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Figura 81-01

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Figura 81-02
    VBN = 4 sen (314 t - 120°)
    VCN = 4 sen (314 t + 120°)

       2.2   Sequência INVERSA ou NEGATIVA


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Figura 81-03

    Na Figura 81-03 vemos a representação gráfica da sequência inversa. Repare que o sentido de giro continua o mesmo. Sentido anti-horário. O que houve foi a troca da fase BN pela fase CN. Então, se girarmos os fasores em 120°, quem virá para a posição da fase A será a fase C. Mais um giro de 120° e teremos a fase B no lugar da fase C. E repete-se o ciclo. E aí obtemos a sequência ACB. Isto caracteriza a sequência INVERSA.

    Trigonometricamente podemos escrever as fases como:

    VAN = 4 sen (314 t + 0°)
    VBN = 4 sen (314 t + 120°)
    VCN = 4 sen (314 t - 120°)

    Devemos salientar que em alguns problemas poderá estar explícito que a fase AN não tem um ângulo igual a zero grau. Neste caso devemos posicioná-la no ângulo fornecido pelo problema. Obviamente, as outras duas fases também sofrerão um deslocamento equivalente e deverão estar defasadas de 120° em relação à fase AN.


    3.   Nomenclatura e Relações de Fase

    Sempre haverá situações em que devemos mudar a referência para tensão de linha ou de fase. Então, vamos ver como fazer essas transformações.


        3.1.   Nomenclatura

    Cabe ressaltar que sempre que denominarmos uma tensão, o número ou letra do primeiro índice, deve ser aquele(a) que tem o maior valor de tensão. O segundo índice, por sua vez, terá o menor valor. Assim, VAB está informando que a maior tensão é o ponto A e também pode ser escrito como VAB = VA - VB. Além disso, a seta ou flecha do fasor, aponta para a letra A.

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Figura 81-04

    Na Figura 81-04 vemos exemplos de alguns fasores e sua correta nomenclatura.


        3.2.   Relações de Fase para Tensão

    Na Figura 81-05 apresentamos uma outra maneira de representarmos em um gráfico, as tensões de linha a partir das tensões de fase. Este sistema é totalmente equivalente ao visto anteriormente.


        3.2.1   Sequência Direta ou Positiva

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Figura 81-05

    Note que para conseguirmos a tensão VAB, realizamos a soma fasorial de VAN com - VBN. O mais importante aqui é ressaltarmos que a tensão de linha resultante dessa soma fica adiantada de 30° em relação à tensão de fase correspondente, ou seja, VAN. Além disso, sua magnitude é multiplicada por √3. Com as outras tensões de linha acontece a mesma coisa.

    Assim, na solução de problemas quando há necessidade de se transformar tensões de fase para tensões de linha e vice-versa, é de extrema importância que isso seja levado em consideração, caso contrário, a solução do problema estará errada.

    Um detalhe: se estamos passando de tensão de linha para tensão de fase, então devemos ATRASAR a tensão de fase em 30°, ou seja, VF ∠φ = VL ∠θ - 30°, onde temos φ = θ - 30° representando o ângulo da tensão de fase e θ, o ângulo da tensão de linha. Além disso, devemos dividir o módulo da tensão de linha por √3 para obtermos a magnitude da tensão de fase. A seguir, vamos representar as transformações das tensões de fase para tensões de linha, referindo-nos ao gráfico acima o qual mostra a sequência direta ou positiva.


    VAN = VF ∠0°   ⇒   VAB = √3 VF ∠30°
    VBN = VF ∠-120°   ⇒   VBC = √3 VF ∠-90°
    VCN = VF ∠120°   ⇒   VCA = √3 VF ∠150°

    Evidentemente que poderíamos ter escrito VBN = VF ∠240° e VBC = √3 VF ∠270°. Porém, é padrão optar pelo menor valor numérico do ângulo (em módulo).

    Agora vamos mostrar a transformação das tensões de linha para as tensões de fase, supondo VAB = VL∠0° (o gráfico anterior deve ser rotacionado de 30° no sentido horário).


    VAB = VL ∠0°   ⇒   VAN = ( VL / √3 ) ∠-30°
    VBC = VL ∠-120°  ⇒  VBN = ( VL / √3 ) ∠-150°
    VCA = VL ∠120°   ⇒   VCN = ( VL / √3 ) ∠90°

        3.2.2   Sequência Inversa ou Negativa

    Na Figura 81-06 vemos o diagrama de tensões, mas com a sequência inversa ou negativa. Nesse caso, repare que houve a troca de posição das tensões VBN por VCN e vice-versa.

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Figura 81-06

    Como consequência, os ângulos das tensões de linha mudaram de forma acentuada.

    Na sequência inversa é fácil perceber que as tensões de linha agora estão atrasadas de 30° em relação às tensões de fase correspondentes.

    Com referência a este diagrama, as tensões são:


    VAN = VF ∠0°   ⇒   VAB = √3 VF ∠-30°
    VBN = VF ∠120°   ⇒   VBC = √3 VF ∠90°
    VCN = VF ∠-120°   ⇒   VCA = √3 VF ∠-150°

    Repare que na sequência inversa houve troca de sinal no ângulo de todas as tensões em relação à sequência direta, exceto em VAN, pois esta é a tensão de referência nos dois casos.

    Agora vamos mostrar a transformação das tensões de linha para as tensões de fase, supondo VAB = VL∠0° (o gráfico anterior deve ser rotacionado de 30° no sentido anti-horário).

    VAB = VL ∠0°   ⇒   VAN = (VF / √3) ∠+30°
    VBC = VL ∠120°   ⇒   VBN = (VL / √3) ∠150°
    VCA = VL ∠-120°   ⇒   VCN = (VL / √3) ∠-90°

        3.3   Relações de Fase para Correntes

    Quando temos um circuito equilibrado conectado em Triângulo ou Delta, frequentemente devemos transformar correntes de fase em correntes de linha e vice-versa. Para tanto, devemos prestar atenção se estamos trabalhando com uma sequência direta ou inversa.

    Para o caso de sequência DIRETA, ao transformarmos corrente de linha para corrente de fase, a corrente de linha deve estar ATRASADA de 30° em relação à corrente de fase.

    Para o caso de sequência INVERSA, ao transformarmos corrente de linha para corrente de fase, a corrente de linha deve estar ADIANTADA de 30° em relação à corrente de fase.


    4.   Representação Fasorial das Fases

    Vamos estudar como podemos representar matematicamente esses fasores. Existem duas formas de representar: a forma trigonométrica e a forma fasorial.


        4.1.   Forma Trigonométrica

    A forma trigonométrica é expressa pela seguinte função:

    VAN = Vmax sen ( ω t + θ)

    Vamos ver um exemplo.

    VAN = 100 sen ( 200 t + 30°)

    Isto quer dizer que o valor máximo da tensão é de 100 volts. O valor de ω é de 200 rad/s. E a tensão está adiantada de +30°.

    Devemos prestar atenção especial à forma trigonométrica, pois ela exige que o valor da tensão ou corrente que multiplica a função seno ou cosseno, tem que estar como tensão ou corrente de pico ou valor máximo. Assim, se estivermos trabalhando com tensão eficaz ou corrente eficaz, devemos multiplicar o valor eficaz por raiz de dois para calcularmos o valor máximo ou de pico.

    Por outro lado, para encontrar o valor eficaz de tensão ou corrente devemos dividir o valor de pico ou valor máximo por raiz de dois = √2.


        4.2.   Forma Fasorial

    Para representarmos na forma fasorial, devemos levar em consideração o módulo da amplitude e explicitar se é valor eficaz ou valor máximo. Além disso devemos conhecer o ângulo da fase da variável. Para representarmos a tensão VAN do exemplo anterior, devemos escrever:

    VAN = 100 ∠30°

    Repare que na forma fasorial não temos a informação a respeito de ω. Esta informação, caso necessário, deverá ser informada no enunciado do problema.

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    5.   Circuitos em Delta e Estrela

    As duas ligações mais utilizadas em circuitos trifásicos são: o circuito Delta, também conhecido como circuito Triângulo e o circuito Estrela, também chamado de circuito Y. A análise a seguir considera um circuito equilibrado.


        5.1.   Circuito Estrela

    O circuito estrela é caracterizado pela presença do NEUTRO. Assim, temos três fases mais um quarto elemento, o neutro. Portanto, todas as fases estão referenciadas ao neutro. Veja na Figura 81-07 um exemplo.

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Figura 81-07

    Repare na presença do neutro e as três fases. Recebem a denominação de VAN, VBN e VCN. Perceba que na denominação a seta aponta sempre para o ponto de maior potencial.

    Então, VAN significa que o ponto A tem tensão maior que o ponto N. Observe que o valor das três tensões, em módulo, são exatamente as mesmas, mudando apenas o ângulo de fase.E o sentido de giro é sempre anti-horário.

    Essas três tensões são chamadas de TENSÃO DE FASE, pois cada fase está referenciada ao neutro.


        5.2.   Circuito Delta

    O circuito Delta caracteriza-se pela ausência de neutro. Desta forma, as tensões são retiradas entre os pontos ABC, e portanto essas tensões são chamadas de TENSÃO DE LINHA. Existe uma relação matemática entre tensão de fase e tensão de linha como veremos mais adiante.

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Figura 81-08

    Na Figura 81-08 temos um exemplo de diagrama trifásico representando as tensões de LINHA.

    Perceba que os pontos ABC são ligados por segmentos de reta, originando um triângulo equilátero.

    As três tensões de fase, fase AN, fase BN e fase CN, estão aqui representadas por VF, já que todas tem o mesmo valor em módulo. Assim, |VF| = |VAN| = |VBN| = |VCN|.

    Com este conceito entendido, podemos estabelecer a relação existente entre tensão de fase e tensão de linha. Repare que os triângulos Δ BON e Δ AON são triângulos retângulo congruentes. Logo, a tensão VF é a hipotenusa dos dois triângulos. Por outro lado, sabemos que o ângulo   OÂN = 30°. O mesmo vale para o ângulo B. Então, usando a relação trigonométrica, temos:

    AO = BO = VF cos (30°) = (√3 / 2) VF

    Mas, sabemos que:

    AB = AO + BO = (√3 / 2) VF + (√3 / 2) VF

    E daí, sabendo que AB representa a tensão de linha e VF a tensão de fase, facilmente concluímos que, em módulo, temos:

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    eq.   81-01

    E, naturalmente, dessa expressão podemos escrever que:

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    eq.   81-02

    6.   Corrente de Fase e de Linha

    Processo semelhante ocorre para correntes em sistemas trifásicos. No circuito Estrela, as correntes de linha são iguais às correntes de fase. E no circuito Delta, a equivalência entre correntes segue o mesmo padrão para tensões elétricas. Logo, em módulo, vale as relações abaixo:

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    eq.   81-03

    E, naturalmente, dessa expressão podemos escrever que:

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    eq.   81-04