Problema + Difícil 11-3    Fonte:    Problema 41 - Lista de exercicios de Circuito Elétricos I - Escola de Engenharia - UFRGS - 2011 - Prof. Dr. Valner Brusamarello

No circuito abaixo, quando a  chave "S"  estiver na  "posição 1"  o voltímetro indica o valor de - 16 volts.

a) Determine o valor de "E".

b) Quando a chave "S" estiver na "posição 2".

c) Quando a chave "S" estiver na "posição 3".

Atenção: A resposta na lista de exercícios está com erro de digitação. O valor medido pelo voltímetro, na posição 1, era um dos dados do problema. Para a posição 2, faltou sinal "MENOS". Demais respostas, Ok.

Solução do Problema + Difícil 11-3   -    Transf. de Fontes

Item a

No esquema abaixo, enfatizou-se através da linha vermelha e da linha verde os pontos que se encontram interligados. Eliminou-se o resistor de valor 5 ohms que estava em série com a fonte de corrente 6 i, pois a mesma não interfere nos resultados. Repare que quando a chave S está na posição 1, os resistores de   60 ohms (por onde passa a corrente i) e o de 12 ohms estão em paralelo. Portanto, estão sob a mesma diferença de potencial. Logo, se passa i por 60 ohms, então passará 5 i pelo resistor de 12 ohms. Observe a figura abaixo.

De posse dessas informações e tendo em mente que a linha vermelha interliga todos os elementos a ela ligados, o circuito foi redesenhado para se ter uma visão mais objetiva. Não esqueça que a chave S está na posição 1. Tente compreender as mudanças que foram realizadas e concluir que os dois circuitos são absolutamente idênticos, embora com topologias diferentes conforme se pode ver na figura abaixo. Observe atentamente onde ficaram as linhas verde e vermelha.

Fazendo-se algumas transformações de fontes é possível simplificar mais o circuito. Com a fonte de corrente 6 i e o resistor de 5 ohms, calcula-se o equivalente Thévenin. O resistor de 5 ohms deve ser somado com o resistor de 55 ohms (pois ficarão em série) e resulta um valor de 60 ohms. Esse resistor ficará em série com uma fonte de tensão de 30 i. E fazendo um Norton resulta uma fonte de corrente de 0,5 i em paralelo com o resistor de 60 ohms. Fica fácil perceber que por esse resistor também circulará uma corrente i, pois ele está em paralelo com o outro resistor de 60 ohms (lado direito do circuito). Veja na figura abaixo as transformações realizadas.

O circuito que aparece realçado em amarelo na figura acima pode ser simplificado. Inicialmente, V₁ = +16 volts. Note que V₁ tem a polaridade oposta a V (tensão medida pelo voltímetro). Então a fonte V₁ / 4 pode ser substituída por uma fonte de tensão de 4 volts. Deve-se fazer o Norton das duas fontes de tensão com seus respectivos resistores em série. Calcula-se o valor do resistor equivalente do circuito paralelo entre os resistores de 5 e 30 ohms e se adiciona o de 2 ohms (pois estão em série). Assim, consegue-se simplificar todo o circuito realçado em amarelo por uma fonte de tensão em série com um resistor. Veja na figura abaixo como ficou o circuito simplificado. Repare que pelo voltímetro não passa corrente, pois este é considerado um instrumento ideal, logo, possui resistência infinita.

Note que a corrente de 7,5 i que desce pelo circuito que estava realçado em amarelo, é a soma de todas as correntes que sobem no circuito, ou seja, 5 i + i + i + 0,5 i = 7,5 i.

Sabe-se que V = - 16 volts então é fácil calcular o valor da corrente i, pois:

Fazendo a malha que engloba a fonte de tensão , resistor e V₁, encontra-se a equação que permitirá calcular o valor de E, ou seja:

Efetuando o cálculo encontramos o valor de E, ou:

Item b

Para responder ao item b considera-se as mesmas modificações realizadas no item a, porém substituindo o resistor de 12 ohms por uma fonte de tensão de 21 Volts em série com um resistor de 24 ohms que é o caso da chave "S" na posição 2. É muito importante compreender que quando a chave "S" está na posição 2, não se sabe a leitura do voltímetro

Fazendo o Norton da fonte de 21 volts com o resistor de 24 ohms, ficamos com o circuito acima. Veja que temos uma fonte de corrente de 7/8 ampère (apontando para baixo) em paralelo com um resistor de 24 ohms. Pelos dados do problema, sabe-se que no resistor de 60 ohms passa uma corrente igual a i. Assim, olhando atentamente para o circuito, pode-se concluir que V₁ = - 60 i. Então, pode-se substitur a fonte V₁ / 4 por 15 i, não esquecendo que se deve inverter a polaridade da fonte, pois V₁ = - 60 i. Também se conclui que no resistor de 24 ohms que está em paralelo com o resistor de 60 ohms passa 2,5 i. Portanto, substituindo estes valores no circuito se obtém o esquema abaixo.

Para finalizar, deve-se trabalhar no circuito realçado em amarelo e simplificá-lo. Veja na figura abaixo como ficou o circuito redesenhado. Repare que a corrente que desce pelo resistor de 220 / 35, é o resultado da equação do nó a (i + 0,5 i + i + 2,5 i - 7/8 = 5 i - 7/8), conforme aparece na figura abaixo.

Fazendo a malha de V₁ com o ramo que contém a fonte de tensão que depende de i, pode-se calcular o valor de i, já que V₁ também depende de i. Assim, encontra-se a seguinte equação:

Logo, resolvendo a equação, chegamos ao valor de i, ou:

Agora, lembrando que V₁ = - 60 i = 15 Volts e não esquecendo que a tensão medida pelo voltímetro apresenta a polaridade oposta a V₁ (veja nota após enunciado do problema), conclui-se que V (valor medido pelo voltímetro) tem o valor de:

Item c

Para o item c valem as mesmas considerações do item b, ressaltando que a fonte de tensão em série com o resistor foi substituída por uma fonte de corrente de 8,5 ampère em paralelo com um resistor de 4 ohms. Também vale a relação V₁ = - 60 i . Assim, a figura abaixo mostra o circuito:

O processo é o mesmo que foi feito no item a. Fazendo a malha de V₁ com o ramo que contém a fonte de tensão que depende de i, pode-se calcular o valor de i, já que V₁ = - 60 i . Assim, encontra-se a seguinte equação:

Logo, resolvendo a equação, obtém-se o valor de i, ou:

Então, lembrando que V₁ = - 60 i = 30 Volts e não esquecendo que a tensão V, medida pelo voltímetro, apresenta a polaridade oposta à V₁, conclui-se que V (valor medido pelo voltímetro) vale: