Para entendermos a Lei de Kirchhoff devemos antes estudar o que é a   Lei dos Nós   e  a   Lei das Malhas.

a) Lei dos Nós ou KCL

Seja a figura abaixo, onde chegam e saem correntes ao nó A. Seguiremos o padrão de correntes estabelecidos pela literatura técnica: terão valores POSITIVAS as correntes que saem do nó, e valores NEGATIVAS as correntes que entram no nó.

Vemos na Figura 13-01 que as correntes I₁ e I₄ chegam ao nó, portanto valores negativos. E as correntes I₂ e I₃ saem do nó, logo, valores positivos. Desta forma, podemos escrever a equação que define o comportamento das correntes para o nó A. Veja a equação abaixo.

Então, vamos enunciar a lei dos nós da seguinte maneira:

Na Figura 13-02 vemos um circuito com três fontes de corrente. Repare que as correntes das fontes de 14 e 32 A chegam ao nó e₁, enquanto que a corrente da fonte de 4 A sai do nó. Logo, somando algebricamente as correntes encontramos o valor de 42 A.

De posse desse dado, facilmente calculamos o valor de e₁. Basta fazer o paralelo das resistências de 3 e 6 ohms. Efetuando o cálculo encontramos o valor de 2 ohms. Portanto, aplicando a lei de Ohm ao circuito, temos e₁ = 2 x 42 = 84 volts.

b) Lei das Malhas ou KVL

A lei das Malhas trata das quedas de tensões entre os diversos componentes que formam um circuito fechado ou um laço. Assim:

Na Figura 13-03, vemos um circuito com quatro fontes de tensão, as quais formam um circuito série e um laço fechado com a resistor de 3 ohms. Repare que três fontes estão com a polaridade positiva apontando para o ponto a. Portanto, podemos somar o valor destas três fontes resultando em 40 volts. E a fonte de 10 volts aponta em sentido contrário. Neste caso, devemos subtraí-la do resultado anterior, encontrando um valor de 30 volts.

Como resultado final, encontramos uma fonte única de valor igual a 30 volts. Com este valor, aplicando a lei de Ohm ao circuito, encontramos a corrente elétrica que circula pelo mesmo, ou seja, I = 30 / 3 = 10 ampère. Desta forma, sobre o resistor temos uma queda de tensão V_ab = 30 volts. Note que esta tensão tem polaridade oposta à da fonte de tensão. Portanto, somando algebricamente os dois valores encontramos zero como resultado. Ou seja, totalmente de acordo com a lei das malhas.

Um super-nó fica caracterizado quando existe uma fonte de tensão interligando dois nós. Neste caso, como não sabemos como determinar a corrente que passa pela fonte de tensão, então aplicamos a lei dos nós para os dois nós como se fossem um só.

Na Figura 13-04 vemos um circuito com uma fonte de tensão interligando os nós a e b. Vamos analisar estes nós, fazendo as equações das correntes que chegam e saem de cada nó.

Inicialmente, vamos escrever a equação para o nó a.

E para o nó b podemos escrever:

Vemos claramente que temos duas equações relacionando i_ab com as outras correntes. Assim, igualando as mesmas, temos:

Agora, repare que se fizermos a equação do nó, considerando os nós a e b como se fosse um único nó, conseguiríamos a mesma equação anterior. Isso significa que quando temos uma fonte de tensão interligando dois nós, podemos considerá-los como um só. Isso é o que chamamos de SUPER NÓ.

Porém, não esqueça que a tensão entre eles são diferentes. No nosso caso, há uma diferença de potencial de 15 volts entre eles.

Uma super-malha fica caracterizada quando existe uma fonte de corrente interligando duas malhas. Assim, reduzimos de duas malhas para uma única, ignorando a fonte de corrente. Caso a fonte de corrente esteja na periferia do circuito, devemos ignorar a malha à qual a fonte de corrente pertença.

Veja na Figura 13-05 um circuito onde temos uma fonte de corrente na periferia do circuito. Repare que a corrente I₁ é o próprio valor da fonte de corrente. Então, podemos nos concentrar somente nas outras duas malhas, encontrando duas equações a duas incógnitas, sistema este de fácil solução.

Resolvendo o sistema encontramos I₁ = 2 A, I₂ = 0,68 A e I₃ = 3 A. Para tanto, utilizamos as equações abaixo:

Não esqueça que na primeira equação conhecemos o valor de I₁ = 2 A. Logo, podemos simplificar o sistema para duas equações a duas incógnitas, como foi dito acima.

Para construirmos as equações de um circuito utilizando as leis de Kirchhoff, tomemos como exemplo o circuito mostrado na Figura 13-06.

Perceba que este circuito possui três malhas. Isto nos leva a concluir que para solucionar este circuito devemos construir um sistema de três equações a três incógnitas. Para tanto, vamos começar pela malha que contém a corrente I₁. Vamos lembrar que devemos seguir a convenção estabelecida referente a polaridade das tensões. Neste caso vamos partir do ponto de terra.

Passando pela fonte de tensão de 20 volts (de baixo para cima) temos o sinal menos indicando a polaridade da fonte. Logo, para a fonte usaremos o valor de - 20. Seguindo a seta no sentido horário, encontramos o resistor de 5 ohms. Como a corrente I₁ entra pelo lado esquerdo do resistor, isto origina um sinal positivo relativo a queda de tensão sobre ela. O mesmo acontece com o resistor de 10 ohms. Então, devido somente a I₁, temos 5 I₁ + 10 I₁ = 15 I₁. Por outro lado, repare que a corrente I₂ circula sobre o resistor de 10 ohms em sentido contrário à I₁. Isto ocasionará uma queda de tensão com polaridade oposta. Logo, temos - 10 I₂. E por fim, usando a mesma linha de raciocínio em relação a I₃, temos - 5 I₃. De posse de todas essas informações, podemos escrever a equação referente somente à malha I₁. Observe o sinal positivo na parcela de I₁ e o sinal negativo nas parcelas referentes a I₂ e I₃.

Devemos proceder da mesma maneira para as correntes I₂ e I₃ a fim de encontrarmos as três equações que necessitamos para solucionar o problema.

Na malha referente a I₂ não temos fonte de tensão. Logo, a parcela referente a ela será zero. Partindo do terra, a corrente sobe pelo resistor de 10 ohms originando um sinal positivo da queda de tensão sobre esse resistor. O mesmo acontece com os outros dois resistores que compõem a malha de I₂. Dessa forma, temos a parcela 15. I₂. Por outro lado, repare que a corrente I₁ circula sobre o resistor de 10 ohms em sentido contrário à I₂. Isto ocasionará uma queda de tensão com polaridade oposta. Logo, esta parcela será - 10 I₁. E finalmente, para I₃ temos a mesma situação de I₁, ou seja, a corrente circula em sentido contrário originando a parcela - 4. I₃. Assim, a equação completa é:

Mais uma vez, observe o sinal positivo na parcela de I₂ e o sinal negativo nas parcelas referentes a I₁ e I₃.

Agora vamos escrever a equação para a última malha, ou seja, referente a I₃. Partindo do ponto a temos o resistor de 6 ohms. A queda de tensão sobre este resistor será de +6 I₃. O mesmo acontecerá para os outros dois resistores que estão na malha de I₃. Logo, a parcela será + 15. I₃. E como nos dois casos anteriores, teremos as parcelas -5 I₁ e -4. I₂. Não vamos esquecer de acrescentar a fonte de tensão de + 10 volts. Então, a equação será:

Rearranjando as equações obtemos o seguinte sistema de três equações a três incógnitas.

Resolvendo esse sistema em um software como o "Octave" encontramos os seguintes valores para as correntes do circuito.

Aqui tentamos mostrar como montar o sistema de equações a partir do circuito. Para circuitos com no máximo três malhas é possível resolver o sistema com os métodos tradicionais, tais como, regra de Cramer, por substituição de variáveis, etc ... Porém, para sistemas com mais de três malhas devemos usar um programa de computador que facilite encontrar a solução, pois tentar a solução de um sistema desses "à mão" é extremamente trabalhoso e demorado.