Problema 52-12
Fonte: Problema elaborado pelo autor do site.
No circuito da Figura 52-12.1 sabemos que:
1 - O amperímetro A mede uma corrente de 8 A.
2 - O voltímetro V mede uma tensão de 160 V.
3 - O wattímetro W mede uma potência real de 916,5 W.
4 - O fator de potência do circuito é 0,783.
Baseado nas informações acima, determine:
a) os valores de X2 e a potência no resistor R2.
b) os valores de R1 e X1
.
Figura 52-12.1
Solução do Problema 52-12
Item a
Vamos adotar a corrente medida pelo amperímetro como referência. Então podemos escrever:
I = 8 ∠ 0° A
Como foi fornecida a leitura
do wattímetro e o fator de potência, então é possível calcular a potência aparente e a potência
reativa que o circuito consome. Logo:
S = P / FP = 916,5 / 0,783 = 1.170 VA
Do FP é possível encontrar o ângulo de defasagem entre a tensão aplicada ao circuito e a corrente elétrica que
foi medida pelo amperímetro A. Logo φ = cos-1 0,783 = 38,46°. Daí, temos sen φ = 0,622. Então:
Q = S x sen φ = 1170 x 0,622 = 727,74 VAR
Escrevendo a potência aparente em sua forma complexa, temos:
S = 916,5 + j 727,74 VA = 1.170 ∠ 38,46° VA
Como conhecemos o valor da corrente I que circula pelo circuito, podemos calcular a tensão Vcb
de alimentação do circuito. Assim:
Vcb = S / I = (916,5 + j 727,74) / 8 = 114,56 + j 90,97 V
E na forma polar, temos:
Vcb = 114,56 + j 90,97 V = 146,3 ∠ 38,46° V
Observe que facilmente calculamos a potência dissipada no resistor R2, pois:
PR2 = R2 . I2 = 10 . 82 = 640 W
Por outro lado, podemos calcular a potência aparente consumida pelo circuito formado por R2 e X2, que vamos denominar de S2. Logo:
S2 = V . I = 160 . 8 = 1.280 VA
Note que no circuito formado por R2 e X2, o único elemento que possui potência reativa é o indutor representado por X2. Como conhecemos a potência aparente e a potência dissipada em R2, então é possível calcular essa potência reativa, pois:
Q2 = √ (S22 - P22) = √ (12802 - 6402 )
Efetuando o cálculo, encontramos:
Q2 = 1.108,5 VAR
E com esse valor podemos calcular o valor de X2, pois:
X2 = Q2 / I2 = 1.108,5 / 82 = 17,32 Ω
Agora podemos escrever o circuito formado por R2 e X2, que vamos denominar de Z2, em sua forma polar e retangular, ou seja:
Z2 = 10 + j 17,32 = 20 ∠ 60° Ω
Conhecendo o ângulo da impedância Z2, podemos determinar o ângulo do valor medido pelo voltímetro V, que vamos denominar de V1b, em sua forma polar e retangular, ou seja:
V = V1b = 80 + j 138,56 = 160 ∠ 60° V
Item b
Para encontrarmos os valores de R1 e X1 vamos calcular a tensão entre os pontos
c e 1, ou seja, calcular a tensão Vc1. Para isso, vamos usar o que aprendemos no
Capítulo 51 no item 3.2 (o leitor pode rever Aqui!).
Veja que é possível calcular o valor de Vc1 , pois conhecemos dois lados do triângulo e o ângulo entre eles.
Vamos usar a eq. 51-01 repetida abaixo para maior clareza.
eq. 51-01
Note que x é o valor de Vc1, a representa a tensão Vcb e b a
tensão V1b. Então, substituindo pelos valores numéricos temos:
Vc12 = 146,32 + 1602 - 2 x 146,3 x 160 cos (60° - 38,46°)
Efetuando o cálculo encontramos:
Vc1 = 58,8 ∠ -54° V
O ângulo de Vc1 foi encontrado usando a eq. 51-03. Deixamos esse cálculo para o leitor. Observe que o cálculo efetuado foi Vc1 = Vcb - V1b.
Conhecendo o valor de Vc1 é possível calcular o valor de I2, ou:
I2 = Vc1 / 20 ∠ -90° = 58,8 ∠ -54° / 20 ∠ -90° V
Efetuando o cálculo encontramos:
I2 = 2,94 ∠ 36° V
Usando a lei de Kirchhoff para correntes no circuito da Figura 52-11.1, temos I = I1 + I2. Então, I1 = I - I2. Assim:
I1 = I - I2 = 8 - 2,94 ∠ 36° = 5,88 ∠ -17,1° A
Anteriormente, calculamos a potência dissipada por R2. Portanto, a potência que o resistor R1
deve dissipar é igual a:
PR1 = P - PR2 = 916,5 - 640 = 276,5 W
Como conhecemos o valor de PR1 e I1 podemos calcular o valor de R1, ou:
R1 = PR1 / |I1|2 = 276,5 / 5,882 = 8 Ω
Para encontrarmos o valor de X1, vamos calcular a potência reativa deste elemento. Antes, devemos calcular a potência reativa do capacitor - j20, dado por:
