Conhecendo essas equações podemos apresentar os gráficos que mostram o comportamento de um circuito RC.

Vemos na Figura 22-02 o gráfico de como o capacitor adquire sua carga elétrica ao longo do tempo. Observe na figura, que para um tempo igual a uma constante de tempo, o capacitor adquire 63,2 % da sua carga total. Após duas constante de tempo, já chega a 86,5 % da sua carga total. Na prática, consideramos que após cinco constante de tempo, o capacitor alcança sua carga elétrica máxima.

Quando o capacitor alcança sua carga elétrica máxima, dizemos que o circuito alcançou o estado de Regime Permanente. Isto significa que, caso o circuito não sofra nenhuma perturbação elétrica posterior, o circuito tende a se manter nesse estado indefinidamente.

Agora, fique atento para o fato que a medida que a tensão no capacitor cresce, obviamente a tensão sobre o resistor decresce, haja vista que a fonte de tensão possui um valor fixo (constante). Então, a soma   V_c + V_R   deve ser igual a V. Portanto, quando o capacitor adquire sua carga máxima, a tensão no capacitor é V e naturalmente, sobre o resistor temos V_R = 0. Perceba que todas estas situações estão perfeitamente de acordo com as equações apresentadas acima.

Na Figura 22-03 temos o gráfico da corrente elétrica através do capacitor. Como resistor e capacitor formam um circuito série, então esta corrente elétrica é a mesma que circula pelo resistor. Assim, concluímos que o gráfico da tensão sobre o resistor tem o mesmo aspecto que o gráfico da corrente elétrica no capacitor.

Note que quando a tensão elétrica no capacitor cresce (veja figura anterior), simultaneamente a tensão elétrica sobre o resistor decresce. Além disso, este gráfico também representa a queda de tensão sobre o resistor, bastando substituir no eixo vertical i_c   por   V_R. Em qualquer instante considerado vale a relação V = C + V_R

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Como dito anteriormente, vamos analisar o comportamento dos circuitos RC através de equações matemáticas que nos levem a solução dos problemas. Frequentemente deveremos usar equações diferenciais para a solução dos mesmos.

Seja o circuito mostrado na Figura 22-04 onde colocamos a chave S na posição 1, permitindo que o capacitor adquira carga elétrica através da resistência de 10 ohms. Sabemos que, inicialmente, a tensão sobre o capacitor é V_C = 0 volt. Então, o capacitor começa adquirir carga e a sua tensão elétrica aumenta exponencialmente.

A velocidade de carga depende da constante de tempo do circuito formado pela resistência de 10 ohms e o capacitor de 10 µF. Como conhecemos o valor dos componentes, podemos calcular a constante de tempo τ, dada por:

De posse desse valor, podemos escrever a equação da corrente de carga do capacitor i₁, ou:

Da mesma forma, podemos escrever a equação que expressa a tensão elétrica sobre o capacitor, ou seja:

Com isso, estabelecemos o comportamento matemático deste circuito. Perceba que agora podemos calcular o valor de i₁ e V_C a qualquer instante.

Vamos supor que desejamos saber o valor de V_C no instante t = 250 µs. Basta substituir este valor de t na equação acima e teremos o valor, ou:

Em outras palavras: após 2,5 vezes a constante de tempo do circuito, o capacitor já está com 91,8% da tensão máxima que ele pode atingir. Isto é o que chamamos de valores instantâneos. Fica claro, neste exemplo, que podemos prever em qual instante queremos que o capacitor adquira determinada tensão elétrica, bastando para isso escolher os valores adequados de R e C.

Vemos na Figura 22-05 um gráfico mostrando como o valor de R modifica a constante de tempo do circuito alterando o tempo de carga do capacitor. Quanto maior R, mais lentamente sobe a carga do capacitor, e vice-versa. Aqui assumimos que o valor do capacitor não foi alterado. Naturalmente que podemos manter o valor de R fixo e variarmos C. Mantendo o raciocínio, concluímos que quanto maior C, mais lentamente sobe a carga do capacitor, e vice-versa.

Vamos supor que a chave S tenha ficado 10 constantes de tempo na posição 1. Com isto, garantimos que o capacitor está com a tensão elétrica máxima de 50 volts. Se passarmos a chave S para a posição 2, o capacitor será descarregado pelo resistor de valor 40 ohms. A nova constante de tempo será:

Repare que como o valor da resistência quadruplicou, a constante de tempo também quadruplicou. Dessa forma, podemos agora escrever as equações para a corrente elétrica i₂ e para a tensão elétrica no capacitor, V_C.

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Até este momento estudamos circuitos onde o capacitor, inicialmente, estava descarregado, ou seja, V_C = 0. A partir deste momento vamos analisar circuitos onde o capacitor tem uma carga inicial, quer dizer, V_C ≠ 0. Esta tensão que aparece nos terminais do capacitor é chamada de valor inicial. Assim que fechamos a chave, a fase de transitório começa e para efeitos práticos, podemos considerar que só termina depois de cinco constantes de tempo. Depois disso, entramos na fase dita regime permanente ou estacionária. Para determinarmos os valores da fase de transitório necessitamos de uma equação que nos permita chegar aos valores pretendidos. Essa equação é mostrada abaixo.

Nesta equação, o significado das variáveis são:

Se houver interesse em saber como chegamos a essa equação, Clique Aqui

Para ver uma aplicação prática do uso dessa técnica, Clique Aqui

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Muitos circuitos elétricos não apresentam a forma simples que temos estudado até agora. Neste item estudaremos casos mais complexos e por isso deveremos recorrer ao conhecido Teorema de Thévenin. Assim, teremos que encontrar a resistência de Thévenin do circuito para calcularmos a constante de tempo.

Exemplo -   Vamos examinar um exemplo que aparece na página 291 (exemplo 10.10) do livro de Robert Boylestad [3]. O circuito aparece na Figura 22-06.

Item a -    Vamos determinar a expressão matemática para o comportamento transitório da tensão V_c e da corrente i_c em função do tempo após o fechamento da chave (posição 1 em t = 0 s).

Considerações -    Repare que temos tres resistências no circuito quando a chave S está na posição 1. Para calcularmos a constante de tempo, devemos reduzir a uma única resistência, que será a resistência de Thévenin. Vamos aplicar os conceitos que aprendemos no capítulo 15 para calculá-la. Sabemos que devemos curto-circuitar a fonte de tensão. Veja na Figura 22-07 como ficou o circuito modificado para o cálculo da resistência de Thévenin.

Perceba pelo circuito, que R₁ e R₂ estão em paralelo. Como já sabemos calcular o paralelo de duas resistências, efetuando o cálculo encontramos o valor de 20 kΩ. E, obviamente, este paralelo está em série com R₃, portanto, encontramos para a resistência de Thévenin o valor de:

Agora estamos aptos a calcular a constante de tempo do circuito.

De posse do valor da resistência de Thévenin, vamos calcular o valor da tensão de Thévenin. Como sabemos, para isso devemos calcular a tensão a circuito aberto, como nos mostra a Figura 22-08.

Analisando o circuito acima, percebemos que não haverá corrente elétrica circulando por R₃, logo a tensão de Thévenin se resume em calcular a tensão sobre o resistor R₂. Ora, R₁ e R₂ formam um divisor resistivo de fácil solução. Então:

E assim, efetuando o cálculo, concluímos que:

Agora é possível construir o circuito equivalente de Thévenin, recolocando o capacitor no circuito da forma como aparece na Figura 22-09.

Para encontrarmos a expressão matemática que define a tensão elétrica sobre o capacitor no circuito, precisamos usar a eq. 22-03, mostrada abaixo.

Através dos cálculos efetuados, definimos os valores inicial e final da tensão sobre o capacitor, ou:

Então, substituindo estes valores na equação acima e colocando em evidência os termos semelhantes, encontramos:

Em outras palavras, para t = 0 temos V_c = 0 pois 1 - e^-0 = 0. A medida que t vai crescendo, temos e^{- t/6 ms} tendendo a zero e portanto V_c vai tendendo para a tensão da fonte de 7 volts.

Para determinarmos a expressão matemática que define a corrente elétrica no capacitor, vamos utilizar a eq. 22-01. Para uma melhor compreensão, vamos repeti-la aqui.

Veja o circuito na Figura 22-10.

Neste caso em particular, V é a tensão de Thévenin (7 volts), R é a resistência de Thévenin (30 kΩ) e C é o valor do capacitor (0,2 µF) no circuito. Fazendo a substituição na equação acima e efetuando o cálculo encontramos a expressão matemática que foi pedida no problema.

O que esta equação diz é que ao ligarmos a chave, ou seja, para t = 0, a corrente que passa pelo capacitor é de 233 µA ( pois e⁰ = 1). Se t aumenta, a corrente tende para zero, como já era esperado.

Como um capacitor é formado por dois condutores separados por um material dielétrico ou isolante significa que a carga elétrica não é conduzida através do capacitor. Embora a aplicação de uma tensão aos terminais do capacitor não o faça conduzir cargas através de seu dielétrico, ela pode produzir pequenos deslocamentos de uma carga dentro dele. À medida que a tensão varia com o tempo, esse deslocamento também varia com o tempo, provocando a denominada corrente de deslocamento.

Nos terminais de um capacitor , a corrente de deslocamento é indistinguível de uma corrente de condução. Assim, podemos afirmar que: