Problemas Resolvidos sobre Circuito RLC em AC Teoria

Problema 55-1 Fonte: Problema 9.27 - página 263 - NILSSON & RIEDEL - livro: Circuitos Elétricos - 8ª edição - Ed. Pearson - 2010.

No circuito mostrado na Figura 55-01.1, sabe-se que, R₁ = 240 ohms , R₂ = 80 ohms , C = 2,5 uF , L = 48 mH. O valor da fonte é I_N = 200 cos (5000t) mA.

a) Determine a impedância total do circuito e V_N.

b) Determine i_C , i_L e V_C

c) Faça um diagrama fasorial do circuito.

Solução Problema 55-1

Item a

Da equação de I_N se determina o valor de ω:

ω = 5 000 rad/s

Pode-se calcular o valor da reatância indutiva e capacitiva, ou seja:

X_L = ω L = 5 000 x 48 x 10^-3 = 240 ohms

X_C = 1 / ω. C = 1 / (5 000 x 2,5 x 10^-6 ) = 80 ohms

Sejam duas impedâncias definidas por:

Z_L = R₂ + j X_L = 80 + j 240 = 253 ∠+71,57°

Z_C = R₁ - j X_C = 240 - j 80 = 253 ∠-18,43°

Para se obter a impedância total do circuito basta calcular o paralelo de Z_L e Z_C, ou:

Z_T = Z_L. Z_C / Z_L + Z_C = 64.009∠53,14° / 357,77∠26,57°

Logo, efetuando-se o cálculo:

Z_T = 160 + j 80 = 179∠26,57°

O que significa este valor de Z_T ? Bem, isso quer dizer que poderíamos substituir as impedâncias Z_L e Z_C por um único circuito formado por uma resistência de valor igual a 160 ohms em série com um indutor, onde L = 16 mH, valor este que apresenta uma reatância indutiva de 80 ohms quando ω = 5000 rad/s.

Conhecendo Z_T e I_N se pode calcular a tensão V_N sobre a fonte de corrente.

V_N = I_N Z_T = 200 ∠0° x 179∠26,57°

V_N = 35.800∠26,57° mV = 35,8∠26,57° V

Tenha em mente que este valor de V_N é o valor de pico da tensão sobre a fonte de corrente I_N. Assim, no cálculo de i_L e i_C, a seguir, os valores encontrados também serão valores de pico, pois usamos o valor de pico em V_N para o cálculo dessas correntes.

Item b

De posse do valor de V_N, facilmente calculamos os valores de i_L e i_C. Logo:

i_L = V_N / Z_L = 35,8∠26,57°/ 253∠71,57° = 0,142∠-45° A

i_C = V_N / Z_C = 35,8∠26,57°/ 253∠-18,43° = 0,142∠+45° A

Agora é fácil calcular o valor de V_C.

V_C = X_C i_C = 80∠-90° x 0,142∠45° = 11,36∠-45° V

De posse do valor de i_C, também podemos calcular o valor de V_R1, ou:

V_R1 = R₁ i_C = = 240 x 0,142∠45° = 34,08∠+45° V

Repare que a fase da tensão sobre o capacitor (V_C ) é de - 45° enquanto que a da corrente (i_C ) é de +45° confirmando que em um capacitor a corrente está adiantada de 90° em relação à sua tensão. No indutor acontece o mesmo, mas a corrente está atrasada de 90° em relação à sua tensão. Verifique!!!!!

Item c

Na Figura 55-01.2 mostramos o diagrama fasorial completo do circuito. Fica evidente que I_N é a soma fasorial de i_L com i_C. Da mesma forma, V_N é a soma fasorial, tanto de V_R1 com V_C, como também V_R2 com V_L, já que os circuitos encontram-se em paralelo. Devido a isso, pode-se aplicar o teorema de Pitágoras diretamente, obtendo:

|I_N|² = |i_L|² + |i_C|²

|V_N|² = |V_R1|² + |V_C|²

|V_N|² = |V_R2|² + |V_L|²

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