Problema 13-4 Fonte:
Questão 1 da 1ª Prova 2012 - 1 - Escola de Engenharia - UFRGS.
Para o circuito mostrado na Figura 13-04.1, calcule pelas leis de Kirchhoff a tensão Vo, a corrente ig e faça
um balanço de potência do circuito.
Figura 13-04.1
Solução do Problema 13-4 -
Método Kirchhoff
Como o problema pede para fazer um balanço de potência devemos calcular
todas as correntes do circuito. Vamos colocar todas as correntes em função de io.
Ao calcularmos o valor de io estaremos aptos a calcular as demais
correntes. Inicialmente podemos escrever para os nós a , b e c, as seguintes equações:
nó a ⇒ ig = i1 - io
nó b ⇒ i3 = i1 + i2
nó c ⇒ i2 = 0,75 - i4 - io
Começando pela fonte de tensão de 50 volts, passando por
io e i4, no sentido horário, pode-se escrever:
- 50 - 800 io + 200 i4 = 0
Da equação acima, pode-se equacionar o valor de i4 em função de io, ou seja:
i4 = 4 io + 0,25
Substituindo este valor na equação do nó c, obtemos:
i2 = 0,5 - 5 io
Portanto, já temos duas variáveis em função de io. Agora, fazendo a malha superior do circuito (aquela que não possui fontes), pode-se escrever:
- 800 io + 40 i2 - 80 i1 = 0
Como conhecemos a relação entre i2 e io, substituindo
na equação acima, encontra-se a relação entre i1 e io. Assim:
i1 = 0,25 - 12,5 io
Mas, repare que conhecemos a equação do nó a, que relaciona o valor de i1 e
ig. Então, fazendo a substituição na equação acima, obtemos:
ig = 0,25 - 13,5 io
Porém, temos também a equação do nó b, que relaciona as correntes i1 ,
i2 e i3. Então, fazendo as devidas substituições, obtem-se:
i3 = 0,75 - 17,5 io
Neste momento conhecemos todas as correntes do circuito em função de io. Então,
fazendo a malha próxima da fonte de tensão, obtemos:
80 i1 + 50 i3 = 50
Substituindo os valores encontrados de i1 e i3 na equação acima,
pode-se calcular o valor de io.
80 (0,25 - 12,5 io ) + 50 (0,75 - 17,5 io ) = 50
Portanto, realizando o cálculo, encontra-se o valor de io, ou:
i0 = 0,004 A = 4 mA
De posse desse valor, pode-se calcular o valor de Vo e
ig por mera substituição de valores. Então:
Vo = 800 i0 = 800 x 0,004 = 3,20 volts
ig = 0,25 - 13,5 x (0,004) = 0,196 A
Fazendo da mesma forma para as outras correntes, obtém-se:
i1 = 0,2 A
i2 = 0,48 A
i3 = 0,68 A
i4 = 0,266 A
Este problema poderia ser resolvido por um sistema de equações. Os resultados
deverão ser os mesmos encontrados aqui. Agora vamos fazer um balanço de potência
no circuito.
Balanço de Potência
Primeiramente, vamos calcular as
potências dissipadas em todos os resistores, ou:
P800 = 800 ( io )2 = 800 x 0,0042 = 0,0128 W
P80 = 80 ( i1 )2 = 80 x 0,22 = 3,2 W
P50 = 50 ( i3 )2 = 50 x 0,682 = 23,12 W
P40 = 40 ( i2 )2 = 40 x 0,482 = 9,216 W
P200 = 200 (i4)2 = 200 x 0,2662 = 14,1512 W
Agora, somando todas as potências dissipadas nos resistores encontra-se o
valor de:
P+ = 49,7 W
Veja que na fonte de tensão de 50 volts, a corrente sai pelo polo positivo,
ou seja, ela está fornecendo potência ao circuito. Portanto, seu valor é negativo.
P50 = - 50 ig = - 50 x 0,196 = - 9,80 W
Devemos calcular qual é a diferença de potencial na fonte de corrente. Sabe-se que é a mesma diferença
de potencial sobre o resistor de 200 ohms, ou:
Vfonte = 200 x 0,266 = 53,2 volts
Podemos perceber que a tensão sobre a fonte de corrente é positiva, e
isto significa que está fornecendo potência ao circuito. Logo, seu valor é negativo.
Pfonte = - 0.75. 53,2 = - 39,9 W
Agora, podemos somar algebricamente as potências fornecidas pelas fontes. Assim:
P- = - 9,8 - 39,9 = - 49,7 W
Por fim, sabemos que a soma algébrica das potências fornecidas e dissipadas
em um circuito deve ser igual a ZERO, ou seja:
∑ P = P+ + P- = 49,7 - 49,7 = 0 W
Perceba que o balanço de Potência satisfaz o
Princípio da Conservação da Energia.
