Problema + difícil 83-1    Fonte:  Questão 2 da 2ª prova da Escola de Engenharia - UFRGS - 1976.

Na Figura 83-01.1 o circuito é simétrico, equilibrado e a sequência de fases é inversa ou BCA. Sabe-se que a tensão de linha V_CB = 500∠0° V e a corrente I_A = 8,66∠65° A. Além disso, sabe-se que V₁ = 450 V e V₂ < |V_CB|. Determine:

a) as correntes de fase.

b) os valores de r, X₁ e X₂.

c) a fase de V₁.

Solução do Problema + difícil 83-1

Item a

Devido a sequência ser inversa e sendo o circuito equilibrado, pode-se escrever as outras duas correntes de linha, pois estão defasadas de 120°. Então:

Sabe-se que na sequência inversa a corrente de fase atrasa 30° em relação à corrente de linha e sua magnitude é dividida por √3. Logo:

Item b

Como o problema forneceu o valor de V_CB = 500∠0° V, isto implica que V_BC = 500∠180° V, V_AB = 500∠60° V e V_CA = 500∠-60° V. Ora, como se conhece o valor das tensões e correntes que circulam pelos ramos então se pode calcular as impedâncias de cada ramo. Como o circuito é equilibrado, os valores serão iguais para as três fases. Fazendo para a fase BC:

Transformando para a forma retangular:

Comparando este resultando com os elementos do ramo BC, determinamos os valores de R₁ e X. Então:

Agora, comparando este resultando com os elementos do ramo AB, conclui-se que R₁ = 3 r e X é o mesmo valor já calculado acima. Então:

Para se determinar os valores de X₁ e X₂, no ramo CA, e levando-se em consideração que o circuito é equilibrado, pode-se concluir que:

Desse resultado é possível perceber que X₁ e X₂ não podem, simultaneamente, assumir valores negativos. Vamos utilizar o dado fornecido onde V₁ = 450 V. Como se conhece o valor de I_ab e o valor de r, pode-se calcular a tensão entre os pontos A e u, a qual será denominada de V_Au. Assim:

Por outro lado, pode-se calcular a tensão entre os pontos A e x, pois:

Observe que se substituiu o valor de j pelo ângulo de 90°. Calcula-se V_Ax apenas para determinar qual o ângulo que existe entre V_Au e V_Ax. Basta subtrair os valores dos ângulos das duas tensões, ou θ = 35° - 5° = 30°. Relembrando a equação que se deve utilizar para somar fasores quando estes formam um ângulo entre si diferente de 90° , 180° ou 270°:

Trabalhando algebricamente essa equação e substituindo pelos valores numéricos conhecidos, obtém-se a seguinte equação do segundo grau:

E assim, encontra-se dois valores para V_Ax, ou:

Porém, conforme o enunciado do problema a condição V₂ < |V_CB| = 500 deve ser satisfeita. Pelo circuito, V₂ = V_Ax. Logo, deve-se descartar o segundo valor encontrado, ou V_Ax = - 574,43 V. Então, o valor procurado de V_Ax é:

Agora podemos calcular o valor de X₁, ou:

Como se utilizou o módulo, a reatância X₁ pode assumir valor positivo ou negativo, isto é, pode ser um indutor ou um capacitor. Como consequência, X₂ poderá também assumir dois valores: um positivo (indutor) e outro negativo (capacitor). Deve-se calcular os dois valores.

Neste caso, a reatância X₂ deve ser representada por um capacitor, enquanto X₁ é representado por um indutor.

Se X₁ é representado por um capacitor, então X₂ deve ser representado por um indutor.

Item c

Para se calcular a fase de V₁ basta realizar a soma fasorial de V_Au e V_Ax. Então:

Então a fase da tensão V₁ é: