Problema + Difícil 47-2.    Fonte:   Questão da prova para Engenheiro Eletrônico - Petrobrás - 2012.

Transdutores resistivos são empregados em diversos sistemas de controle industriais. Uma forma de se medir a resistência elétrica de um transdutor resistivo R_S é ilustrado no circuito mostrado na figura abaixo, onde consideramos os amplificadores operacionais ideais. Determine o valor da resistência elétrica R_S do transdutor através de uma expressão matemática que seja uma função dos valores dos resistores que compõem o circuito e da tensão de saída V_o.

Solução do Problema 47-2

No circuito mostrado na figura acima, foi dado nomes aos nós e no circuito de entrada foi realizado o equivalente de Thévenin. Sabendo que a corrente de entrada do amplificador operacional ideal é nula e que as tensões de entrada do OP 1 são virtualmente iguais, podemos encontrar uma relação entre V_b e V_S. Usando o método de tensão nodal temos:

E daí, conseguimos a relação desejada, ou:

Vamos guardar essa relação pois vamos precisar dela mais tarde. Por outro lado, podemos encontrar uma relação entre V_a e V_x fazendo a malha de entrada do OP 1. Repare que a corrente que passa pelo resistor de realimentação (2 R₁) é a mesma corrente que passa por R₁ e a fonte de entrada. Logo, podemos escrever:

Podemos eliminar R₁ e após alguma manipulação algébrica, encontramos:

Observe que usamos a eq. 47-2a para chegarmos à eq. 47-2b. Como temos duas variáveis necessitamos de mais uma equação que relacione V_x e V_S para resolvermos o sistema. Pelo circuito facilmente vemos que i_x = i_b + i_S. Dessa maneira, podemos relacionar as duas variáveis de interesse da seguinte forma:

Onde i_b = V_S / 2 R₁ e i_S = V_S / R_S. E após alguma manipulação algébrica chegamos ao resultado parcial desejado, ou:

Observe que agora temos a eq. 47-2b e a eq. 47-2c relacionando as duas variáveis de interesse. Então, igualando as duas equações chegamos a:

E mais uma vez fazendo um trabalho algébrico adequado encontramos a relação:

Repare que até agora só trabalhamos com o OP 1. Neste momento, como necessitamos relacionar R_S em função de V_o e demais componentes, vamos direcionar nossa atenção ao OP 2. Observe que o mesmo está na configuração não-inversora. Portanto, vale a seguinte relação entre V_o e V_S:

E como necessitamos do valor de V_S podemos transformar a equação acima em:

Substituindo este valor na eq. 47-2d vamos obter a relação solicitada pelo enunciado do problema.