Problema + Difícil 52-5    Fonte:   Adaptado do Problema 60 - Lista de Problemas Circuitos II - Disciplina Circuitos Elétricos da Escola de Engenharia - UFRGS - 2017 - Prof. Dr. Valner Brusamarello.

O transformador de 20 kVA, mostrado na Figura 52-05.1, opera com 62,5% de sua capacidade nominal e com FP = 0,8 em atraso. O wattímetro W lê 4.000 W com a corrente atrasada em relação à tensão e o voltímetro V acusa 200 V em sua leitura. Determine os valores de R, X e sua natureza.

Solução do Problema + Difícil 52-5

Note que foi fornecida a tensão V_bd = 200 V e a corrente que circula pela impedância Z e pela rede passiva. Como as duas estão em série é possível calcular a impedância equivalente. Há diversas maneiras de se calcular essa impedância equivalente. Como sabemos a potência real consumida pela mesma, podemos calcular o valor da resistência equivalente. Vamos denominá-la de R_rp:

Também é possível encontrar o módulo da impedância equivalente, ou:

E com esses dois dados é possível calcular a reatância indutiva da impedância equivalente, pois sabemos que Z_rp² = R_rp² + X_rp². Portanto:

Como o enunciado do problema informa que a corrente está atrasada em relação à tensão, então concluímos que X_rp é um indutor. E Z_rp é:

Dessa forma, entre os pontos b - d temos duas impedâncias em paralelo: 4 + j8 e Z_rp. Portanto, podemos calcular esse paralelo e vamos denominar de Z_bd.

Efetuando-se o cálculo, obtém-se:

Olhando para o circuito da Figura 52-05.1, vemos que existe um resistor de 0,4 Ω e um capacitor de - j 8 Ω em série com a impedância Z_bd. Portanto, é possível somá-las e obter uma nova impedância que chamaremos de Z_k.

Devemos relembrar que um circuito R-L paralelo possui um circuito R-L série equivalente. Assim, no circuito da Figura 52-05.1, vamos substituir o circuito R-L paralelo por um circuito R-L série. Vamos denominar de Z_s = R_s + j X_s . Veja como ficou o circuito na Figura 52-05.2.

Note que com os dados do transformador podemos calcular I_T em módulo e fase. Como FP = 0,8, sabemos que φ = 36,87° (φ é o ângulo de fase). Por outro lado, vamos assumir que a tensão do transformador é a referência. Então V = 200 √2 ∠0°. O enunciado afirma que o transformador opera com 62,5% de sua potência nominal. Logo, a potência aparente, S_T, que o transformador fornece ao circuito é:

E a corrente fornecida pelo transformador é:

Note que o ângulo de fase da corrente é negativo, pois seu fator de potência é indutivo.

Facilmente verificamos pelo circuito mostrado na Figura 52-05.1 que:

Vamos calcular o valor de I_C.

Conhecendo I_T e I_C podemos calcular o ângulo da fase de I, pois o módulo já conhecemos. Dessa forma:

Efetuando o cálculo, encontramos:

Isso significa que a corrente I está atrasada de 45° em relação à tensão fornecida pelo transformador. Com essa informação podemos calcular a impedância equivalente que o transformador "enxerga" à direita do capacitor, ou seja, excluindo o capacitor do circuito. Essa impedância chamaremos de Z_eq.

Efetuando o cálculo, encontramos:

Conhecendo Z_eq e Z_k facilmente encontramos o valor de Z_S, pois:

Efetuando o cálculo, encontramos:

Bem, agora que calculamos a impedância série necessitamos transformar para uma impedância em paralelo. Para isso, vamos usar a seguinte transformação baseado no circuito mostrado na Figura 52-05.1:

Nota

Neste momento faremos uma pausa para calcularmos uma relação entre R' e X'. Isso é possível devido conhecermos as potências reais e reativas envolvidas no circuito. Como o transformador fornece 12.500 VA ao circuito com um FP = 0,8, então temos que a potência real e reativa fornecida ao circuito é:

Vamos calcular a potência real dissipada por R_K = 2,8 Ω

E, naturalmente, que a potência dissipada por R' será a diferença entre a potência fornecida pelo transformador e a potência dissipada por R_K. Logo:

Quanto à potência reativa, podemos calcular a potência reativa consumida por X_K. Logo:

E a potência reativa fornecida pelo capacitor C é:

Então a potência reativa consumida por X' é:

Referindo-nos ao circuito mostrado na Figura52-05.2, podemos escrever que:

Obtendo o quociente R' / X' e fazendo as substituições numéricas de Q_R' e Q_X' encontramos a relação que necessitamos, ou:

Após esse parentese podemos continuar a solução do problema encontrando o paralelo entre R' e X' que denominaremos de Z_P.

Lembrando as propriedades dos números complexos, sabemos que a divisão pode ser simplificada multiplicando e dividindo a fração pelo complexo conjugado do denominador. Assim:

Após algumas operações algébricas com números complexos e separando a parte real da parte imaginária, obtemos:

Fazendo a substituição X' = 0,75 R' na equação acima encontramos os valores de R' e X', ou:

Porém, não vamos esquecer que R' = R + 0,1 e X' = X + 0,7. Então, os valores de R e X são: