Problema 25-3 Fonte:
Problema 8.47 -
página 332 - NILSSON, James W. & RIEDEL, Susan A. -
Livro: Circuitos Elétricos - Editora LTC - 10ª edição - 2016.
No circuito mostrado na Figura 25-3.1 abaixo, a chave ficou na posição fechada por um longo período.
Em t = 0 a chave é aberta.
Determine Vo (t) para t ≥ 0.
Figura 25-3.1
Solução do Problema 25-3
Observe que, conforme o circuito mostrado na Figura 25-3.1, percebemos que o circuito realçado pelo retângulo laranja,
contendo os resistores R1, R2 e R3 formam um circuito delta.
Dessa forma, é possível encontrar o circuito equivalente estrela de acordo com o circuito
mostrado na Figura 25-3.2.
Figura 25-3.2
Para transformar um circuito delta em um circuito estrela, estudado no
Capítulo 5, usamos as equações eq 05-01,
eq 05-02 e eq 05-03. Para maior clareza, repetimos abaixo a eq 05-01.
eq. 05-01
Veja na Figura 25-3.3 como ficou o circuito para t < 0 após a transformação. Com isso, podemos
estabelecer as condições iniciais do problema.
Figura 25-3.3
Como um capacitor comporta-se como um circuito aberto quando totalmente carregado e, um indutor como um curto-circuito,
facilmente determinamos VC (0+) e iL (0+). Para calcular
VC (0+), vamos usar um divisor de tensão resistivo, ou
VC (0+) = 100 (60/(20 + 20 + 60)) = 60 V
E, para calcular iL (0+), vamos usar diretamente a lei de Ohm, ou
iL (0+) = 100 / (R5 + RC + Rb) = 1 A
Agora, vamos analisar o circuito para t > 0. Nesse caso, a fonte de tensão e os resistores R5
e RC são desconectados do circuito. Então, obtemos um circuito RLC Série, conforme mostra a
Figura 25-3.4. Baseado na figura, podemos calcular os parâmetros do circuito.
Figura 25-3.4
α = R /2 L = 500 rad/s
ωo = 1 / √ ( L C ) = 400 rad/s
Nesse caso, vemos que α > ωo. Logo, o circuito tem um comportamento superamortecido. Logo,
a resposta do circuito é dada pela
eq. 25-04, repetida abaixo. Como o circuito, para t > 0, não possui fontes independentes, então, If = 0.
eq. 25-04
As raízes r1 e r2 são dadas pelas eq. 25-07 e eq. 25-08 e valem:
r1 = - 200 rad/s
r2 = - 800 rad/s
Assim, podemos escrever a resposta como:
iL (t) = A1 e- 200 t + A2 e- 800 t
Para determinar os valores de A1 e A2, vamos aplicar as condições iniciais do problema.
iL (0) = A1 + A2 = 1
Também sabemos que:
d iL (0) = VL(0) / L
Logo, devemos calcular o valor de VL(0). Para isso, vamos fazer a malha no circuito da Figura 25-3.4.
- VC (0) + 200 iL(0) + VL(0) = 0
Fazendo a substituição numérica das variáveis e, efetuando o cálculo, encontramos:
VL(0) = - 140 V
Assim, temos:
d iL (0) = VL(0) / L = - 700 = -200 A1 - 800 A2
Agora, temos duas equações a duas incógnitas de fácil solução. Os valores são:
A1 = 166,67 mA
A2 = 833,33 mA
Então temos:
iL (t) = 166,67 e- 200 t + 833,33 e- 800 t mA
E como o enunciado do problema pede para determinar o valor da tensão sobre o indutor, podemos
derivar a equação da corrente sobre o indutor e obter a tensão sobre ele, conforme
a eq. 23 - 04. Dessa forma, obtemos:
