Problema 22-2 Fonte:
Problema 10.11 - página 98 - MARKUS, Otávio -
Livro: Circuitos Elétricos - CC - CA - Ed. Érica - 9ª edição - 2004.
Na Figura 22-02.1 abaixo, V= 12,0 volts , R1 = R2 = 10 kΩ ,
R3 = 20 kΩ , C1 = 10 µF , C2 = C3 = 20 µF
e todos os capacitores estão inicialmente descarregados. Quando a chave S é fechada
calcule:
a) a constante de tempo do circuito;
b) o tempo mínimo necessário para que a tensão entre os pontos a-b seja igual
à tensão da fonte de alimentação;
c) a tensão entre os pontos a-b para um instante igual à metade do tempo
encontrado no item anterior;
d) o instante em que a tensão entre os pontos a-b atinge a metade da tensão
da fonte de alimentação.
Figura 22-02.1
Solução do Problema 22.2
Item a
Como no circuito temos mais de um resistor e mais de um capacitor, então para
calcularmos a constante de tempo devemos reduzir o circuito a uma resistência equivalente
e a uma capacitância equivalente.
Para tanto, vamos calcular a resistência equivalente da associação dos
tres resistores que aparecem no circuito. Repare que R1 e R2
estão em série. Somando seus valores, encontramos 20 kΩ. Também sabemos
que esta série está em paralelo com R3. Ora, calculando o paralelo
encontramos:
Req = 10 kΩ
Resta-nos calcular a capacitância equivalente da associação mostrada no
circuito. Notamos
que C2 e C3 estão em série. Para dois capacitores, podemos
calcular a série pela seguinte equação:
Cser = (C2 C3)/ (C2 + C3)
Fazendo as substituições pelos valores fornecidos pelo problema, e efetuando o cálculo encontramos
Cser = 10 µF. E Cser está em paralelo com
C1. Para calcular o paralelo de capacitores basta somar seus valores. Logo:
Ceq = 20 uF
Figura 22-02.2
Veja na Figura 22-02.2 como ficou o circuito reduzido a uma resistência equivalente
e a uma capacitância equivalente. Portanto, tendo os valores de Ceq = 20 uF
e Req = 10 kΩ, podemos calcular a constante de tempo.
τ = Ceq Req = 20 uF x 10 kΩ = 0,2 s
Item b
Sabemos que após cinco constantes de tempo o circuito entra em regime permanente,
ou seja, o capacitor adquire a tensão da fonte de alimentação. Assim:
τmin = 5 t = 5 x 0,2 = 1 s
Item c
Já que conhecemos a constante de tempo do circuito, vamos usar a eq. 22-03 abaixo
para encontrarmos a expressão matemática que define a tensão entre os terminais do
capacitor, ou seja:
eq. 22-03
Assim, temos:
Vc = 12 + (0 - 12) e - t/0,2 s
Efetuando-se o cálculo:
Vc = 12 (1 - e- t/0,2 s)
Note que se t = 0, encontra-se Vc = 0 volt
(condição inicial), e se t → ∞ , encontra-se Vc = 12 volts (condição final).
De posse dessa equação, podemos agora calcular a tensão no capacitor para qualquer tempo solicitado.
Basta substituir o valor de t na equação e efetuar o cálculo.
Mas o problema pede para calcular a tensão entre os pontos a-b no instante igual a metade
do tempo encontrado no item anterior, ou seja, t = 1/2 = 0,5 segundo.
Vc = 12 (1 - e- 0,5/0,2 s) = 11,015 volts
Item d
Neste item é solicitado que seja calculado o tempo em que
Vc = V / 2 = 12/2 = 6 volts. Para isso, basta aplicar o valor de
Vc = 6 na equação que encontramos, e isolar o valor de t.
6/ 12 = 0,5 = 1 - e- t/0,2 s
Vamos aplicar a função ln nos dois membros. Lembrando que t / 0,2 = 5 t e multiplicando os dois membros por - 1, temos:
ln (0,5) = ln (e- 5 t ) = - 5 t
Após essas transformações algébricas
conseguimos isolar o valor de t, ou:
