Problema 22-1    Fonte:   Exemplo 10.9 - página 288 -    BOYLESTAD, Robert L. ,   Livro: Introdução à Análise de Circuitos - Ed. Pearson - 10ª edição- 2008.

O capacitor visto na Figura 22-1.1 abaixo, possui uma tensão inicial de 4 volts

a) Determine a expressão matemática para a tensão entre os terminais do capacitor uma vez que a chave é fechada.

b) Determine a expressão matemática para a corrente durante o período transitório.

c) Faça um esboço das formas de onda da tensão e da corrente, desde o valor inicial até o final.

Solução do Problema 22-1

Item a

Do problema, já sabemos que V_i = 4 volts. Também é fácil perceber que após o fechamento da chave S, o capacitor começará a ser carregado até atingir o valor final, ou seja, o valor da fonte de tensão. Então, V_f = 24 volts. Devemos, agora, calcular a constante de tempo do circuito. Note que os dois resistores do circuito, encontram-se em série. Portanto, podemos somar seus valores e encontrar o valor da resistência equivalente. Assim, temos R_eq = 3,4 kΩ. Então a constante de tempo é dada por:

Já que conhecemos a constante de tempo do circuito, vamos usar a eq. 22-03 abaixo para encontrarmos a expressão matemática que define a tensão entre os terminais do capacitor, ou seja:

Assim, temos:

Efetuando-se o cálculo, obtém-se:

Note que se tomarmos t = 0, encontraremos V_c = 4 volts (condição inicial), e se t → ∞ , encontraremos V_c = 24 volts (condição final).

De posse dessa equação, podemos agora calcular a tensão no capacitor para qualquer tempo desejado. Basta substituir o valor de t (em ms) na equação e efetuar os cálculos.

Item b

Para calcularmos a expressão da corrente, necessitamos do valor de i_c para t = O⁺ e também para t → ∞. Assim que encontrarmos estes valores, substituímos na eq. 23-03 mostrada abaixo.

Para t= O⁺ sabemos que o capacitor possui uma tensão de 4 volts e a tensão sobre o capacitor não pode variar bruscamente, logo a corrente que circulará pelo circuito depende só dos resistores que estão em série com o capacitor. Logo a corrente inicial será:

Repare que esta corrente elétrica é a corrente máxima que circulará pelo circuito, pois a partir do momento que a chave S é ligada, o capacitor começa a ganhar carga, e sua tensão sobe exponencialmente. Consequentemente, a corrente no circuito decresce exponencialmente, até atingir o valor zero, que será o valor final da corrente. Isto acontecerá quando o capacitor adquirir sua carga máxima, e portanto, terá sua tensão igual a tensão da fonte de alimentação de 24 volts.

Portanto, já se sabe os valores inicial e final da corrente elétrica no circuito. Substituindo-se seus valores na equação, é possível encontrar a expressão matemática que descreve o comportamento do circuito.

Item c

Veja na Figura 22-01.2 o gráfico do crescimento da tensão sobre o capacitor e o decaimento da corrente no circuito. Repare na concordância de valores calculados e os mostrados pelo gráfico. A tensão sobre o capacitor começa com 4 volts ( para t = 0) e tende para 24 volts com o passar do tempo. Da mesma forma, a corrente máxima é de 5,88 mA (para t = 0 ) e sofre um decaimento exponencial até zero quando t → +∞.