pontos a-b: Z_S como a impedância do ramo superior e Z_I como a impedância do ramo inferior. Logo:

Z_S = jX_L1 + j X_C = j1 - j0,2 = j0,8 = 0,8 ∠+90° Ω

Z_I = R + j X_L2 = 100 + j 22 = 102,4 ∠12,4° Ω

A impedância deste circuito paralelo será:

Z_P = Z_S Z_I / Z_S + Z_I = 81,92∠102,4° / 102,57∠12,84°

Logo, efetuando-se o cálculo:

Z_P = 0,8 ∠89,56° ≈ j 0,8 Ω

Para se encontrar a solução do problema, deve-se calcular a impedância total que o circuito oferece à fonte de tensão. Para tal, deve-se calcular a tensão V_ab e posteriormente a corrente i₂. Logo:

V_ab = Z_I i = 102,4∠12,4° x 0,1∠47,6°

Efetuando-se o cálculo:

V_ab = 10,24∠60° V

De posse do valor de V_ab, facilmente se calcula o valor de i₂:

i₂ = V_ab / Z_S = 10,24∠60°/ 0,8∠90° = 12,8∠-30°

Sabe-se que I = i + i₂:

I = 0,1∠47,6° + 12∠-30° = 12,022∠-29,54° A

Calculando o valor da impedância total, Z_T:

Z_T = V / I = 10∠-75° / 12,022∠-29,54°

Efetuando-se o cálculo:

Z_T = 0,83∠-45,46° = 0,582 - j 0,592 Ω

Por outro lado, sabe-se que a impedância total Z_T é igual a soma das impedâncias do circuito, ou seja: