Problema 31-2    Fonte:    Exercício 17-3 - página 699   HAYT, William H. Jr. , KEMMERLY, Jack E. , DURBIN, Steven M. - Livro:    Análise de Circuitos em Engenharia - Ed. McGraw Hill - 7ª Edição - 2008.

No circuito mostrado na Figura 31-2.1 determine os parâmetros "Z".

Solução do Problema 31-2

Os parâmetros Z são dados pelas seguintes equações:

Calcula-se Z₁₁ quando I₂ = 0, ou seja, um circuito aberto na porta 2. Portanto, se não há corrente circulando na saída do quadripolo, então Z₁₁ será a associação série-paralelo ds resistores que compõem o circuito. Repare que neste caso, o resistor de 20 ohms está em série com a de 5 ohms, tendo 25 ohms como resultado da associação série. Esta associação, por sua vez, está em paralelo com o resistor de 10 ohms. Esses tres resistores resultam em uma resistência equivalente de:

Mas o resistor de 40 ohms está em série com R_eq. Logo:

Para calcular Z₂₂, deve-se ter I₁ = 0. Então, olhando da saída do quadripolo, calcula-se a resistência equivalente que o circuito apresenta quando I₁ = 0. Observe que o raciocínio é o mesmo. Nesse caso, o resistor de 20 ohms está em série com o de 10 ohms e esse conjunto em paralelo com o de 5 ohms. Como resultado, obtemos uma resistência equivalente de:

Da mesma forma, o resistor de 40 ohms encontra-se em série com R_eq, logo:

Falta calcular Z₁₂ e Z₂₁. Para calcular Z₁₂ deve-se ter I₁ = 0, ou seja, a porta 1 deve permanecer aberta. Calculando a relação V₁ /I₂, encontra-se o valor de Z₁₂. Então, vamos arbitrar um valor para V₂ e calcular V₁ e I₂, como no circuito mostrado na Figura 31-2.2.

Repare que arbitramos um valor conveniente para V₂ de 44,286 volts, pois já calculamos a impedância Z₂₂ = 44,286 Ω. Assim, facilmente calculamos I₂, cujo resultado é 1 ampère. Sabendo que I₁ = 0 e I₂ = 1 A, podemos encontrar o valor de V₁, pois este será a soma das quedas de tensão nos resistores de 10 e 40 ohms, resultando o valor de 41,43 volts. Para calcular V₁, calcula-se a corrente através dos resistores de 20 ohms e 5 ohms usando um divisor de correntes. No circuito mostrado na Figura 31-2.2, estão todos os valores encontrados. Agora podemos calcular Z₁₂, ou:

Para calcularmos Z₂₁, vamos adotar o mesmo procedimento. Para tal, vamos adotar V₁ = 47,143 volts, valor este conveniente, pois teremos I₁ = 1 A. Note que, no resistor de 40 ohms, também passará 1 ampère, ocasionando uma queda de tensão de 40 volts sobre esse resistor. Logo, fica fácil calcular as outras variáveis. Na Figura 31-2.3, vemos os valores encontrados.

Sabendo que I₁ = 1 ampère e V₂ = 41,43 volts, então:

Como se pode perceber, Z₁₂ = Z₂₁ e com isso, conclui-se que o circuito é PASSIVO ou RECÍPROCO.

Método Alternativo

Uma outra forma de resolver este problema é utilizar uma transformação Delta-Estrela no conjunto dos resistores de 20, 10 e 5 ohms que formam um circuito Delta. Veja nas figuras abaixo como fica a transformação, partindo do circuito mostrado na Figura 31-2.4 e chegando no circuito mostrado na Figura 31-2.5.

Substituindo esta transformação no circuito original, ficamos com o circuito mostrado na Figura 31-2.6

Note que o valor 41,43 é o resultado da soma de 40 + 1,43. Vamos comparar esse circuito com nosso modelo para circuitos recíprocos que pode ser visto em Teoria Básica. Assim, podemos obter as seguintes relações:

Efetuando-se o cálculo, encontra-se o valor de Z₁₁.

Por outro lado, sabe-se que:

Efetuando-se o cálculo, encontra-se o valor de Z₂₂.

Repare que são os mesmos valores encontrados anteriormente, a menos de arredondamentos numéricos.