3. - Resposta do Circuito RLC Série ao Degrauclique aqui!
O estudo do comportamento de um circuito RLC quando seus componentes estão conectados em série envolve a interação entre
resistência (R), indutância (L) e capacitância (C). Nesse caso, a
resposta natural do circuito pode ser descrita por uma equação diferencial de segunda ordem. A solução
dessa equação revela as características do regime transitório do circuito, como a frequência de ressonância
e o amortecimento. A análise desses fatores é importante para entender como o circuito responde a diferentes
condições iniciais e fontes de energia externas. Os métodos para determinar sua resposta natural são
semelhantes ao que usamos no caso do circuito RLC paralelo.
Pré-requisitos - Para estudar este
capítulo é fundamental ter bons conhecimentos de equações diferenciais de
1ª e 2ª ordem.
Quando estudamos equações diferenciais aprendemos que existem duas respostas possíveis: uma chamada natural ou
homogênea; a outra chamada forçada ou não-homogênea.Vamos começar estudando a forma mais simples,
ou seja, a resposta natural ou homogênea.
2.1 Resposta Natural do Circuito RLC Série
Para tanto consideremos um circuito RLC com todos seus elementos conectados em série, conforme
ilustra a Figura 25-01 abaixo.
Figura 25-01
Para analisarmos o circuito vamos assumir que tanto o capacitor como o indutor podem possuir uma energia inicial
armazenada, seja uma corrente no indutor, seja uma tensão no capacitor, ambos com valores iniciais diferentes de zero.
No circuito acima, estas condições iniciais estão representadas da seguinte forma:
i (0+) = Io e v(0+) = Vo
Aplicando os conceitos de equação diferencial ao circuito, obtemos uma equação diferencial homogênea linear de
segunda ordem, conforme mostra a equação abaixo.
eq. 25-01
Ora, a partir da equação acima podemos determinar a chamada equação característica da equação
diferencial, conforme podemos ver na equação abaixo.
r 2 + (R / L) r + 1 / LC = 0
A solução obtida para i(t) depende das raízes dessa equação de segundo grau. Assim, as duas
raízes são:
eq. 25-02
eq. 25-03
Agora que temos os valores das raízes da equação, podemos escrever a solução da equação diferencial.
Esta é dada por:
eq. 25-04
Observe que as raízes da equação característica (r1 e r2) são determinadas pelos
parâmetros do circuito, R, L e C. Os valores das constantes A1 e A2
são determinados pelas condições iniciais do problema. Assim, podemos dizer que a solução geral da eq. 25-01
tem a forma da eq. 25-04.
Portanto, para encontrarmos a solução do problema, devemos encontrar as raízes da equação característica como primeiro
passo, já que o comportamento de i(t) depende dos valores dessas raízes. Observe que a primeira parcela é a
resposta do circuito devido à primeira raiz, r1. A segunda parcela é a resposta do circuito
devido à segunda raiz, r2. Podemos chamá-las de soluções i1 e
i2, respectivamente. Se i1 e i2
são soluções, então sabemos que a soma delas também é solução. Isso é o que está dizendo a eq. 25-04.
Da mesma forma que no circuito RLC paralelo, aqui também definimos dois novos parâmetros para
reescrevermos as equações das duas raízes de uma forma mais sucinta. O primeiro parâmetro,
chamado de frequência de Neper ou coeficiente ou fator de amortecimento, é representado pela
letra grega alfa, α, conforme a eq. 25-05. O segundo parâmetro,
chamado de frequência angular de ressonância ou frequência de ressonância não-amortecida,
é representado pela letra grega omega-zero, ωo, conforme a eq. 25-06.
eq. 25-05
eq. 25-06
Observe que o parâmetro alfa do circuito RLC série, difere daquele do circuito RLC paralelo.
Porém, o outro parâmetro é exatamente igual. Então vamos escrever as equações das raízes em função desses dois novos parâmetros, ou:
eq. 25-07
eq. 25-08
Fazendo uma analogia com o que foi estudado em equações do segundo grau, no ensino médio, aqui também percebemos que há
três possíveis resultados para o radicando.
Positivo - quando α > ωo
Zero - quando α = ωo
Negativo - quando α < ωo
Estas três possibilidades originam três tipos diferentes de resposta do circuito. E cada tipo de resposta
recebe um nome que o identifica. Assim, vamos analisar detalhadamente cada caso.
Esta resposta é obtida quando α > ωo. Podemos elaborar um resumo do procedimento necessário para determinar a resposta de um circuito superamortecido
de um circuito RLC série, a qual é perfeitamente descrita pela eq. 25-04.
a) Encontrar as raízes da equação característica, r1 e r2,
a partir dos valores de R, L e C.
b) Determinar i(0+) e di(0+) usando os métodos de análise
de circuitos estudados anteriormente
c) Calcular os valores de A1 e A2 resolvendo o sistema de equações
constituído pelas equações abaixo.
i(0+) = I0 = A1 + A2
di (0+) / dt = Vo / L =
r1 A1 + r2 A2
d) Substituir os valores de r1, r2,
A1 e A2 obtendo a expressão de i(t) para t ≥ 0.
Esta resposta acontece quando α = ωo, logo as raízes da equação
característica são reais e IGUAIS. Trata-se da situação em que o estado final é atingido o mais rapidamente
possível sem que haja oscilação no sistema. Nesse caso, as raízes da equação característica são:
eq. 25-09
Pelo que foi estudado na disciplina equações diferenciais, sabemos que quando as raízes da equação característica
são iguais não podemos expressar a solução nos termos da eq. 25-04. Então, a solução deve assumir a forma de uma
soma de dois termos: o primeiro termo é uma exponencial simples e o segundo termo é o produto da variável independente
por uma exponencial. Então a resposta do sistema é dada pela equação abaixo.
eq. 25-10
Para determinarmos os valores de B1 e B2 usamos o mesmo método do item anterior.
Assim, temos as relações:
i(0+) = I0 = B1
di(0+) / dt = Vo / L =
B2 - α B1
Com o valor de α dado pela eq. 25-09 e com os valores de B1
e B2, podemos substituí-los na eq. 25-10 e encontrar a equação solução do circuito.
Quando α < ωo, as raízes da equação
característica são complexas. Então dizemos que a resposta do circuito é subamortecida. Baseado nas
eq. 25-07 e eq. 25-08, vamos reescrevê-las de uma forma mais conveniente fazendo a seguinte alteração:
eq. 25-11
Lembrando que podemos escrever j = √-1, então podemos reescrever a eq. 25-11 como:
eq. 25-12
Observe que redefinimos o radicando por um novo parâmetro denominado frequência angular amortecida,
ωd, conforme a eq. 25-13 abaixo.
eq. 25-13
Assim, podemos escrever a resposta de um circuito RLC série subamortecido. A equação abaixo é resultado
de algumas transformações e uso de algumas propriedades dos números complexos.
eq. 25-14
As constantes B1 e B2 são números reais. Esses coeficientes são
determinados da mesma maneira que fizemos para os outros dois casos. Calculamos i(0+) e
sua derivada primeira para t = 0+. Resumindo temos:
i(0+) = I0 = B1
di(0+) / dt = Vo / L =
- α B1 + ωd B2
Pela eq. 25-14 percebemos que a resposta é oscilatória devido aos termos trigonométricos, ou seja,
a tensão varia entre valores positivos e negativos. A frequência com que essas oscilações ocorrem depende
do valor de ωd. Por outro lado, devido a presença da função exponencial,
a amplitude das oscilações decresce com o passar do tempo. A rapidez com que a amplitude das oscilações diminui
depende de α. Por esse motivo o parâmetro α é chamado de fator de amortecimento
ou coeficiente de amortecimento. Isso explica, também, por que o parâmetro ωd
é denominado frequência angular amortecida.
Devemos salientar que na ausência de amortecimento, temos α = 0. Isto significa que não temos
elementos dissipativos no circuito ou, em outras palavras, R = 0. Nesta situação, o circuito tem
uma resposta oscilatória sem atenuação e a frequência das oscilações
é ωo. Se no circuito temos a presença de elemento dissipativo (R), então
α ≠ 0 e, como consequência, ωd < ωo.
Então, quando α é diferente de zero, dizemos que a frequência de oscilação é amortecida.
Deve-se ressaltar que todos os cálculos realizados no item anterior, o circuito não tinha qualquer tipo de fonte de energia.
Agora vamos estudar o comportamento do circuito quando este contém fontes de energia.
Para obtermos a resposta de um circuito RLC série à uma função degrau, inicialmente devemos determinar a
equação da resposta natural. Após isso, podemos determinar a tensão entre os terminais de qualquer um dos elementos,
já que a equação diferencial que descreve o comportamento da tensão no capacitor tem a mesma forma da equação diferencial
que descreve o comportamento da corrente no indutor
O método utilizado para o circuito RLC paralelo pode ser aplicado para o caso do circuito RLC série.
A solução da equação diferencial de segunda ordem, com uma função forçante no segundo membro, é igual à soma
da resposta natural com a resposta forçada. Assim, para o caso da função degrau que tem um valor constante, a solução
pode ser escrita como:
eq. 25-15
Isto para o caso da corrente. No caso da tensão, o formato é o mesmo. Então:
eq. 25-16
Onde If e Vf representam o valor da corrente e da tensão para o tempo t = ∞.
