Problema + difícil 83-2    Fonte:  Questão 3 da 2ª prova da Escola de Engenharia - UFRGS - 1975.

Na Figura 83-02.1 o circuito é simétrico, equilibrado e a sequência de fases é direta ou ABC. Sabe-se que V₁ = 350 V ,   V₂ = 200 V   e   A = 20 A.   Determine:

a)  os valores de R, X e a tensão de linha.

b)  o fator de potência do circuito estrela.

Solução do Problema + difícil 83-2

Item a

Para a solução deste problema vamos nos basear num diagrama de tensões e correntes como o apresentado na Figura 83-02.2. Salientamos que a solução será uma mistura de álgebra com geometria.

Agora vamos analisar por partes este diagrama. Observe que a tensão medida pelo voltímetro V₂ está representada pelo fasor V_kN = 200 V. Da figura, conclui-se que V_kN = V_CN sen 30°. Daí, o valor de V_CN é:

Como o circuito é simétrico então V_CN = V_BN = V_AN = 400 volts e a tensão de linha é:

Para se encontrar os valores de R e X, deve-se calcular as tensões V_xN e V_Ax. Repare no círculo em vermelho onde o diâmetro é a tensão de fase V_AN = 400 V. Este círculo delimita as tensões V_xN e V_Ax, como indicado na figura, onde no ponto x temos um ângulo de 90°. Note que para encontrar o valor de V_xN é necessário calcular o valor de V_yN. Perceba que o ponto y é igual a um terço do valor de V_CA. Isto significa que está na mesma altura do ponto N. Logo, o segmento Oy é paralelo à tensão V_CB. Isto permite dizer que V_yN = V_Ay cos 60°, haja vista que o ângulo entre V_Ay e V_yN   é   60°.   E  V_Ay = 2/3 V_CA = 461,88 volts. Assim:

Então, os valores dos dois fasores que permitem o cálculo de V_xN são conhecidos. Para isso é necessário empregar a lei dos cossenos. Porém, está faltando conhecer o ângulo entre V_Ay e V_yN. Deve-se utilizar o seguinte artifício: tracemos um segmento interligando os pontos O e y. Desta forma, cria-se o triângulo NOy, que é um triângulo retângulo. Usando o teorema de Pitágoras é possível calcular o valor de V_Oy, lembrando que V_ON = 200 volts, pois é metade do valor de V_AN.

E como o triângulo NOy é retângulo, então o ângulo φ vale:

Agora está faltando calcular o ângulo θ. Note que ao se traçar o segmento Oy, cria-se o triângulo Oxy, que não é um triângulo retângulo. Neste caso, deve-se utilizar a lei dos cossenos para calcular o ângulo θ. Então, deve-se usar a eq. 51-03 reproduzida abaixo.

Lembre-se que x é o lado oposto ao ângulo que se quer calcular. Então x = V_Ox = 200 volts, pois é igual ao raio do círculo.

Efetuando-se o cálculo:

Somando os dois ângulos encontrados o resultado é o ângulo entre V_xy e V_yN, ou seja, φ + θ = 75,58°. Novamente usando a lei dos cossenos é possível calcular o valor de V_xN. Como se quer calcular o terceiro lado de um triângulo, usa-se a eq. 51-01 reproduzida abaixo.

Aqui x = V_xN. Então:

Efetuando-se o cálculo, obtém-se:

Usando o teorema de Pitágoras se obtém o valor de V_Ax, pois:

Efetuando-se o cálculo, obtém-se:

Como se conhece a corrente de fase I_AN, que foi medida pelo amperímetro A = 20 A, então os valores de R e X serão:

Item b

Para se encontrar o fator de potência, deve-se calcular o ângulo φ entre a corrente I_AN e a tensão V_AN. Porém, como se conhece os valores de R e X isto é muito fácil, pois:

Então o fator de potência é: