Problema 52-10    Fonte:  Problema 3 da prova de Circitos Elétricos II - UFRGS - 1975.

No circuito da Figura 52-10.1 temos que:

1 - carga Z₁   ⇒   40 √2 kVA com FP = 0,707 adiantado.

2 - carga Z₂ = R₂ + j X₂.

A leitura dos instrunentos é:

V₁ = 1.000 √2   V,   V₂ = 125   V   e  W = 100   kW.

Sabe-se que o circuito global é predominantemente indutivo. Determine:

a)   os valores de I₁ e I₂

b)   os valores de R₂ e X₂

Solução do Problema 52-10   

Item a   

Analisando a carga Z₁ podemos encontrar a potência ativa e a reativa da carga. Logo:

Note o sinal negativo de Q₁, pois pelo enunciado o fator de potência é adiantado. Então a carga Z₁ pode ser escrita como Z₁ = R₁ - j X₁. Além disso, as potências real e reativa são iguais, significando que R₁ = X₁.

Por outro lado, sabendo o valor de V₂ podemos encontrar o valor do módulo de I_T. Vamos escrever a impedância que está em paralelo com V₂ na forma polar. Então 1 - j 0,75 = 1,25 ∠- 36,86°. Logo o valor do módulo de I_T   é:

Conhecendo o módulo de I_T é possível encontrar a potência aparente que o circuito consome, pois sabemos o valor da leitura de V₁. Logo:

De posse do valor da potência aparente do circuito e sabendo que a potência ativa foi dada e é igual a 100.000 W, podemos calcular o fator de potência do circuito, ou seja:

E com esse valor é possível calcular o ângulo de defasagem entre a tensão aplicada e a corrente que circula pelo circuito. Então:

Vamos considerar a tensão medida V₁ como referência. Então, temos:

O enunciado do problema afirma que há uma predominância global indutiva. Logo, a corrente está atrasada de 45° em relação à tensão aplicada ao circuito. Com isso podemos escrever:

Após determinarmos as principais variáveis envolvidas na solução, podemos redesenhar o circuito conforme pode ser visto na Figura 52-10.2.

Note que entre os pontos 1 - 2 aparece a impedância 2 + j 4, que é a soma dos componentes que aparecem na Figura 52-10.1.

Agora queremos determinar os valores de Z₁ e Z₂. Para isso devemos conhecer o valor de V_2b. Assim, antes vamos determinar o valor de V₁₂. Logo:

Nesta equação usamos o fato que 2 + j 4 = 4,47 ∠ 63,43°. Efetuando o cálculo, encontramos:

Desta forma, o valor de V_2b é dada pela diferença entre V₁ e V₁₂, ou:

Efetuando o cálculo, encontramos:

Neste ponto da solução do problema devemos prestar muita atenção na carga 1. Como concluímos no início da solução, temos R₁ = X₁. Então a queda de tensão em R₁ e X₁ será igual a V_R1 = V_X1 = 707 V. Como sabemos a potência em ambos elementos e são iguais em valores absolutos, obtemos:

Efetuando o cálculo, encontramos:

Agora podemos escrever Z₁ = 12,5 - j12,5 = 17,68 ∠- 45°. Então, aplicando a lei de Ohm podemos determinar o valor de I₁, ou seja:

Efetuando o cálculo, encontramos:

E para calcularmos a corrente I₂ basta calcular a diferença entre I_T e I₁, pois sabemos pela lei de Kirchhoff   para correntes que I_T = I₁ + I₂. Então:

Efetuando o cálculo, encontramos:

Item b   

Para encontrarmos os valores de R₂ e X₂, devemos considerar que, baseado no circuito mostrado na Figura 52.10.2, a potência dissipada por R = 2 Ω vale 2 x 100² = 20 kW. E a potência dissipada por R₁ da carga 1, já calculada, vale 40 kW. Portanto, obrigatoriamente R₂ deve dissipar uma potência de 40 kW, haja vista que o medidor de potência mediu uma potência total de 100 kW. Conhecendo a potência que o resistor dissipa e a corrente que circula por ele, facilmente determinamos seu valor, ou:

Efetuando o cálculo, encontramos:

Para calcular o valor de X₂, levamos em consideração que o indutor j 4 tem uma potência reativa de 4 x 100² = 40 kVAR. Assim, a potência reativa deste indutor é anulada pela potência reativa do capacitor da carga 1 que vale Q₁ = - 40 kVAR, valor este já calculado no início da solução do problema. Portanto, como o problema afirma que há uma predominância indutiva no circuito, então concluímos que X₂ é um indutor e possui uma potência reativa igual a 100 kVAR. Este valor é o resultado da potência aparente do circuito, já calculada, multiplicada pelo ângulo de atraso da corrente total em relação à tensão aplicada ao circuito. E sabemos que esse ângulo vale 45°. Logo, de forma similar ao cálculo de R₂, temos:

Efetuando o cálculo, encontramos: