Problema 52-10
Fonte: Problema 3 da prova de Circitos Elétricos II - UFRGS - 1975.
No circuito da Figura 52-10.1 temos que:
1 - carga Z1 ⇒ 40 √2 kVA com FP = 0,707 adiantado.
2 - carga Z2 = R2 + j X2.
A leitura dos instrunentos é:
V1 = 1.000 √2 V, V2 = 125 V e W = 100 kW.
Sabe-se que o circuito global é predominantemente indutivo. Determine:
a) os valores de I1 e I2
b) os valores de R2 e X2
.
Figura 52-10.1
Solução do Problema 52-10
Item a
Analisando a carga Z1 podemos encontrar a potência ativa e a reativa da carga. Logo:
P1 = 40 √2 x 0,707 = 40 kW
Q1 = - 40 √2 x 0,707 = - 40 kVAR
Note o sinal negativo de Q1, pois pelo enunciado do problema o fator de potência é adiantado. Então a carga
Z1 pode ser escrita como Z1 = R1 - j X1. Além disso, as potências real
e reativa são iguais, significando que R1 = X1.
Por outro lado, conhecendo o valor de V2, podemos encontrar o valor do módulo de IT.
Vamos escrever a impedância que está em paralelo com V2 na forma polar. Então
1 - j 0,75 = 1,25 ∠- 36,86°. Logo o valor do módulo de IT é:
| IT | = V2 / 1,25 = 125 / 1,25 = 100 A
Conhecendo o módulo de IT é possível encontrar a potência aparente que o circuito consome,
pois sabemos o valor da leitura de V1. Logo:
ST = V1 IT = 1.000 √2 x 100 = 141.421 VA
De posse do valor da potência aparente do circuito e sabendo que a potência ativa foi dada e é igual a 100.000 W,
podemos calcular o fator de potência do circuito, ou seja:
FPcirc = W / ST = 100.000 / 141.421 = 0,707
E com esse valor é possível calcular o ângulo de defasagem entre a tensão aplicada e a corrente que circula pelo circuito. Então:
θ = cos- 1 (0,707) = 45°
Vamos considerar a tensão medida V1 como referência. Então, temos:
V1 = 1.000 √2 ∠0°
O enunciado do problema afirma que há uma predominância global indutiva. Logo, a corrente está atrasada de 45° em
relação à tensão aplicada ao circuito. Com isso podemos escrever:
IT = 100 ∠ - 45°
Após determinarmos as principais variáveis envolvidas na solução, podemos redesenhar o circuito conforme pode
ser visto na Figura 52-10.2.
Figura 52-10.2
Note que entre os pontos 1 - 2 aparece a impedância 2 + j 4, que é a soma dos componentes que aparecem na
Figura 52-10.1, haja vista que os mesmos estão conectados em série
Agora queremos determinar os valores de Z1 e Z2. Para isso, devemos conhecer o valor de
V2b. Inicialmente, vamos determinar o valor de V12. Logo:
V12 = IT (2 + j 4) = 100 ∠- 45° x 4,47 ∠ 63,43°
Nesta equação, usamos o fato que 2 + j 4 = 4,47 ∠ 63,43°. Efetuando o cálculo, encontramos:
V12 = 447 ∠ 18,43° V
Dessa forma, o valor de V2b é dada pela diferença entre V1 e V12, ou:
V2b = V1 - V12 = 1.000 √2 ∠ 0° - 447 ∠ 18,43°
Efetuando o cálculo, encontramos:
V2b = 1.000 ∠ - 8,12°
Neste ponto da solução do problema, devemos prestar muita atenção na carga 1. Como concluímos no início da
solução, temos R1 = X1. Então, a queda de tensão em R1 e X1
serão iguais a VR1 = VX1 = 707 V. Como sabemos, a potência em ambos elementos
são iguais em valores absolutos. Logo:
R1 = X1 = (VR1)2 / P1 = 7072 /
40.000
Efetuando o cálculo, encontramos:
R1 = X1 = 12,5 Ω
Agora podemos escrever Z1 = 12,5 - j12,5 = 17,68 ∠- 45°. Então, aplicando a lei de Ohm,
podemos determinar o valor de I1, ou seja:
I1 = V2b / Z1 = 1.000 ∠ - 8,12° / 17,68 ∠ - 45°
Efetuando o cálculo, encontramos:
I1 = 56,56 ∠ 36,88° A
E para calcularmos a corrente I2 basta calcular a diferença entre IT e I1, pois sabemos pela lei de Kirchhoff para correntes que IT = I1 + I2.
Então:
I2 = IT - I1 = 100 ∠- 45° - 56,56 ∠ 36,88°
Efetuando o cálculo, encontramos:
I2 = 107,71 ∠- 76,32° A
Item b
Para encontrarmos os valores de R2 e X2, devemos considerar que, baseado no circuito
mostrado na Figura 52.10.2, a potência dissipada por R = 2 Ω vale 2 x 1002 = 20 kW.
E a potência dissipada por R1 da carga 1, já calculada, vale 40 kW. Portanto, obrigatoriamente,
R2 deve dissipar uma potência de 40 kW, haja vista que o medidor de potência mediu uma potência total de 100 kW. Conhecendo a potência que o resistor dissipa e a corrente que circula por ele, facilmente determinamos seu valor, ou:
R2 = P2 / I22 = 40.000 / 107,712
Efetuando o cálculo, encontramos:
R2 = 3,45 Ω
Para calcular o valor de X2, levamos em consideração que o indutor j 4 tem uma potência reativa de
4 x 1002 = 40 kVAR. Assim, a potência reativa deste indutor é anulada pela potência reativa do capacitor da
carga 1 que vale Q1 = - 40 kVAR, valor este já calculado no início da solução do problema. Portanto, como o problema afirma que há uma predominância indutiva no circuito, então concluímos que X2 é um indutor e possui uma potência reativa igual a 100 kVAR. Este valor é o resultado da potência aparente do circuito, já calculada, multiplicada pelo ângulo de atraso da corrente total em relação à tensão aplicada ao circuito. E sabemos que esse ângulo
vale 45°. Logo, de forma similar ao cálculo de R2, temos:
