3. - Resposta do Circuito RLC Paralelo ao Degrauclique aqui!
Vimos nos capítulos anteriores o comportamento do capacitor e do indutor quando os
mesmos são submetidos a uma variação brusca de tensão ou corrente em seus terminais. O capacitor
comporta-se como um curto-circuito e o indutor como um circuito aberto. Também
estudamos que em regime permanente o capacitor comporta-se como um
circuito aberto e o indutor como um curto-circuito.
Agora vamos juntar estes componentes em um circuito e ver qual é o comportamento
dos mesmos para diferentes situações.
Pré-requisitos - Para estudar este
capítulo é fundamental ter bons conhecimentos de equações diferenciais de
1ª e 2ª ordem.
Quando estudamos equações diferenciais aprendemos que existem duas respostas possíveis: uma chamada natural ou
homogênea; a outra chamada forçada ou não-homogênea.Vamos começar estudando a forma mais simples,
ou seja, a resposta natural ou homogênea.
2.1. Resposta Natural do Circuito RLC Paralelo
Para tanto consideremos um circuito RLC com todos seus elementos conectados em paralelo, conforme
ilustra a Figura 24-01.
Figura 24-01
Para analisarmos o circuito vamos assumir que tanto o capacitor como o indutor podem possuir uma energia
inicial armazenada, seja uma corrente no indutor, seja uma tensão no capacitor, ambos com valores iniciais
diferentes de zero. No circuito acima estas condições iniciais estão representadas da seguinte forma:
iL (0+) = Io e vC (0+) = Vo =
v (0+)
Aplicando os conceitos de equação diferencial ao circuito obtemos uma equação diferencial homogênea
linear de segunda ordem. Observe a equação abaixo:
eq. 24-01
A partir da equação acima podemos determinar a chamada equação característica da equação
diferencial, conforme é mostrado a seguir.
r 2 + (1 / RC) r + 1 / LC = 0
Como a equação diferencial é de segunda ordem, então temos uma equação característica de segundo grau.
A solução obtida para v(t) depende das raízes dessa equação de segundo grau. Assim, as duas
raízes são:
eq. 24-02
eq. 24-03
Agora que temos os valores das raízes da equação, podemos escrever a solução da equação diferencial.
Esta é dada por:
eq. 24-04
Observe que as raízes da equação característica (r1 e r2) são
determinadas pelos parâmetros do circuito, R, L e C. Os valores das constantes
A1 e A2 são determinados pelas condições iniciais do problema.
Assim, podemos dizer que a solução geral da eq. 24-01 tem a forma da eq. 24-04.
Portanto, para encontrarmos a solução do problema, devemos encontrar as raízes da equação característica
como primeiro passo, já que o comportamento de v(t) depende dos valores dessas raízes.
Observe que a primeira parcela é a resposta do circuito devido à primeira raiz, r1.
A segunda parcela é a resposta do circuito devido à segunda raiz, r2.
Podemos chamá-las de soluções v1 e v2, respectivamente.
Se v1 e v2 são soluções, então sabemos que a soma delas
também é solução. Isso é o que está dizendo a eq. 24-04.
Na prática, definem-se dois novos parâmetros para reescrevermos as equações das duas raízes. O primeiro parâmetro,
chamado de frequência de Neper ou coeficiente ou fator de amortecimento, é representado pela
letra grega alfa, α. O segundo parâmetro,
chamado de frequência angular de ressonância ou frequência de ressonância não-amortecida,
é representado pela letra grega omega-zero, ωo.
Assim, podemos escrevê-los como:
eq. 24-05
eq. 24-06
Agora estamos aptos a escrever as equações das raízes em função desses dois novos parâmetros, ou:
eq. 24-07
eq. 24-08
Fazendo uma analogia com o que foi estudado em equações do segundo grau, no ensino médio, aqui também percebemos que há três possíveis resultados para o radicando.
Positivo - quando α > ωo
Zero - quando α = ωo
Negativo - quando α < ωo
Estas três possibilidades dão origem a três tipos diferentes de resposta do circuito. E cada tipo de resposta recebe um nome que o identifica.
Assim, vamos analisar detalhadamente cada caso.
Também conhecida como resposta sobreamortecida. Esta resposta acontece quando temos
α > ωo, e portanto as raízes da equação
característica são reais, distintas e NEGATIVAS. Esta condição implica que:
L C > (2 R C)2
Para este caso a resposta é dada pela eq. 24-04 que é a equação diferencial que descreve o
comportamento de um circuito RLC durante um regime transitório. As constantes A1 e A2
são parâmetros cruciais que
definem a resposta do circuito às condições iniciais impostas. Mais especificamente pelos valores de v(0+),
que indica a tensão no capacitor no instante
logo após t = 0 e também por
dv(0+) / dt, representa a taxa de variação da tensão nesse mesmo instante. Esses valores
são diretamente influenciados pela tensão inicial Vo no capacitor e pela corrente inicial Io no indutor.
Determinar
essas constantes é essencial para prever como o circuito responderá a uma mudança súbita, como a aplicação de uma tensão ou a
abertura de um interruptor, permitindo assim uma análise completa do comportamento do sistema durante o período transitório.
Podemos elaborar um resumo do procedimento necessário para determinar a resposta de um circuito superamortecido.
1 - Encontrar as raízes da equação característica, r1 e r2,
a partir dos valores de R, L e C.
2 - Determinar v(0+) e dv(0+) / dt usando os métodos de análise
de circuitos estudados anteriormente
3 - Calcular os valores de A1 e A2 resolvendo o sistema de equações
constituído pelas equações abaixo.
v(0+) = A1 + A2
dv(0+) / dt =
iC (0+) / C =
r1 A1 + r2 A2
4 - Substituir os valores de r1, r2,
A1 e A2 na eq. 24-04 para obtermos a expressão de v(t) para t ≥ 0.
Esta resposta acontece quando α = ωo, e portanto as raízes da equação
característica são reais e IGUAIS. Trata-se da situação em que o estado final é atingido o mais rapidamente
possível sem que haja oscilação no sistema. Nesta caso, as raízes da equação característica são:
eq. 24-09
Pelo que foi estudado na disciplina equações diferenciais, sabemos que quando as raízes da equação característica
são iguais não podemos expressar a solução nos termos da eq. 24-4. Então, a solução deve assumir a forma de uma
soma de dois termos: o primeiro termo é uma exponencial simples e o segundo termo é o produto da variável independente
por uma exponencial. Então a resposta do sistema é dada pela equação abaixo.
eq. 24-10
Para determinarmos os valores de B1 e B2, usamos o mesmo método do item anterior.
Assim, temos as relações:
v(0+) = V0 = B1
dv(0+) / dt =
iC (0+) / C =
B2 - α B1
Com o valor de α dado pela eq. 24-09 e com os valores de B1
e B2, podemos substituí-los na eq. 24-10 e encontrar a equação solução do circuito.
Quando α < ωo, as raízes da equação
característica são complexas. Então dizemos que a resposta do circuito é subamortecida.
Baseado nas eq. 24-07 e eq. 24-08, vamos reescrevê-las de uma forma mais conveniente
fazendo a seguinte alteração:
eq. 24-11
Lembrando que podemos escrever j = √-1, então podemos reescrever a eq. 24-11 como:
eq. 24-12
Observe que redefinimos o radicando por um novo parâmetro denominado frequência angular amortecida,
ωd, conforme a eq. 24-13 abaixo.
eq. 24-13
Assim, podemos escrever a resposta de um circuito RLC paralelo subamortecido. A equação abaixo é resultado
de algumas transformações e uso de algumas propriedades dos números complexos.
eq. 24-14
As constantes B1 e B2 são números reais. Esse coeficientes são
determinados da mesma maneira que fizemos para os outros dois casos. Calculamos v(0+) e
sua derivada primeira para t = 0+. Resumindo temos
v(0+) = V0 = B1
dv(0+) / dt =
iC(0+) / C =
- α B1 + ωd B2
Pela eq. 24-14 percebemos que a resposta é oscilatória devido aos termos trigonométricos, ou seja,
a tensão varia entre valores positivos e negativos. A frequência com que essas oscilações ocorrem depende
do valor de ωd. Por outro lado, devido a presença da função exponencial,
a amplitude das oscilações decresce com o passar do tempo. A rapidez com que a amplitude das oscilações diminui
depende de α. Por esse motivo o parâmetro α é chamado de fator de amortecimento
ou coeficiente de amortecimento. Isso explica, também, por que o parâmetro ωd
é denominado frequência angular amortecida.
Devemos salientar que na ausência de amortecimento, temos α = 0 e a frequência das oscilações
é ωo. Na presença de elemento dissipativo, R, no circuito,
α ≠ 0 e como consequência, ωd < ωo.
Então, quando α é diferente de zero, dizemos que a frequência de oscilação é amortecida.
Deve-se ressaltar que todos os cálculos realizados no item anterior, o circuito não tinha qualquer tipo de fonte de energia.
Agora vamos estudar o comportamento do circuito quando este contém fontes de energia.
Para obtermos a resposta de um circuito RLC à uma função degrau, ou determinamos a tensão entre os
terminais dos componentes, ou as correntes nos diferentes ramos. Pode ou não haver energia armazenada inicialmente
no circuito.
A forma mais direta de resolver o problema é calcular primeiro a corrente no ramo indutivo. Esta corrente
tem particular interesse por que não tende a zero para grandes valores de t.
A solução da equação diferencial de segunda ordem com uma função forçante no segundo membro é igual à soma
da resposta natural com a resposta forçada. Assim, para o caso da função degrau que tem um valor constante, a solução
pode ser escrita como:
eq. 24-15
Isto para o caso da corrente. No caso da tensão, o formato é o mesmo. Então:
eq. 24-16
Onde If e Vf representam o valor final da corrente e da tensão na função resposta.
