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A tensão induzida nas barras do rotor de um motor de indução depende da velocidade do rotor em relação aos campos magnéticos. Assim, dois termos são comumente utilizados para definir o movimento relativo do rotor e dos campos magnéticos. Um deles é a velocidade de escorregamento, n_esc, definida como a diferença entre a velocidade síncrona, n_sync e a velocidade do rotor, n_r, ou:

O outro termo usado para descrever o movimento relativo é o escorregamento, normalmente representado por s, que é a velocidade relativa expressa em uma base por unidade ou porcentagem. Isto é, o escorregamento é definido como

Observe que da eq. 107-03 podemos isolar n_r em função do escorregamento e da velocidade síncrona, obtendo:

Cabe salientar que podemos obter os mesmos resultados quando substituímos nas equações acima a letra n pela letra grega ω, onde ω corresponde à velocidade angular dada em rad/s.

Observe que, se o rotor estiver girando na velocidade síncrona, então s = 0, ao passo que, se o rotor estiver estacionário, então s = 1. Logo, as velocidades normais de um motor estão entre esses dois limites.

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Em um motor de indução, quando a tensão é aplicada aos enrolamentos de estator, uma tensão é induzida nos enrolamentos do rotor da máquina. Em geral, quanto maior o movimento relativo entre os campos magnéticos do rotor e do estator, maiores serão a tensão e a frequência do rotor. O movimento relativo máximo ocorre quando o rotor está parado. Essa condição é denominada rotor bloqueado ou travado, de modo que a maior tensão e a maior frequência do rotor são induzidas com o rotor nessa condição. A menor tensão (0 V) e a menor frequência (0 Hz) ocorrem quando o rotor está se movendo com a mesma velocidade que o campo magnético do estator, resultando um movimento relativo nulo. O valor e a frequência da tensão induzida no rotor para qualquer velocidade entre esses extremos é diretamente proporcional ao escorregamento do rotor. Denominando a tensão induzida no rotor, quando este encontra-se bloqueado, por E_A0, podemos determinar a tensão induzida no rotor para qualquer escorregamento, dada pela eq. 107-06.

Seguindo a mesma linha de raciocínio, podemos dizer que a frequência da tensão induzida no rotor para qualquer escorregamento será dada pela eq. 107-07.

Evidentemente o rotor posui um determinado valor de resistência e de reatância. Chamando a resistência do rotor de R_R, podemos considerar que ela apresenta um valor constante e é independente do escorregamento. Por sua vez, a reatância do rotor depende de forma mais complexa do escorregamento.

Considerando a indutância do rotor, representada por L_R, sabemos que a reatância depende dessa indutância e da frequência do rotor. Então, podemos escrever a eq. 107-08, onde representamos a reatância do rotor como X_R.

Considerando a eq. 107-07, temos:

Sabemos que quando o rotor está bloqueado temos s = 1. Assim, podemos definir a reatância do rotor bloqueado por X_R0 e dada pela eq. 107-10.

Portanto, juntando a eq. 107-09 e a eq. 107-10, vamos obter a eq. 107-11 que explicita o valor de X_R em função de X_R0 e s, ou seja:

Após a apresentação dessas definições podemos apresentar o modelo elétrico do circuito do rotor conforme mostra a Figura 107-04.

Baseado no modelo elétrico podemos determinar a corrente I_R que circula no rotor. Então:

Sabendo que E_R = s E_R0, podemos fazer um arranjo algébrico na eq. 107-12 e escrever:

Cabe salientar que as duas equações acima parecem ser a mesma mas não são. Enquanto a primeira (eq. 107-12) está referida à frequência da tensão induzida no rotor (f_r), a segunda está referida à frequência do estator (f_s). Ou seja, a eq. 107-13 mostra o que ocorre no rotor quando é "visto" do lado do estator.

E a partir dessa equação podemos refazer o modelo elétrico do rotor conforme mostra a Figura 107-05.

Observe que quando o escorregamento é muito baixo, isto é, o rotor gira próximo à velocidade síncrona, o termo resistivo é muito maior que a reatância do rotor, havendo uma predominância da resistência do rotor, e com isso, a corrente varia linearmente com o escorregamento. E quando o escorregamento é elevado, isto é, a máquina gira lentamente (ou está parada), X_R0 é muito maior do que R_R / s e a corrente do rotor aproxima-se de um valor de regime permanente nesta situação.

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Para obter o circuito equivalente final por fase de um motor de indução é necessário que a parte do rotor no modelo seja referida ao lado do estator. O modelo do circuito do rotor que será referido para o lado do estator é o modelo mostrado na Figura 107-05, que tem todos os efeitos de variação de velocidade concentrados no termo de impedância.

Quando estudamos transformadores no Capítulo 91, vimos que era possível referir tensões, correntes e impedâncias do secundário para o primário através das equações eq. 91-02 e eq. 91-03. Esse mesmo tipo de transformação pode ser aplicada no caso do rotor de um motor de indução. Definindo a relação de transformação efetiva como a_ef, então a tensão do rotor pode ser expressa como:

Dessa mesma forma podemos escrever a corrente do rotor como

E a impedância do rotor pode ser definida como

E agora vamos adotar as seguintes definições:

Adotando essas definições acima, estamos aptos a mostrar o modelo elétrico final do motor de indução conforme pode ser visto na Figura 107-06.

Na prática é muito difícil conhecer ou medir esses parâmetros do motor de indução tipo gaiola de esquilo. No entanto, existem métodos práticos para se medir a resistência do rotor, R₂, e a reatância, X₂. Apresentaremos esses métodos mais adiante.

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Um motor de indução pode ser descrito basicamente como um transformador rotativo. Em um motor de indução comum, os enrolamentos do secundário (rotor) estão em curto-circuito, de modo que não há saída elétrica. Em vez disso, a saída é mecânica.

Ao declararmos a potência nominal de um motor em HP ou em kW, isso significa que essa potência é a potência disponível no eixo do motor, P_n. A potência que o rotor deve desenvolver é a potência nominal, P_n, mais as perdas associadas ao eixo, como as perdas da ventoinha (pois ela está acoplada ao eixo) e as perdas por fricção nos mancais que sustentam o rotor no seu devido lugar. Além disso devemos somar as perdas no cobre do rotor, que vamos denominar por P_jr (perdas joule no rotor). Então, podemos representar a potência que o rotor deve desenvolver por P_gap. O porquê dessa denominação vamos explicar mais adiante. Dessa forma, podemos escrever:

onde as variáveis envolvidas são:

Cabe ressaltar que muitos autores costumam reunir em uma única variável a soma das perdas da ventoinha com as perdas de fricção e passam a denominá-la de perdas rotacionais, representada por P_rot. Neste caso, temos P_rot = P_w + P_fr.

As perdas no núcleo de um motor de indução vêm parcialmente do circuito do estator e parcialmente do circuito do rotor. Como um motor de indução opera normalmente com uma velocidade próxima da velocidade síncrona, o movimento relativo dos campos magnéticos sobre a superfície do rotor é muito lento e as perdas no núcleo do rotor são muito pequenas em comparação com as do estator.

Quanto maior a velocidade de um motor de indução, maiores serão as perdas por atrito e ventilação . Por outro lado, quanto maior for a velocidade do rotor (até n_sync), menores serão suas perdas no núcleo. Portanto, essas três categorias de perdas são algumas vezes combinadas e denominadas perdas rotacionais. As perdas rotacionais totais de um motor são frequentemente consideradas constantes com velocidade variável, porque as diversas perdas variam em sentidos opostos com a mudança de velocidade.

Depois de analisar o rotor e a potência que o mesmo deve receber para conseguir a potência nominal no eixo do motor, vamos analisar o circuito do estator. Começamos com as perdas joule no enrolamento do estator que, conforme o modelo da Figura 107-06, é dada por P_E = 3 R₁ . I₁², onde P_E são as perdas nas três fases do estator. Além disso, podemos acrescentar as perdas por histerese e correntes parasitas no núcleo do estator, que vamos denominar por P_iron. Assim, a potência de entrada da máquina supre essas perdas, mais a potência necessária que deve ser transferida para o rotor através do entreferro entre o rotor e o estator. Essa potência é denominada de potência de entreferro, que representamos anteriormente por P_gap. Portanto, se desejarmos calcular a potência nominal do motor, ou seja, a potência no eixo do motor, podemos reescrever a eq. 107-19 da seguinte forma:

Levando em consideração o que foi exposto acima, podemos encontrar a potência consumida pelo motor em relação à rede de alimentação.

Devemos relembrar que, eletricamente, a potência consumida pelo motor, levando em consideração o fator de potência (FP = cos φ), é dada pela eq. 107-23.

onde as variáveis envolvidas são:

Para completar este item vamos calcular a eficiência ou rendimento do motor, dada pela eq. 107-23.

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Neste item vamos calcular a potência e o torque desenvolvido pelo motor de indução. Inicialmente, baseado no circuito da Figura 107-06 e observando com atenção o circuito, é possível perceber que o único elemento que pode consumir a potência desenvolvida no entreferro é o resistor representado por R₂ / s. Então, podemos expressar a potência no entreferro pela eq. 107-24.

As perdas no núcleo do rotor pode ser expressa pela eq. 107-25.

As perdas no cobre do rotor pode ser expressa pela eq. 107-26.

Note que substituindo a eq. 107-26 na eq. 107-24 facilmente concluímos que:

Depois que as perdas no cobre do estator, no núcleo e no cobre do rotor são subtraídas da potência de entrada do motor, a potência restante é convertida da forma elétrica para a mecânica. Essa potência convertida, algumas vezes denominada potência mecânica desenvolvida, é dada por

Se, na equação acima, substituirmos as variáveis pelos seus respectivos valores, conforme as equações eq. 107-24 e eq. 107-26, podemos escrever a eq. 107-28 após um trabalho algébrico, ou

Portanto, quanto menor o escorregamento do motor, menores serão as perdas no rotor da máquina. Observe também que, se o rotor não estiver girando, o escorregamento será s = 1 e a potência de entreferro será consumida inteiramente no rotor.

Note também que, associando as equações eq. 107-27 e eq. 107-28, podemos escrever outra relação entre a potência no entreferro e a potência mecânica, ou seja:

E, finalmente, se conhecemos as perdas por ventilação e atrito podemos calcular a potência de saída ou nominal do motor através da eq. 107-31.

Para concluir este item vamos calcular o torque que o motor desenvolve. Sabemos que o torque é dado pelo quociente entre a potência e a velocidade angular. Então, vamos expressar essa quantidade em função da potência desenvolvida no entreferro e a velocidade angular síncrona dada através da eq. 107-32.

O torque dado pela eq. 107-32 é o torque induzido no rotor do motor. Não é o torque no eixo do motor. Este torque, conhecido como torque nominal ou de saída, atua diretamente na carga. Por isso vamos denominá-lo de τ_load, indicando que ele atua sobre a carga. E é dado pela eq. 107-33.

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Parte da potência que flui no entreferro de um motor de indução é consumida como perdas no cobre do rotor, representada pela fração s, enquanto a outra parte é convertida em potência mecânica para acionar o eixo do motor, representada pela fração 1 - s. Assim, é evidente que desta afirmativa vemos que um motor de indução operando com alto escorregamento é um motor extremamente ineficiente. Então, é possível separar essas duas partes da potência de entreferro e expressá-las separadamente no circuito equivalente do motor.

A eq. 107-24 fornece uma expressão da potência total de entreferro para um motor de indução, ao passo que a eq. 107-26 dá as perdas reais no rotor do motor. A potência de entreferro é a potência que seria consumida em um resistor de valor R₂ / s, ao passo que as perdas no cobre do rotor são expressas pela potência que seria consumida em um resistor de valor R₂. A diferença entre elas é P_mec   e seria a potência consumida em um resistor de valor conforme a eq. 107-33.

A Figura 107-07 mostra o circuito equivalente por fase onde se pode ver, na forma de elementos distintos de circuito, as perdas no cobre do rotor e a potência convertida para a forma mecânica.

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Sabemos que a potência de entreferro é a potência que cruza a lacuna de ar existente entre o circuito de estator e o de rotor. Ela é igual à potência absorvida na resistência R₂ / s. Uma maneira possível de encontrar essa potência é calcular a corrente do rotor, I₂, pois já estudamos a eq. 107-24 que nos fornece a potência total no entreferro. Por questões didáticas vamos repeti-la abaixo.

Assim, se houver uma maneira de determinar I₂, então a potência de entreferro e o conjugado induzido serão conhecidos. Uma das formas mais simples para determinar essa corrente é utilizando o equivalente Thévenin do circuito que encontra-se à esquerda do circuito do rotor. Relembrando que o teorema de Thévenin afirma que qualquer circuito linear que pode ser separado por dois terminais do resto do sistema, pode ser substituído por uma única fonte de tensão em série com uma impedância equivalente. Se isso fosse feito com o circuito equivalente do motor de indução, o circuito resultante seria uma combinação simples de elementos em série.

Para calcular o equivalente de Thévenin do lado da entrada do motor de indução, primeiro devemos eliminar o circuito do rotor, conforme mostra a Figura 107-08.

Para calcular a tensão de Thévenin podemos empregar um divisor de tensão. Denominando de Z_x a soma de todos os componentes, temos:

Aplicando o divisor de tensão, obtemos:

Se houver interesse no cálculo do módulo da tensão de Thévenin, então devemos definir o módulo da impedância Z_x, que vamos representar como Z_x², conforme a equação eq. 107-37.

Desta forma, o módulo da tensão de Thévenin é dado pela eq. 107-38.

Porém, levando em consideração que ( X₁ + X_m )² >> R₁² , podemos reescrever a eq. 107-38 conseguindo uma ótima aproximação através da eq. 107-39.

Podemos definir a fração que aparece na eq. 107-39 como K_th = X_m / X₁ + X_m. Então, podemos escrever:

Para calcular a impedância de Thévenin vamos defini-la como Z_TH = R_TH + j X_TH. O circuito utilizado para o cálculo é apresentado na Figura 107-09, onde a fonte de tensão V_F foi curto-circuitada para ser possível aplicar o teorema de Thévenin.

Então, para encontrarmos o valor de Z_TH devemos encontrar o paralelo das impedâncias mostradas no circuito. Logo, aplicando a regra básica de duas impedâncias em paralelo, temos:

Novamente, considerando que ( X₁ + X_m )² >> R₁² podemos aproximar a eq. 107-41 pela eq. 107-42, ou seja:

Como definimos anteriormente a variável K_th, então podemos escrever a eq. 107-42 como:

E, considerando que ( X₁ + X_m )²   >>   R₁² podemos escrever a equação que aproxima o valor de X_TH.

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Com o cálculo do equivalente de Thévenin no item anterior, podemos mostrar o circuito equivalente do motor de indução conforme mostra a Figura 107-10.

Com o modelo do circuito equivalente facilmente calculamos o valor de I₂. Para isso vamos encontrar a impedância equivalente de todo o circuito.

Portanto, para calcularmos o valor de I₂ basta aplicar a lei de Ohm, ou:

E para encontrarmos o módulo da corrente I₂ vamos definir a variável |Z_eq| através da eq. 107-47.

Dessa forma podemos encontrar o módulo da corrente I₂ usando a eq. 107-48.

Vamos relembrar que a potência no entreferro do motor é dado pela eq. 107-24, repetida abaixo.

Para calcularmos essa potência vamos definir a variável Z'_eq dado pela eq. 107-49 abaixo.

Substituindo na eq. 107-24 o valor de I₂ dado pela eq. 107-48, vamos encontrar a potência de entreferro em função dos valores do equivalente de Thévenin. Logo:

Vamos relembrar que o torque induzido do motor é dado pela eq. 107-32, repetida abaixo.

Substituindo na eq. 107-32 o valor de P_gap dado pela eq. 107-50, vamos encontrar o torque induzido do motor em função dos valores do equivalente de Thévenin. Assim:

A Figura 107-11 mostra um gráfico do torque de um motor de indução em função da velocidade (e do escorregamento).

Do gráfico mostrado na Figura 107-11 podemos tirar as seguintes informações:

A Figura 107-12 mostra uma curva característica de conjugado versus velocidade de um motor de indução, mostrando as faixas estendidas de operação, onde se vê a região de frenagem e a região como gerador.

Observando o gráfico mostrado na Figura 107-12 podemos tirar as seguintes conclusões:

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Como o conjugado induzido é dado pela eq. 107-32, o conjugado máximo possível ocorre quando a potência de entreferro é máxima. Como a potência de entreferro é igual à potência consumida no resistor R₂ /s, o conjugado máximo induzido ocorrerá quando a potência consumida por esse resistor for máxima.

Em uma situação na qual o ângulo da impedância de carga é fixo, o teorema da transferência máxima de potência afirma que essa transferência máxima de potência para o resistor de carga R₂ /s ocorrerá quando o valor da impedância for igual ao valor da impedância da fonte. O módulo da impedância da fonte, Z_f , é dada pela eq. 107-52.

Logo, a transferência máxima de potência ocorre quando R₂ /s = Z_f . Dessa relação podemos encontrar o escorregamento para conjugado máximo, s_max, fazendo uma manipulação algébrica na relação mostrada neste parágrafo e chegando a eq. 107-53.

Observe que a resistência de rotor referida R₂ aparece apenas no numerador. Assim, o escorregamento do rotor no conjugado máximo é diretamente proporcional à resistência do rotor.

O valor do conjugado máximo pode ser encontrado inserindo a expressão para o escorregamento de conjugado máximo na equação de conjugado conforme a eq. 107-51. Assim, a equação resultante de conjugado máximo é

Esse conjugado é proporcional ao quadrado da tensão de alimentação e relaciona-se também com o inverso das impedâncias de estator e de rotor. Quanto menores forem as reatâncias de uma máquina, maior será o conjugado máximo que ela é capaz de alcançar. Observe que o escorregamento para o qual ocorre o conjugado máximo é diretamente proporcional à resistência do rotor, R₂, mas o valor do conjugado máximo independe do valor dessa resistência conforme a eq. 107-54.

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Em muitos casos, a partida dos motores de indução pode ser feita simplesmente ligando-os diretamente à linha de potência. Isso só é possível se o motor é de baixa potência, no máximo 10 HP. Entretanto, algumas vezes há razões para não proceder assim. Por exemplo, a corrente de partida pode causar tal queda de tensão temporária no sistema de potência que torna inaceitável a partida com ligação direta à linha. Esse é o caso de motores de alta potência, acima de 10 HP.

No caso de motores de indução de enrolamento bobinado, a partida pode ser feita com correntes relativamente baixas inserindo resistências extras no circuito do rotor durante a partida. Essas resistências não só aumentam o conjugado de partida, como também reduzem a corrente de partida.

No caso de motores de indução de gaiola de esquilo, a corrente de partida pode variar amplamente dependendo fundamentalmente da potência nominal do motor e da resistência efetiva do rotor nas condições de partida. Para estimar a corrente do rotor nas condições de partida, todos os motores de gaiola têm agora uma letra de código de partida (não confundir com a letra da sua classe de projeto) nas suas placas de identificação. A letra de código especifica limites para a quantidade de corrente que o motor pode consumir na partida.

Esses limites são expressos em termos da potência aparente de partida do motor em função da sua especificação nominal de potência (HP). A Tabela 107-01 é uma tabela que contém os quilovolts-ampères por HP para cada letra de código.